1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 3

, N ) = 3N превосходит число (g + k)уравнений (3)-(4) которым они удовлетворяют (3N > g + k), токоличество виртуальных перемещений – бесконечно.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.4 / 182) Вспоминая систему уравнений для линейных по ∆t возможныхперемещений (∆r̄ ν = v̄ ∗ν ∆t):NX∂fα∂fα∆r̄ ν +∆t = 0(α = 1, . . . , g)∂r̄ ν∂tν=1NXl̄βν ∆r̄ ν+Dβ ∆ t =0(β = 1, . .

. , k)ν=1можно убедиться что система (3)-(4) отличается от неё только отсутствием∂fαчленов∆t и Dβ ∆ t. Если все связи изначально – стационарные, т.е. для∂t∂fαгеометрических связей время t не входит явно в уравнение связи:=0∂t(связь неподвижна), а для кинематических связей Dβ = 0 и векторы l̄ν независят явно от времени t (т.е. если система склерономна), то системыуравнений совпадают. Таким образом,множество линейных относительно ∆t возможных перемещений склерономнойсистемы совпадает с множеством её виртуальных перемещений: ∆r̄ ν = δr̄ νА поскольку действительные перемещения являются одними из возможных, топри стационарных связях действительные перемещенияявляются одними из виртуальных.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.5 / 183) Исходя из этой аналогии можно сказать, что виртуальные перемещениясовпадают с возможными при «замороженных» связях (t = t∗ = const).При «замораживании» — время t, входящее в уравнение конечных связей,— останавливается, т.е. связь как бы застывает в той конфигурации,которую она имела в момент t∗ . Тогда при дифференцировании fα по t,∂fα– не появляются.

Для дифференциальной связичлены∂t«замораживание» означает придание ей стационарного характера, т.е.отбрасывание Dβ и фиксирование t, явно входящего в коэффициенты l̄β .Пример 1. Точка P движется по неподвижной поверхности (стационарнаягеометрическая связь).Ранее мы убедились, что возможныескорости для неподвижнойповерхности – лежат в касательнойплоскости к поверхности в точке P .Поэтому и возможные перемещения∆r̄ = v̄ ∗∆t (линейно зависящие от ∆t)также лежат в касательной плоскости,значит выполняются уравнения на возможные перемещения:∆r̄ · gradf = 0Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.6 / 18Виртуальные перемещения, согласно (3)-(4) всегда удовлетворяют условию:δr̄ · gradf = 0 для геометрической связи (т.е. всегда лежит в касательнойплоскости) безразлично от того зависит уравнение связи f = 0 явно отвремени t или нет, т.е. неподвижная или нет.

Т.о. в данном случаестационарной связи виртуальные и возможные перемещения совпадают.δr̄ = ∆r̄Пример 2. Точка P движется по подвижной поверхности илидеформирующейся поверхности, все точки которой имеют скорость ū (т.е.как твёрдое тело).В этом случае возможная скорость v̄ ∗ уже нележит в касательной плоскости. Она получаетсяиз произвольного вектора v̄, касательного кповерхности, и прибавлением к нему скорости ū:v̄ ∗ = v̄ + ū, тогда возможное перемещениеdrточки P : ∆r̄ = v̄ ∗ ∆t = v̄∆t + ū∆t (здесь мыопять же рассматриваем линейные относительно∆t возможные перемещения). Т.е.

здесьсоотношение ∆r̄ · gradf = 0 – не выполняетсяпри любых ∆r̄. А виртуальное перемещение δr̄,в отличие от ∆r̄, по прежнему представляет вектор, лежащий в касательнойплоскости к поверхности в точке P потому что δr̄ · gradf = 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.7 / 18Вариации координат. Число степеней свободыБесконечно малые приращения δxν , δyν , δzν виртуального перемещенияδr̄ ν (ν = 1, . . . , N ) называют – вариации величин (координат) xν , yν , zν .Переход системы при фиксированном t = t∗ из возможного положенияr̄ ∗ν в бесконечно близкое возможное положение, определяемое радиусвекторами r̄ ∗ν + δr̄ ν , называется — синхронное варьирование.При синхронном варьировании мы не рассматриваем процессдвижения, а сравниваем допускаемые связями бесконечно близкиеположения (конфигурации, возможные положения)системы для данного фиксированного момента времени t∗ .Можно еще сказать, что виртуальные перемещения представляютсобой перемещения точек системы из одного возможного положениясистемы в момент t∗ в другое бесконечно близкое,возможное для этого же момента времени t∗ положение системы.

Т.е.это любое элементарное перемещение которое может быть сообщеноточке из занимаемого ею положения в данный момент времени присохранении всех наложенных на неё в этот момент времени связей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.8 / 18Уравнения, определяющие виртуальные перемещения (3)-(4), могутбыть переписаны для 3N вариаций координат (δxν , δyν , δzν ) = δr̄ ν :¶N µX∂fα∂fα∂fαδxν +δyν +δzν= 0(α = 1, . . .

, g) (30 )∂xν∂yν∂zνν=1N ³´Xyxzlβνδxν + lβνδyν + lβνδzν= 0(β = 1, . . . , k)(40 )ν=1Как говорилось на первой лекции все эти g + k уравнений линейнонезависимы. Т.е. из них можно выразить g + k вариаций черезостальные 3N − (g + k). Количество n = 3N − (g + k) независимыхвариаций называется — число степеней свободы данной системыматериальных точек.Примеры:1) Одна свободная точка в пространстве имеет 3 степени свободы;2) Материальная точка, движущаяся по поверхности (подвижной илинеподвижной) имеет 2 степени свободы.3) Система из 2-х точек, связанная недеформируемым стержнем,движущимся в плоскости, имеет 3 степени свободы;Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.9 / 18Идеальные связиПусть в точках Pν системы приложены, соответственно, силы F̄ ν (ν = 1, ..., N )(под F̄ ν имеется в виду равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν )Если бы связи отсутствовали, т.е.

система была бы свободной, то по II законуНьютона между массами mν , ускорениями āν и силами F̄ ν имели бы местосоотношения:mν āν = F̄ νВ случае наличия связей (т.е. для несвободной системы) ускорения точек,выражаемые отсюда:āν = F̄ ν /mνмогут оказаться (в данный момент времени t∗ , в данном положении точексистемы r̄ ∗ν = r̄ ν (t∗ ) и при данных скоростях v̄ ∗ν ) несовместимыми со связями.Ведь связи накладывают ограничения на ускорения точек, полученные ранее:¶NN µXX∂fαd ∂fαd ∂fαv̄ ∗ν +āν += 0 (α = 1, .

. . , g)∂r̄dt∂r̄dt∂tννν=1ν=1NXl̄βν āν +ν=1¶N µXddl̄βν v̄ ∗ν + Dβ = 0dtdtν=1(β = 1, . . . , k)Ускорения āν = F̄ ν /mν могут не удовлетворять этим уравнениям связей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.10 / 18Значит материально осуществлённые связи действуют на точкисистемы с некоторыми (какими-то) дополнительными неизвестнымисилами R̄ν (ν = 1, .

. . , N ) (принцип освобождаемости от связей);эти силы воздействия связей R̄ν называются – реакции связей(если связей несколько, т.е. g + k > 1, то R̄ν – равнодействующая всехреакций для точек Pν ).Эти «возникающие» реакции должны быть такими, чтобы ускорения,определяемые из уравнений:mν āν = F̄ ν + R̄νуже допускались бы связями.В отличии от реакций R̄ν ,заранее заданные силы F̄ ν называются – активные силы,а R̄ν – пассивные силы.Активные силы обычно задаются как известные функции времени,положения и скоростей точек системы: F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ) (т.е.зависят, в общем случае, от всех r̄ µ , v̄ µ (µ = 1, . .

. , N )).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.11 / 18Основная задача динамики несвободной системы состоит в следующем:заданы активные силы F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ) и даны совместимые со связяминачальные положения r̄ 0ν и начальные скорости v̄ 0ν точек системы(ν = 1, . . . , N ). Требуется определить движение системы, т.е. зависимостьr̄ ν = r̄ ν (t) и все реакции связей R̄ν .Если относительно связей, их характера, ничего не известно, кромеопределяющих уравнений:fα (t, r̄ ν ) = 0 (α = 1, .

. . , g)NXl̄βν v̄ ν + Dβ = 0 (β = 1, . . . , k)ν=1а, значит, ничего не известно о вызываемых этими связями реакций R̄ν , тосформулированная задача является неопределённой.Действительно: число подлежащих определению скалярных величин:xν , yν , zν , Rxν , Ryν , Rzν=6Nчисло скалярных соотношений - уравнений:mν ẍν = Fxν + Rxν ,mν ÿν = Fyν + Ryν ,mν z̈ν = Fzν + Rzν=3Nи уравнений связей: g + k, тогда:6N −3N −(g+k) = 3N −(g+k) = n > 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2⇒т.е.

неизвестных больше!Новосибирск, 2018 г.12 / 18Для того, чтобы основная задача динамики стала определённой, необходимоиметь дополнительные n = 3N − (g + k) независимых соотношений междуискомыми величинами. Эти соотношения можно получить ограничившисьважным классом идеальных связей (дополнительные ограничения).Связи называются — идеальные — если суммаэлементарных работ реакций этих связей на любыхвиртуальных перемещениях системы равна нулю:В развёрнутом виде:NX⇔NXR̄ν δr̄ ν = 0ν=1(Rxν δxν + Ryν δyν + Rzν δzν ) = 0ν=1Среди 3N вариаций δxν , δyν , δzν имеется n = 3N − (g + k) независимых,определяемых из уравнений связей для вариаций (30 )-(40 ) в количестверавном числу степеней свободы системы.