1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 2

. , k)(20 )(30 )ν=1Точки такой несвободной системы не могут двигаться как угодно. Ихсовместимые со связями (говорят допускаемые связями) координаты,скорости, а также ускорения и перемещения должны удовлетворятьнекоторым соотношениям, вытекающим из уравнений связи (20 ) и (30 ).Пусть задан какой-то момент времени t = t∗ . Положения точексистемы, для которых радиус-векторы r̄ ν = r̄ ∗ν точек, удовлетворяютуравнениям геометрических связей (20 ) при t = t∗ , называются —возможные положения системы для данного момента времени.Возможные положения системы – это положения допускаемые связямиБатяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.11 / 18В то же время, как уже говорилось, геометрические связинакладывают ограничения и на скорости точек системы:NX∂fαν=1∂r̄ νv̄ ν +∂fα= 0 (α = 1, . . . , g)∂t(40 )Вместе с уравнениями кинематических связей (30 ) они определяютограничения на скорости точек системы.Множество векторов v̄ ν = v̄ ∗ν , удовлетворяющих алгебраическимлинейным уравнениям (40 ) и (30 ) в возможном положении системыr̄ ν = r̄ ∗ν , для данного момента времени t = t∗ , называются —возможные скорости точек системы для этого момента времениТаким образом: возможные скорости точек системы – это скоростидопускаемые дифференциальными связями.Относительно связей будем предполагать, что уравнения связей(40 )-(30 ) в виде линейных алгебраических уравнений на скорости v̄ ∗ν –независимы между собой.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.12 / 18Это равносильно тому, что ранг функциональной матрицы J – [3N × (g + k)],составленной из коэффициентов при скоростях в уравнениях, равен g + k:∂f1 ∂f1 ∂f1∂f1∂f1∂f1... ∂x1 ∂y1 ∂z1∂xN ∂yN ∂zN  ......... ... ......... ∂fg∂fg∂fg  ∂fg ∂fg ∂fg...J =rang J = g + k ∂x1 ∂y1 ∂z1∂xN ∂yN ∂zN yyzxz lxl11l11. .

. l1Nl1Nl1N 11 ......... ... ......... yyxzxzlk1lk1lk1. . . lkNlkNlkNВ этом случае существует отличный от нуля определитель порядка g + k,образованный из элементов матрицы J. Следовательно, общую систему (40 ) - (30 )можно разрешить относительно g + k «зависимых» скоростей, коэффициенты прикоторых составляют этот невырожденный определитель, выразив их черезостальные 3N − (g + k) «независимые» скорости. Таким образом ясно, чтодолжно быть 3N − (g + k) > 0 , чтобы связи не определяли все скоростиединственным способом (независимо от действующих сил), а допускали бы дляних некоторую свободу.

В противном случае ограничения, накладываемые связямибыли бы настолько жёсткими, что согласованное со связями движение точексистемы было бы либо вообще невозможным, либо должно было бы происходитьпо заранее заданному закону во времени – вне зависимости от приложенных сил.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.13 / 18Для получения аналитического выражения ограничений,накладываемых связями на ускорения точек системыпродифференцируем (40 ) и (30 ) по t¶NN µXX∂fαd ∂fαd ∂fαāν +v̄ ν += 0 (α = 1, .

. . , g)∂r̄ νdt ∂r̄ νdt ∂tν=1(5)ν=1NXl̄βν āν +ν=1N µXdν=1dt¶l̄βν v̄ ν +dDβ = 0 (β = 1, . . . , k)dt(6)Совокупность векторов āν = ā∗ν , удовлетворяющих линейнымуравнениям (5) и (6) при возможных положениях r̄ ∗ν системы ивозможных скоростях v̄ ∗ν – для данного момента времени t∗ , называютвозможные ускорения точек системы для этого момента времениВидно, что число уравнений и матрица коэффициентов при ускоренияхсовпадают соответственно с аналогами для скоростей. Т.к 3N > g + k,значит системы уравнений на v̄ ∗ν , ā∗ν недоопределены. Следовательновозможных ускорений, возможных скоростей, возможных положенийдля данного момента времени – бесконечно много!Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.14 / 18Итак, пусть в данный момент времени t = t∗ система точек находитсяв каком-либо возможном положении, задаваемом радиус-векторами r̄ ∗νи имеет какие-то возможные скорости v̄ ∗ν и возможные ускорения ā∗ν .Пусть возможному в момент (t∗ + ∆t) положению системы точекотвечают некоторые радиус-векторы r̄ ∗ν + ∆r̄ ν точек системы,где ∆t – элементарный промежуток времени.Понятно, что в силу наличия связей элементарные перемещения точек∆r̄ ν (в момент t∗ ) уже не могут быть произвольными величинами, адолжны удовлетворять некоторым условиям.Совокупность элементарных перемещений ∆r̄ ν (ν = 1, .

. . , N ) точексистемы называется — возможное перемещение механическойсистемы за время ∆t из её возможного положения, задаваемогорадиус-векторами r̄ ∗ν в момент t∗ — если эти перемещения допускаютсясвязями, т.е выполняются соотношения (20 ) в момент (t∗ + ∆t) вположении (r̄ ∗ν + ∆r̄ ν ):fα (t∗ + ∆t, r̄ ∗ν + ∆r̄ ν ) = 0Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1(α = 1, . . . , g)Новосибирск, 2018 г.(7)15 / 18Для достаточно малых ∆t возможные перемещения точек системы заэтот промежуток можно представить в виде суммы:1∆r̄ ν = v̄ ∗ν ∆t + ā∗ν (∆t)2 + . . . (ν = 1, . . . , N )2Здесь не выписаны слагаемые, порядок которых относительно ∆tвыше второго. Конечно мы предполагаем, что функции r̄ ν (t) имеютнепрерывные производные до 3-го порядка включительно. Так какмножество возможных скоростей и ускорений – бесконечно, томножество таких возможных перемещений — также бесконечно(т.к.

количество уравнений меньше числа неизвестных: 3N > g + k).В дальнейшем мы будем пренебрегать величинами выше 1-го порядкаотносительно ∆t и называть – возможными перемещениямиточек системы – величины:вектор возможного перемещения точки направлен в сторону возможной скорости∆r̄ ν = v̄ ∗ν ∆t ⇐⇒в данный момент времени t∗из данного возможного положения r̄ ∗(для этого момента времени)Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.16 / 18Умножая на ∆t уравнения (40 ) и (30 ), которым удовлетворяютвозможные скорости точек v̄ ∗ν , получим систему линейныхалгебраических уравнений, которой удовлетворяютлинейные по ∆t возможные перемещения ∆r̄ ν точек системы:NX∂fα∂fα∆r̄ ν +∆t = 0(α = 1, . . . , g)∂r̄ ν∂tν=1NXl̄βν ∆r̄ ν+Dβ ∆ t = 0(β = 1, . . .

, k)ν=1где функции l̄βν и Dβ , а также все частные производныевычисляются при t = t∗ , r̄ ν = r̄ ∗ν .∂fα ∂fα,∂r̄ ν ∂tПервые уравнения можно также получить из (7), раскладывая вряд Тейлора функции fα , в окрестности (t∗ , r̄ ∗ν ) и удерживаятолько линейные члены, содержащие ∆t и ∆r̄ ν .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.17 / 18Пример: Точка P движется по неподвижной поверхности.В этом случаевозможной скоростью v̄ ∗будет любой вектор,лежащий в касательнойплоскости к поверхностив точке P и проходящейчерез эту точку.Вектор возможного перемещения ∆r̄ = v̄ ∗ ∆t, следовательнолюбой вектор, построенный из точки P и лежащий в касательнойплоскости, будет возможным перемещением.

Если поверхностьзадаётся уравнением f (r̄) = 0, то все возможные перемещенияортогональны нормали к поверхности в точке P :∆r̄ · gradf = 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 2ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВИРТУАЛЬНЫЕПЕРЕМЕЩЕНИЯСИНХРОННОЕ ВАРЬИРОВАНИЕЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.1 / 18Действительные перемещенияПусть в момент t = t∗ система точек Pν (ν = 1, . . . , N ) находится вконкретном возможном положении, задаваемом радиус-векторами r̄ ν (t∗ ) = r̄ ∗ν0и скорости точек системы тоже имеют конкретные возможные значения v̄ ∗ν0 .Если заданы силы, действующие на систему точек, то, проинтегрировавсистему дифференциальных уравнений движения, можно получить значениярадиус-векторов r̄ ν (t) точек системы для моментов времени t следующих за t∗ .Обозначив элементарное приращение времени как: dt = t − t∗ , приращениярадиус-векторов точек системы за dt можно представить в виде:1r̄ ν (t∗ + dt) − r̄ ν (t∗ ) = v̄ ∗ν0 dt + ā∗ν0 (dt)2 + . . .2где ā∗ν0 – конкретные возможные ускорения точек системы, определяемыеприложенными к системе силами в момент t∗ .Данное соотношение определяет — действительные (истинные)перемещения точек системы за время dt, потому что получены они врезультате интегрирования дифференциальных уравнений движения призаданных конкретных силах из данного возможного положения и данныхвозможных скоростях.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.2 / 18Действительное перемещение, конечно, является одним из возможных:1∆r̄ ν = v̄ ∗ν ∆t + ā∗ν (∆t)2 + . . .2Если пренебречь членами порядка (dt)2 и выше, то в момент времени t = t∗действительное перемещение точки будет дифференциалом функции r̄ ν (t):r̄ ν (t∗ + dt) − r̄ ν (t∗ ) = dr̄ ν = v̄ ∗ν0 dtВ этом случае действительные перемещения dr̄ ν удовлетворяют уравнениям,аналогичным для возможных перемещений ∆r̄ ν – линейных относительно ∆t(получаются путём умножения на dt уравнений на возможные скорости v̄ ∗ν0 ):NX∂fα∂fαdr̄ ν +dt = 0(α = 1, .

. . , g)(1)∂r̄ ν∂tν=1NXl̄βν dr̄ ν+Dβ dt = 0(β = 1, . . . , k)(2)ν=1здесь величины∂fα ∂fα, l̄βν и Dβ вычисляются при t = t∗ , r̄ ν = r̄ ∗ν0 .,∂r̄ ν ∂tДалее за – действительное перемещение dr̄ ν системы за время dt– будем принимать бесконечно малые перемещения точек этой системы,линейные по dt, происходящие под действием заданной системы сил.При этом, они удовлетворяют системе (1)-(2).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.3 / 18Виртуальные перемещенияПусть при t = t∗ система занимает некоторое своё возможное положение,определяемое радиус-векторами точек r̄ ∗ν .Виртуальное перемещение системы – называется совокупность векторов— δr̄ ν (ν = 1, . . .

, N ), удовлетворяющая линейным однородным уравнениям:NX∂fαδr̄ ν = 0(α = 1, . . . , g)(3)∂r̄νν=1NXl̄βν δr̄ ν=0(β = 1, . . . , k)(4)ν=1где величины∂fα, l̄βν вычисляются при t = t∗ , r̄ ν = r̄ ∗ν .∂r̄ νРазберём подробнее новое введённое понятие виртуального перемещения.1) Величина δr̄ ν задаётся проекциями (δxν , δyν , δzν ) = δr̄ ν . Так как числонеизвестных δxν , δyν , δzν (ν = 1, . . .