1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 8

. . , n)уравнения равновесия системыв обобщённых координатах– положение равновесия голономной системы достигается тогда итолько тогда, когда в этом положении все обобщённые силы равны нулю.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.14 / 16Потенциальные силыРассмотрим важный частный случай сил.Если обобщённые силы не зависят от обобщённых скоростей:Qσ = Qσ (t, q1 , .

. . , qn ) и существует функция Π(t, q1 , . . . , qn ) такая, чтоQσ = −∂Π∂qσ(σ = 1, . . . , n)то силы Qσ называются — потенциальные,а функция Π – потенциал (сил) или потенциальная энергия.Для потенциальных сил виртуальная работа имеет выражение:¶nn µXX∂Πδqσ = −δΠδA =Qσ δqσ =−∂qσσ=1σ=1т.е.

работа равна взятому со знаком минус виртуальномудифференциалу от потенциала (время предварительно фиксируется).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.15 / 16Заметим, что если потенциальны обычные активные силы:∂Π, то потенциальными будут и обобщённые силы.F̄ ν = −∂r̄ νДействительно:NNXX∂r̄ ν∂Π ∂r̄ ν∂ΠQσ =F̄ ν ·=−·=−∂qσ∂r̄ ν ∂qσ∂qσν=1ν=1и потенциал обобщённых сил получается из исходного потенциалаобычной заменой переменных: Π(t, qσ ) = Π(t, r̄ ν (t, qσ )).Обратное утверждение – вообще говоря, неверно.Тогда уравнения равновесия системы в обобщёных координатахпринимают вид:∂Π=0(σ = 1, .

. . , n)∂qσуравнения равновесия системы с потенциальными силамиЗначит, положение равновесия доставляет экстремум потенциалу силпо обобщённым координатам.Это свойство – экстремальности потенциала в равновесии системы –будет использовано при исследовании устойчивости этого равновесия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.16 / 16ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 5УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДАКИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ВОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙМЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.1 / 21Рассмотрим систему N материальных точек Pν , положение которых винерциальной системе отсчёта определяется радиус-векторами r̄ ν (t)(ν = 1, . . . , N ). Если система несвободна, тогда наложенные на неё связипредполагаются удерживающими и идеальными. Пусть δr̄ ν – виртуальноеперемещение точки Pν , mν – масса, āν – ускорение, F̄ ν – равнодействующаявсех активных сил, приложенных к Pν .

Тогда имеет место общее уравнениединамики системыNX(F̄ ν − mν āν ) · δr̄ ν = 0(1)ν=1В том случае, когда все или некоторые из связей не идеальны, к активнымсилам F̄ ν следует добавить часть Ḡν равнодействующей реакций связей,действующей на Pν , которая не удовлетворяет условию идеальности. Послеэтого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему сидеальными связями.Общее уравнение динамики мы принимаем за исходное при полученииосновных дифференциальных уравнений аналитической динамики.Фактически все изучаемые дальше уравнения движения материальныхсистем являются только разными формами записи уравнения (1), к которымоно приводится при тех или иных предположениях о характере активныхсил, действующих на систему, и о наложенных на неё связях.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.2 / 21Пусть система голономная, т.е. имеются только геометрические связи вколичестве g штук:fα (t, r̄ ν ) = 0(α = 1, . . . , g)Пусть q1 , . . . , qn - обобщённые координаты, где n = 3N − g – число степенейсвободы системы. Тогда радиус-векторы r̄ ν точек Pν системы относительноинерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов{q1 , . . . , qn , t}, которые считаются трижды непрерывно дифференцируемыми:r̄ ν = r̄ ν (t, q1 , .

. . , qn ). Причём связи в обобщённых координатах: fα (t, qσ ) ≡ 0.Если система склерономная (связи стационарные), то обобщённыекоординаты qσ (t) можно выбрать так, чтобы r̄ ν не зависели явно от t.В общем случае имеем:nnXX∂r̄ ν∂r̄ νdr̄ ν∂r̄ νv̄ ν ==q̇σ +,δr̄ ν =δqσdt∂qσ∂t∂qσσ=1σ=1Запишем общее уравнение динамики в обобщённых координатах.Для работы активных сил на виртуальном перемещении имеем выражение:NnXXδA =F̄ ν δr̄ ν =Qσ δqσNXν=1σ=1∂r̄ νгде Qσ =F̄ ν– обобщённая сила, соответствующая обобщённой∂qσ координате q .ν=1σБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.3 / 21Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции системы навиртуальном перемещении. Пользуясь указанными выше формулами, имеем!ÃNNNnnXXXXX∂r̄ νdv̄ ν ∂r̄ νδqσ−mν āν · δr̄ ν = −mν āν ·δqσ = −mν·∂qσdt ∂qσν=1ν=1σ=1σ=1 ν=1Но выражение в скобках преобразуется к виду:ÃN!NNXXd Xdv̄ ν ∂r̄ ν∂r̄ νd ∂r̄ νmν·=mν v̄ ν−mν v̄ νdt ∂qσdt ν=1∂qσdt ∂qσν=1ν=1(2)Учитывая линейную зависимость приведенного выше выражения скорости v̄ νот q̇σ легко установить:∂ v̄ ν∂r̄ ν=∂ q̇σ∂qσКроме того!Ã nnX ∂r̄ νX∂ v̄ ν∂∂r̄ ν∂ 2 r̄ ν∂ 2 r̄ νd ∂r̄ ν=q̇ρ +=q̇ρ +=∂qσ∂qσ ρ=1 ∂qρ∂t∂q∂q∂q∂tdt∂qσσρσρ=1т.е.d ∂r̄ ν∂ v̄ ν=∂qσdt ∂qσБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.4 / 21После подстановки двух последних равенств в (2) получим:ÃN! NNXXdv̄ ν ∂r̄ νd X∂ v̄ νd ∂T∂T∂ v̄ νmν·=mν v̄ ν=−−mν v̄ νdt ∂qσdt∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ ∂qσν=1ν=1ν=1Nгде обозначено T =1Xmν v̄ 2ν – кинетическая энергия системы.2ν=1Таким образом, получили выражение для элементарной работы силинерции системы в виде:¶Nn µXX∂Td ∂T−δqσ−mν āν · δr̄ ν = −dt ∂ q̇σ∂qσν=1σ=1Тогда, подставляя выражения работ активных сил и сил инерции вобобщённых координатах в общее уравнение динамики, получим(умножая на −1):¶n µX∂Td ∂Tобщее уравнение динамики−− Qσ δqσ = 0 −в обобщённых координатахdt ∂ q̇σ∂qσσ=1Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.5 / 21Т.к. qσ – независимые координаты, поэтому δqσ – совершенно любыевариации координат – независящие друг от друга (σ = 1, . . . , n).Значит, в силу произвольности δqσ , это уравнение будет выполнятьсятолько тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех δqσ .Поэтому, общее уравнение динамики в обобщённых координатахэквивалентно системе уравнений:d ∂T∂T−= Qσdt ∂ q̇σ ∂qσ(σ = 1, . . . , n)Уравнения Лагранжа второго родаВеличины q̇σ – называются обобщённые скорости.Аналогично q̈σ – обобщённые ускорения.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.6 / 21d ∂T∂T−= Qσdt ∂ q̇σ ∂qσ(σ = 1, . . . , n)Скорости точек v̄ ν , в выражении кинетической энергии системы,являются линейными функциями по обобщённым скоростям q̇σ иконечно ещё зависят от времени t и обобщённых координат qσ , т.е.v̄ ν = v̄ ν (t, qσ , q̇σ ), следовательно T = T (t, qσ , q̇σ ).В левые части уравнений Лагранжа, после выполнения операциидифференцирования по времени (d/dt), входят t, qσ , q̇σ , q̈σ .Обобщённые силы, стоящие в правых частях уравнений Лагранжа,обычно задаются как функции t, qσ , q̇σ : Qσ = Qσ (t, qρ , q̇ρ )Qσ =NXν=1F̄ ν∂r̄ ν,∂qσБатяев Е.

А. (НГУ)F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ), r̄ ν = r̄ ν (t, qρ ), v̄ ν = v̄ ν (t, qρ , q̇ρ )ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.7 / 21Преимущества уравнений Лагранжа второго рода• Уравнения Лагранжа II рода образуют систему из n обычныхдифференциальных уравнений второго порядка относительно nнеизвестных функций qσ (t). Порядок этой системы равен 2n. И этонаименьший возможный порядокдифференциальных уравнений движениярассматриваемой системы с n степенями свободы, так как, в силупроизвольности начальных значений величин qσ , q̇σ , решение системыдолжно содержать, по крайней мере, 2n произвольных констант.• Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическуюэнергию системы через обобщённые координаты и скорости T , найтиобобщённые силы Qσ и произвести последовательно все указанныедифференцирования.

Общее жеколичество получаемых уравнений движения системыне зависит от числа материальных точек системы,а определяется только числом степеней свободы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.8 / 21•Форма уравнений Лагранжане зависит от выбора обобщённых координат q1 , . . . , qnПри другом их выборе изменяются только функции T и Qσ , а сам видуравнений остаётся тот же. В этой связи говорят, что уравненияЛагранжа II рода обладают свойством универсальности.•Однако, главным преимуществом уравнений является то, чтоуравнения не содержат реакций идеальных связейи служат для определения только лишь движения системы: qσ = qσ (t).Если же нужно найти реакции, тогда, после интегрирования уравненийЛагранжа, надо подставить найденные функции qσ (t) в выраженияd2 r̄ νr̄ ν = r̄ ν (t, q1 (t), .

. . , qn (t)) = r̄ ν (t) и определить ускорения: āν =.dt2Тогда, равнодействующая реакций R̄ν , приложенных к точке Pν ,определится из соотношений: R̄ν = mν āν − F̄ ν .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.9 / 21Анализ выражения кинетической энергии(в обобщённых координатах)Рассмотрим структуру выражения для кинетической энергии системы,записанной через обобщённые координаты и скорости:à n!2µ¶2NNNX ∂r̄ νdr̄ ν∂r̄ ν1X1X1X2T =mν v̄ ν =mν=mνq̇σ +=2 ν=12 ν=1dt2 ν=1∂qσ∂tσ=1Ã!2µ¶2NnnXXX1∂r̄ ν∂r̄ ν∂r̄ ν ∂r̄ ν=mν q̇σ+2q̇σ +2 ν=1∂q∂t∂q∂tσσσ=1σ=1или в сокращённой записи:T =nnX1 Xaσρ q̇σ q̇ρ +aσ q̇σ + a02 σ,ρ=1σ=1где введены обозначения для коэффициентов aσρ , aσ , a0 – функций от{t, q1 , . . .

, qn }µ¶2NNNXX∂r̄ ν ∂r̄ ν1X∂r̄ ν∂r̄ ν ∂r̄ νaσρ =mν,a0 =mν,aσ =mν∂qσ ∂qρ∂qσ ∂t2 ν=1∂tν=1ν=1Причём видно, что: aσρ = aρσ , т.е. симметричные по нижним индексам.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.10 / 21Данная формула T показывает, что кинетическая энергия голономнойсистемы представляет собой функцию (многочлен) второй степениотносительно обобщённых скоростей q̇σ и представима в виде:T = T2 + T1 + T0гдеT2 =n1 Xaσρ q̇σ q̇ρ ,2 σ,ρ=1T1 =nXaσ q̇σ ,T0 = a0σ=1однородные функцииотносительно обобщённых скоростей q̇σ :T2 – квадратичная форма,T1 – линейная форма,T0 – форма нулевой степениВ случае склерономной системы (стационарные связи) время не входит вуравнение связи и в выражение r̄ ν = r̄ ν (q1 , . . .