Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 6

Вопросы, связанные с турбулентностью будут рассмотреныпозднее.4.1Интегрированиепоконтрольномуобъёмууравнения движения,Мы уже рассматривали интегрирование по контрольному объёмууравнений неразрывности и энергии. Теперь настала очередь уравнениядвижения:∂U∫ ∂τdV +V1∫ (U ⋅ ∇ )UdV = ∫ JdV − ρ ∫ ∇PdV +ν ∫ ∆UdVVVV(4.1)VВоспользовавшись формулой (1.14), преобразуем интеграл от градиентадавления.

Будем иметь:∂U∫ ∂τVdV +1∫ (U ⋅ ∇ )UdV = ∫ JdV − ρ ∫ PdS +ν ∫ ∆UdVVVS(4.2)VДанное уравнение – векторное. Его можно свести к трём обычным(скалярным) уравнениям, спроецировав на оси координат. Запишем лишьодну такую проекцию:49∫V∂U X1dV + div(U X U )dV = J X dV −∂τρ∫∫∫ PdSVVS∫+ ν ∆U X dVX(4.3)VОтсюда сразу видно, что мы можем преобразовать некоторые интегралыпо объёму к поверхностным. Применив теорему Остроградского-Гаусса,получим:∫V∂U X1dV + U X U ⋅ dS = J X dV −∂τρЧтобы∫∫∫ PdSSVSполучитьвтороеX∫+ ν grad U X ⋅ dS(4.4)Sи третьеуравнение,надоxзаменитьсоответственно на y и z.В тензорной нотации то же самое запишется в виде:∂1U i dV + U jU i ⋅ dS j = J i dV −∂τρ∫∫∫∫ PdSVSVSi+ν∂U i∫∂xS⋅ dS j(4.5)jЕсли бы мы сразу воспользовались тензорной нотацией, то нам бы непришлось записывать проекцию уравнения, а мы бы сразу получилиокончательный результат.Обычно в литературе тензорная нотация применяется совместно собычной.4.2Расчёт поля давленияКогда мы рассматриваем течение сжимаемой жидкости, то уравнениенеразрывности имеет вид (3.1).

В это уравнение входит плотность жидкостиρ. Зная уравнение состояния, можно легко найти поле давления из поляплотности.ЧащевсегоуравнениемсостоянияявляетсяуравнениеМенделеева-Клапейрона:p = ρRT(4.6)В системе же уравнений течения несжимаемой жидкости (2.1)-(2.3)давление присутствует только в виде своего градиента в уравнении (2.2), из50которого мы будем находить составляющие скорости. При этом уравнениядля явного определения поля давления нет и способ нахождения давлениядалеко не очевиден.К данной проблеме существует несколько подходов.•Исключение давления из системы уравнений.•Получения уравнения типа уравнения Пуассона для давления.Методы исключения давления из системы уравненийВспомним известную формулу векторного анализа (1.11) и запишем еёдля вектора скорости: + rot U × U 2 (U ⋅ ∇ )U = grad U2(4.7)Подставив (4.7) в (2.2) и применив операцию rot, получим уравнение длявихря:∂ rot U− rot (U × rot U ) = ν ⋅ ∆(rot U ) + rot J∂τ(4.8)Это уравнение вместе с уравнением (2.1) составляют систему длянахождения вектора скорости.

Их можно решить, используя метод конечныхобъёмов и применяя известные соотношения векторного анализа (см. п. 1.1).К недостаткам этого подхода можно отнести некоторую сложность впонимании физического полученных уравнений (что, впрочем, субъективно).Кроме того, можно модифицировать этот подход введением функциитока. Этот приём широко используется для описания двумерных течений.Функцию тока ψ определяют следующим образом:UX =∂ψ∂ψ; Uy = −∂y∂x51(4.9)Очевидно, что при таком рассмотрении уравнение неразрывностиудовлетворяется автоматически (проверьте это, подставив (4.9) в (2.1)).Для ротора скорости в двумерном случае мы имеем следующеевыражение:rot U = ω =∂U y∂x−∂U X∂y(4.10)Принимая во внимание формулу (4.9), можно показать, что:ω = − ∆ψ(4.11)Окончательно получим следующую форму уравнения движения:∂ ω  ∂ ω ∂ψ ∂ ω ∂ψ+⋅−⋅∂ τ  ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x = ν ⋅ ∆ω + rot J(4.12)Преимуществом введения переменных «функция тока - вихрь» являетсято, что вместо трёх уравнений (уравнение неразрывности и две проекциивекторного уравнения движения), мы решаем два – уравнение (4.11) и (4.12).Если подставить (4.11) в (4.12), то можно вообще свести задачу к одномууравнению четвертого порядка.

После получения решения для введённыхпеременных с помощью них вычисляются так называемые естественныепеременные (скорость, давление и т.п.).Серьёзнымнедостаткомэтогоподходаявляетсянеочевидностьграничных условий. Он более интересен со своей математической стороны,однако несёт мало физического смысла. Поэтому метод конечных объёмов вданном случае применить тоже несколько затруднительно. Опять же,восстановление значений естественных переменных по полю значенийфункции тока и вихря – тоже не совсем простая задача.Желающих подробнее рассмотреть методы решения задач с помощьювведения переменных «функция тока – вихрь» мы отсылаем к [9] и большеостанавливаться на них не будем.52Уравнение Пуассона для давленияИспользуя уравнения неразрывности и движения, можно получитьуравнение, из которого можно явным образом найти поле давления.Для этого применим к обеим частямуравнения (2.2) операциюдивергенции:∂Udiv(grad P ) = ρ ⋅ div J −− (U ⋅ ∇ )U +ν∆U ∂τ(4.13)Произведём некоторые преобразования, учитывая формулы (1.11), атакже тот факт, что: ∂φ  ∂ =div(div φ ) ∂τ  ∂τ(4.14)Получим следующее выражение:∂∆P = ρ  div J −(div U ) − div[(U ⋅ ∇ )U] +ν div(∆U )τ∂Примемвовниманиетотфакт,чтопо(4.15)формуле(1.10)∆U = grad(div U ) − rot (rot U ) .

Но дивергенция скорости согласно уравнениюнеразрывности (2.1) равна нулю. Дивергенция любого ротора так же равнанулю (см. формулы (1.11)). Таким образом, мы приходим к следующемууравнению:∆P = ρ {div J − div[(U ⋅ ∇ )U ]}(4.16)Это и есть искомое уравнение для давления. Из него в частности видно,что для несжимаемой жидкости поле давления от вязкости не зависит.Запишем его так же и в тензорной нотации:∂∂ xi∂ Ji ∂P ∂ ∂ x  = ρ∂ x − ∂ xi i i53 ∂ U iU j ∂xi(4.17)Таким образом, система уравнений, описывающих неизотермическоетечение несжимаемой жидкости состоит из уравнений (4.16), (2.2) и (2.3),причём уравнение (4.16) заменило здесь уравнение неразрывности (2.1).Проинтегрируем уравнение (4.16) по контрольному объёму:grad P ⋅ dS = ρ  J ⋅ dS − (U ⋅ ∇ )U ⋅ dS SSS∫∫∫(4.18)Тут следует сделать важное замечание: для получения корректныхрезультатов способ, которым получаются дискретные аналоги интегралов вуравнении (4.18) и (4.5) должен быть одним и тем же.

Проще говоря, если дляинтеграла по градиенту давления в (4.18) выбран способ с линейнойинтерполяцией, то и в уравнении (4.5) интеграл от давления должен бытьаппроксимирован с помощью линейной интерполяции (но никак не спомощью квадратичной или кубической или какого-либо другого метода).Всё это обуславливается тем, что мы получили уравнение для давленияпутём преобразования уравнения движения и применения уравнениянеразрывности.

Таким образом, напрямую уравнения неразрывности мы нерешаем, оно соблюдается автоматически. Однако если при численномрешении уравнений мы будем применять для каждого из них неодинаковыеспособы, то уравнение неразрывности соблюдаться не будет.4.3Подходы и проблемыКак мы уже показали выше, решение каждого из уравнений системы (2.1)-(2.3), или (4.16), (2.2) и (2.3) сводится к решению системы линейныхалгебраических уравнений.

И уравнений этих столько, сколько ячеек врасчётной сетке.54Каждую из систем этих уравнений можно решать как совместно со всемидругими, так и по отдельности. Когда мы решаем уравнения по отдельности(т.н. раздельный подход, segregated approach), мы рассматриваем толькокакое-то одно уравнение системы (2.1)-(2.3). Так мы поступали в п. 3, считая,что поле скорости нам известно. Этим мы лианеризовали уравнение энергии.Проще говоря, свели нелинейное уравнение к линейному.Раздельное решение требует меньше памяти, хотя при этом можетвозникнуть ряд проблем.Во-первых, при раздельном решении требуется применять особыеприёмы для того, чтобы решения, получаемые для поля давления и для поляскорости, соответствовали друг другу (в англоязычной терминологии этоназывается термином pressure-velocity coupling, т.е.

– «стыковка скорости идавления»). Для этой «стыковки» часто вводят для каждого уравнениясистемы свою собственную особую сетку (хотя есть подходы, где для всехуравненийиспользуетсяоднасетка)испециальныеформулыдлякорректировки давления и скорости. Два популярных метода сокращённоназываются SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) иSIMPLER (SIMPLE Revised).

Подробно эти методы описаны в [5].При совместном решении (coupled approach) все уравнения решаютсясовместно. Это усложняет задачу, поскольку все уравнения в системе (2.1)(2.3), кроме уравнения (2.1) теперь нелинейны. Для их решения требуетсябольше ресурсов, однако при использовании этого подхода часто удаётсядобиться более быстрой сходимости решения, чем при раздельном решении.555Турбулентность:проблемымоделированияиподходы к их решениюДо этого мы не касались вопроса режима течения. Мы лишь упомянули,что уравнения, представленные в п.

4 в такой форме могут быть успешноприменены в основном лишь для ламинарных потоков. Данная главапосвященапроблеметурбулентностииосновнымподходамкеёмоделированию.Все дифференциальные уравнения здесь записываются только втензорной нотации, поэтому читателю рекомендуется просмотреть п. 1.2.5.1Феномен турбулентностиНачать рассмотрение феномена турбулентности проще всего именно стого самого исторического примера, который и положил начало учению оней. Речь идёт об опыте О. Рейнольдса 1883 года.Экспериментальная установка показана на рисунках Рисунок 5.1 иРисунок 5.2.