Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 8

В этом случаеуравнение (5.11) примет вид: ∂Tρcp  ∂τ+U j∂T ∂T ∂ =(λ + λT ) + qv∂ x j  ∂ x j ∂ x j (5.17)По аналогии с обычным числом Прандтля (которое устанавливает связьмежду молекулярными коэффициентами вязкости и теплопроводности),можно ввести турбулентное число Прандтля, устанавливающее связь междусоответствующими турбулентными коэффициентами:PrT =µT c PλT(5.18)Для многих течений жидкостей и газов (например – течения в трубах,течения в соплах, струи) предполагают, что PrT = 0.9 .

При заданномтурбулентномчислеПрандтлянеобходимонайтитолькоодинизкоэффициентов, а второй тогда получается автоматически. Обычно ищуттурбулентную вязкость, а турбулентную теплопроводность вычисляют черезPrT.Подходы,использующиегипотезуБуссинеска,имеютодинсущественный недостаток. Коэффициент турбулентной вязкости есть скаляр.67Таким образом, предполагается, что турбулентность изотропна, т.е. независит от направления, что верно далеко не всегда.5.5ПутьсмешенияЛ.Прандтля.АлгебраическиемоделиМодель для описания распределения турбулентной кинематическойвязкости ν T =µTρвпервые была предложена Л.Прандтлем в 1925г. иизвестна как модель пути смешения.Рассматривая осредненные сдвиговые течения без градиента давления,Прандтль постулировал, что характерный масштаб пульсаций скорости равенградиенту осредненной скорости, умноженному на характерный масштабдлины lm, который он назвал путем смешения.Понятие пути смешения в теории турбулентности сродни понятиюсвободного пробега молекулы в кинетической теории газов.

Путь смешенияесть некоторая длина, на которой вихрь теряет свою индивидуальность,смешиваясь с окружающим потоком. Это расстояние также равно среднемурасстоянию пульсаций.В свете гипотезы пути смешения можно получить следующее выражениедля турбулентной вязкости:ν T = l m2 ⋅∂U X∂y(5.19)Длина пути смешения определяется эмпирически. Успех предложеннойПрандтлем модели был предопределен тем обстоятельством, что для многихпростых типов течений со сдвигом lm может быть выражена относительно68несложными формулами. При рассмотрении течения в пограничном слоеполагаютl m = κy(5.20)Здесь κ = 0.4 – постоянная Кармана.С помощью модели Прандтля было получено много важнейших длятеплообмена и гидродинамики результатов.

Однако сейчас она малоприменяется, поскольку пригодна лишь для простых типов течений(отрывные течения, скажем, она описывает плохо).Модель пути смешения Прандтля является представителем семействаалгебраических моделей. Алгебраические модели отличаются тем, что дляполучениязначениятурбулентнойвязкостинетребуетсярешатьдополнительных дифференциальных уравнений. Моделей этой группы дляразных случаев создано достаточно много. Хороший их обзор дан в [10].Модель k-ε. Дифференциальные модели5.6Модели с дифференциальными уравнениями являются более сложными,однако они и более универсальны, их можно применять к широкому кругузадач.Самой известной и популярной на сегодняшний день дифференциальноймоделью является модель k-ε.

Для её построения вводятся два параметра:k=U 'i U 'i2диссипация- кинетическая энергия турбулентности и ε = νтурбулентнойтурбулентностиэнергии.представляютФактическисобойзакон∂ U 'i ∂ U 'i∂ xk ∂ xkуравнениясохранения-моделитурбулентнойэнергии. Из анализа размерностей k и ε следует, что турбулентнаякинематическая вязкость должна выражаться как:69ν T = cµk2(5.21)εгде c µ - некоторая константа. Экспериментально установлено, чтоc µ = 0.09 .Уравнение для k является точным. Оно получается при подстановкезначения k в уравнения Навье-Стокса (2.2).

Уравнение для ε также выводитсяиз них, с последующими преобразованиями и гипотезами относительновеличины отдельных членов. Запишем уравнения модели без вывода:∂k∂k∂+U j=∂τ∂ xj ∂ xj∂ε∂ε∂+U j=∂τ∂ xj ∂ xj∂ k   ∂ U i ∂ U j+(ν +ν T )+∂ x j   ∂ x j ∂ xiνν + Tσε ∂ε ε  ∂ U i ∂ U j ∂ x  + cε 1 k  ∂ x + ∂ xjji ∂Ui⋅−ε ∂ xj ∂Uε2i⋅− cε 2 ∂xjk(5.22)(5.23)σ ε = 1.3; cε 1 = 1.44; cε 2 = 1.92Кроме k-ε существует целый ряд других дифференциальных моделей.Например, семейство моделей k-ω.Впервыемодельтакоговидапредложеназнаменитымрусскимматематиком Колмогровым в 1942 году. Эта модель содержит уравненияпереноса кинетической энергии турбулентности k и удельной (в единицеобъема) скорости диссипации энергии ω.

Иногда ω2 определяют какосредненный квадрат пульсаций завихренности. Ее размерность – (время)-2.Она связывается с k и ε следующим соотношением:ω=ε(5.24)cD kгде c D - некоторая константа. Обычно полагается, что c D = c µ = 0.09 .При этом далеко не все дифференциальные модели состоят из двухуравнений. К примеру распространенная в расчётов по дозвуковой70аэродинамике модель Спалларта и Алмареса содержит только одноуравнение, а модель Пола Дурбина v2-f – четыре уравнения. У каждой измоделей есть свои преимущества и недостатки, свои требования к сетке иособенности решения.

Достаточно подробно об этих особенностях излагаетсяв [10], мы же несколько позже приведём таблицу с кратким описаниемнаиболее популярных моделей.5.7О моделировании течений вблизи стенкиОказалось, что далеко не все модели турбулентности адекватно отражаютпроцессы, происходящие в пристеночной области. Причиной этого являетсятот факт, что вблизи стенки силы вязкости часто преобладают над силамиинерции, течение там не полностью турбулентно.По признаку того, способна ли модель адекватно смоделироватьпристеночный слой, все их делят на высокорейнольдсовкие (High-Reynolds) инизкорейнольдсовские(Low-Reynolds).Низкорейнольдсовкиебезпривлечения каких-либо дополнительных приёмов адекватно моделируютпристеночный слой (при этом им, правда, требуется гораздо болеекачественная сетка).

Высокорейнольдсовские модели на это не способны.Самым частым приёмом для моделирования пристеночных слоёв припомощи высокорейнольдсовских моделей – метод пристеночных функций.Известно, что пристеночная область течения может быть разбита на тризоны (см. Рисунок 5.9):1) Вязкий подслой, в котором вязкие напряжения доминируют надрейнольдсовыми и имеет место линейная зависимость скорости потока отрасстояния от стенки: u+ = y+, где u + =71Uuτ- безразмерная скорость,y+ =uτ yν– безразмерное расстояние от стенки, uτ =σw– динамическаяρскорость.2) Буферный слой, где вязкие и рейнольдсовы напряжения имеют одинпорядок.«Сшивая»профилискоростидлявязкогоподслояилогарифмического слоя, приближенно получают:u + = 5 ln y + + 3.053)влогарифмическомслоерейнольдсовы(5.25)напряжениянамногопревышают вязкие, а профиль скорости может быть представлен в формелогарифмического закона:u+ =1κ(ln E ⋅ y +)(5.26)где κ - постоянная Кармана, E-постоянная, определяющая степеньшероховатости (для гладкой стенки экспериментально установлено E = 8.8).Рисунок 5.9 Структура пристеночного слоя72Описанные участки обычно объединяются в одну внутреннюю область,которая занимает порядка 20% толщины пограничного слоя и в которойгенерируется около 80% всей энергии турбулентности.

Одно из важныхсвойств внутренней области заключается в том, что профиль скорости слабозависит от числа Рейнольдса, продольного градиента давления и прочихвнешних условий (которые, тем не менее, могут вызвать уменьшениетолщины внутренней области или даже полное ее вырождение). Именно этосвойство послужило основой для построения универсальных соотношений(пристеночных функций), связывающих параметры течения с расстоянием отстенки. Наряду с универсальностью профиля скорости во внутреннейобласти, метод пристеночных функций опирается на использование гипотезыо локальном равновесии энергии турбулентных пульсаций, а также свойствалокальной изотропности диссипирующих вихрей.Следует также сделать замечание по поводу требований к сетке.

Обычноони выражаются через безразмерное расстояние от стенки y+ ближайшегоузла.Длянизкорейнольдсовскихмоделейy+ ∼1 ,длявысокорейнольдсовских оно обычно в районе 12-13, или более.Однако точное значение y+ может быть получено только послевычисления напряжений на стенке (т.е. уже после решения задачи). Поэтомусетки, после первых расчётов иногда приходится перестраивать заново,чтобы подобрать требуемое значение расстояния y+.Чтобы получить хотя бы примерные сведения о том, какого размераследует задавать ячейки у стенки, можно воспользоваться прикидочнымиформулами.

Например, известно, что для круглой трубы при стационарномтечении73σw =ξ ⋅гдеξкоэффициент–ρU 2 l⋅2(5.27)dтрения,вычисляемыйпоэмпирическимзависимостям (см. например [15]), l – длина канала, d – диаметр канала.5.8ОбщиеданныеонекоторыхмоделяхтурбулентностиПриведёмданныеосамыхпопулярныхиизвестныхмоделяхтурбулентности:НазваниемоделиТипВысоко-илинизкорейнольдсовскаяКраткое описаниеДвухслойнаямодель,разделяет поток на двеобласти – внешний потокиМодельслой.ПрименяетсяСебесиСмитапристеночныйалг.Низкорейнольдсовская(Cebeci-высокоскоростныхбезотрывныхОченьSmith)дляпотоков.полезнадляпредварительныхрасчётов, когда не важнадетальнаяфизикапроцесса.МодельСходнаБолдуина-Себеси-Смита по своимЛомаксаалг.Низкорейнольдсовская(BaldwinLomax)74схарактеристикаммодельюНазваниемоделиМодельТипдиф.Высоко-илинизкорейнольдсовскаяНизкорейнольдсовскаяКраткое описаниеМодель содержит одноСпаларта-дифференциальноеАллмаресауравнение.(Spalart-дляAllmaras, SA)дозвуковойСоздаваласьзадачвнешнейаэродинамики.Опытэксплуатации модели SAпоказал, что ее реальныевозможностизаметношире,чемпредполагалось при еесоздании.Болеетого,после введения в неепоправокнакривизнулиний тока и вращение,границыееприменимостимоделизаметно расширились.Этаодномодельсодержитуравнение.обеспечиваетОнавполнеудовлетворительноеν T − 92диф.Низкорейнольдсовскаяописаниенетолькобольшинстваканонических сдвиговыхтечений(плоскаяосесимметричнаяслои75смешенияиструя,вНазваниемоделиТипВысоко-илинизкорейнольдсовскаяКраткое описаниенесжимаемойисжимаемойжидкости,пограничныйслойплоскойпластинеотсутствииналичиинаприипришероховатостиповерхности и др.), но ирядаболеесложныхтечений,представляющихпрактический интерес.Хорошоописываетполностьюразвитуютурбулентность.