Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С. (1013333), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

А вот кислород расходуется в двух операциях и его скорость1 1 1образования равна S O2 = WO2  − R1 − R2  = − WO2 (R1 + R2 ) .2 2 2Вернемся к скоростям реакций.В 1865 году Н. Н. Бекетовым и в 1867 году Гульдбергом и Вааге былсформулирован закон действующих масс:Скоростьхимическойреакциивкаждыймоментвременипропорциональна концентрациям реагентов, возведенным в некоторыестепени.85Дляэлементарныхконцентрациикаждогореакцийвеществапоказательравенстепениегопризначениистехиометрическомукоэффициенту, для более сложных реакций это правило не соблюдается.NCNC′′′ν kIRk = Fk[ I ] − Bk[ I ]ν kII = A, B ,... I = A, B,...∏∏(6.15)где Fk и Bk - коэффициенты скоростей прямой и обратной реакции k,соответственно (размерность 3  n −1  m  ⋅ 1  ), n - порядок реакции. kmol sНапример, для реакцииH + OH + M ←→ H 2O + M(6.16)Коэффициенты скоростей реакций рассчитываются по формулам: T Fk = Ak T β k exp − k  T (6.17) T Bk = Ak T β k exp − k  T (6.18)где Ak - предэкспоненциальный множитель,β k - безразмерный температурный показатель степени,Tk - температура активации,T - температураКонстанты Ak , β k , Tk имеют разное значение для прямой и обратнойреакций.А что же такое элементарные реакции?Элементарные реакции это химические реакции, которые не могут бытьпредставлены более простыми химическими превращениями.

Элементарныереакции — составные части сложной реакции. Иногда вместо термина86«элементарная реакция» пользуются терминами «элементарная стадия» илипросто «стадия» (сложной реакции).Дело в том, что реакции, представленныеформулами (6.13) и (6.14)являются сложными реакциями, и их скорость определить практическиневозможно. Для математического описания процесса горения CO и H 2 вкислороде необходимо представить этот процесс ввиде системыэлементарных реакций.Как правило, используется схема, представленная в Таблица 6.1Таблица 6.1 Элементарные реакции процесса горения CO и H 2 в кислородеЦепные реакцииРеакция 1H + O2 ←→ OH + OРеакция 2O + H2 ←→ OH + HРеакция 3OH + H 2 ←→ H 2O + HРеакция 4OH + OH ←→ H 2 O + OРеакции рекомбинации и диссоциацииРеакция 5H +H +M ←→ H 2 + MРеакция 6H + OH + M ←→ H 2 O + MРеакция 7H +O+ M ←→ OH + MРеакция 8O+O+ M ←→ O2 + MРеакции с углеродомРеакция 9CO + OH ←→ CO2 + H87Реакция 10CO + O + M ←→ CO2 + MЗначок ←→ означает, что реакцияможет идти каквправо, так ивлево.

M в реакциях 5-8 и 10 – это так называемое третье тело; им можетбыть любой химический компонент, входящий в смесь. Третье тело неизменяется в результате реакции, оно только способствует распаду молекулыпри соударении с ним (реакции диссоциации), либо соединению атомов илимолекул в более сложные молекулы (реакции рекомбинации).Для оценки влияния химических реакций имеет смысл ввести такназываемое число Дамкелера (Damköhler number), которое для каждойрекции определяется какDa =скорость химической реакциискорость конвективного переноса(6.19)илиDa =τ gas(6.20)τ chemгде τ gas - характерное газодинамическое время (масштаб временипереноса вещества за счет конвекции),τ chem - характерное время протекания химической реакции.Если рассматривать все реакции, то число Дамкелера это отношениечлена в ( IV ) уравнении (6.9) к члену ( II ) .Рассмотрим более подробно, как происходит окисление водорода всистеме реакций таблицы 1.Предположим в системе появился 1 (один) атом свободного радикала O .Один из механизмов следующий:88радикал O взаимодействует с молекулой H 2 через реакцию 2, иобразуются один радикал OH и один радикал H ;радикал H взаимодействует с молекулой O2 через реакцию 1, иобразуются один радикал OH и один радикал O (т.е.

имеется уже всего дварадикала OH );два радикала OH взаимодействуют между собой через реакцию 4 , иобразуются одна молекула воды H 2 O и один радикал O .Общий результат такой цепочки:O + H 2 + O2 → H 2 O + 2 ⋅ O(6.21)т.е. цепочка замкнулась, вместо одного радикала O получилось 2радикала, молекулы H 2 и O2 превратились в молекулу воды H 2 O .Можно рассмотреть и другие варианты цепочек.Основной эффект реакций 1-4 это лавинообразноеувеличение числасвободных радикалов O, H , OH и превращение H 2 и O2в H 2 O , т.е.горение водорода в кислороде.Реакции 1-4 называются цепными. ЦЕПНЫЕ РЕАКЦИИ – химическиереакции, идущие путем последовательности одних и тех же элементарныхстадий, на каждой из которых возникает одна или несколько активныхчастиц (атомов, свободных радикалов, ионов, ион-радикалов). В частности,по цепному механизму протекают реакции горения.Эти реакции протекают с очень большой скоростью исчитаютсябыстрыми.

Для них τ chem очень мало.Отток свободных радикалов осуществляется за счет медленных реакцийрекомбинации 5-8. Для них характерное время протекания химическихреакций τ chem значительно больше, чем для реакций 1-4.89Резонно задать вопрос, откуда в смеси H 2 и O2 появляются первыесвободные радикалы?Они могут возникать в результате реакций диссоциации (реакции 4-8,идущие справа налево). Реакции диссоциации протекают только придостаточно высоких температурах.Таким образом, для воспламенения смеси H 2 и O2 необходиманекоторая начальная вспышка, которая создаст достаточноеколичествосвободных радикалов для инициирования цепных реакций горения.Справка из энциклопедии. Свободные радикалы в химии — частицы(как правило, неустойчивые), содержащие один или несколько неспаренныхэлектронов,оксиданты,вцеломчастицы(илиинтермедиаты)электронейтральны.

По другому определению свободный радикал — видмолекулы или атома, способный к независимому существованию (то естьобладающий относительной стабильностью) и имеющий один или дванеспаренных электрона.Как было ужереакцийτ chemуказано, характерные времена протекания химическихдля цепных реакций и для реакций рекомбинации-диссоциации очень сильно отличаются друг от друга. Т.е. справедливо:Dachain > DarecombDachain - число Дамкелера для цепных реакций, Darecomb(6.22)- числоДамкелера для реакций рекомбинации-диссоциации.Учитывать необходимо и те и другие реакции.

Это порождает серьезнуюматематическую проблему, возникающую при решении системы уравненийпереноса (6.9), т.к. эта система является жесткой.В следующем пункте мы рассмотрим понятие жесткости системуравнений.906.3Жёсткие системыРассмотрим пример (пример 1). Пусть имеется система уравнений dy1 dt = λ1 y1 dy 2 = λ2 y 2 dt(6.23)с начальными условиямиy1 (0) = y 2 (0) = 1(6.24)Зададим значения числовых коэффициентов равными: λ1 = −1 и λ2 = −10 6Система легко решается аналитически, и ее решение имеет вид:y1 (t ) = e −t ;y 2 (t ) = e −106t(6.25)Нам интересно проверить решение системы численными методами,поэтому используем для решения системы (6.23) явный метод Эйлера.Из теории численных методом известно, что для сходимости решенияконечно-разностных уравнений к точному решению необходима такназываемая устойчивость разностной схемы.Метод Эйлера применительно к системе (6.23) дает следующеечисленное решение:yin +1 − yinτyin +1=yin= λyin ;+ τλi yin(6.26)=yin(1 + τλi )гдеi = (1, 2) , τ - шаг конечно-разностной сетки,yin - значение yi на n - ом шаге по t ,yin +1 - значение yi на (n + 1) - ом шаге по t .Конечно-разностная сетка задается соотношением:91t n = nτ(6.27)y1i = (1 + τλi ), yi2 = (1 + τλi )2 ,....., yin = (1 + τλi )n(6.28)Таким образом,Условием устойчивости разностной схемы (6.26) является:λ1τ + 1 < 1;λ2τ + 1 < 1(6.29)т.е.

τ < 2 ⋅10 −6Предположим, что нам необходимо определить решение системы при6t = 3 . Точное решение (25) равно: y1 (3) = 0,049787 , y 2 (3) = e −3⋅10 . Значениеy 2 выходит за рамки разрядности любой вычислительной машины ифактически равно нулю.Решение конечно-разностного уравнения (6.26) с учетом (6.27) и (6.28)имеет вид:yi (t ) = (1 + λiτ )(t / τ )(6.30)(При шаге τ = 5 ⋅10 −7 и t = 3 получаем: y1 (3) = 1 − 10 −6)(3 / 10 −6)= 0.04978 ,y 2 (3) = 0Для более раннего момента времени t = 10 −4 при том же шаге τ = 5 ⋅10 −7( )y (10 ) = 3.72 ⋅10численное решение - y (10 ) = 0,9999 , y (10 ) = 6.22 ⋅10получаем:точноерешение-y1 10 −4 = 0,9999 ,−41−4−42−44;−612Мы видим, что для y1 выбранный шаг дает хорошее совпадение дляобоих моментов времени; для y 2 относительное совпадение плохое, носамом деле это не имеет большего значения, т.к.

в обоих случаях решениефактически равно нулю.Для получения более точного численного решения второго уравнениянеобходимо еще больше уменьшить шаг интегрирования. Например, если92τ = 1 ⋅10 −9 , то численное решение при t = 10 −4 гораздо ближе к точному( )решению: y 2 10 −4 = 3.54 ⋅10 −44 .С другой стороны для получения хорошей точности при решениипервого уравнения совсем необязательно задавать такой маленький шаг какτ = 5 ⋅10 −7 . При шаге в 20000 раз больше, т.е.

при τ = 1 ⋅10 −2численное решение:y1 (3) = 0,049 ,получаем( )y1 10 −4 = 0,9999 - очень близкое кточному решению.Систематизируем полученные данные в Таблица 6.2 и Таблица 6.3Таблица 6.2 Сравнение точного и приближенного решения при различныхшагах по времениВремя t = 3Шаг τy1y1y2y2точноечисленноеточноечисленноерешениерешениерешениерешение5 ⋅10 −70,04978700,049041 ⋅10−20,049787(погрешность0решениеневозможно1.5%)1 ⋅10 −90,049787093Таблица 6.3 Сравнение точного и приближенного решения при различныхшагах по времениШаг τy1точноерешение5 ⋅10 −71 ⋅10 −2Время t = 1 ⋅10 −4y1y2численноеточноерешениерешение0,99990,99991 ⋅10 −93.72 ⋅10 −440,9999y2численноерешение6.22 ⋅10 −61решениеневозможно3.54 ⋅10 −440,9999Основной вывод, который можно сделать, исходя из полученныхрезультатов, состоит в том, что шаги τ оптимальные для первого и второгоуравнения отличаются друг от друга на несколько порядков. Это приводит кбольшим неприятностям.

Решать первоеуравнение с шагом 1 ⋅10 −9непозволительная роскошь с точки зрения расходования вычислительныхресурсов, а использовать шаг 1 ⋅10 −2 для второго уравнения невозможно сточки зрения устойчивости.Вообще говоря, трудности численного решения подобных систем,получивших название жестких, связаны с выбором шага интегрирования.Дело в том, что характерныевремена исследуемых процессов могутразличаться в 10 6 раз.

Следовательно, если при численном решении системынеобходимо выбирать шаг по самому быстрому процессу. В данном случаезатраты машинного времени для исследования самых медленных процессовбудут неоправданно велики.По этой причине имеются следующие альтернативы в выборе подхода кчисленному решению рассматриваемых задач.941. Численно решать систему с шагом, выбранным по условию (6.29), т.е.с учетом характерных времен всех процессов, описываемыхданнойсистемой.2. Решать систему ОДУ с различными шагами, соответствующимифизическимпроцессамссущественноразличнымихарактернымивременами. В этом случае необходимо задавать условия перехода к другомушагу интегрирования.3.«Пренебречь»рассматриватьлишьбыстропротекающимимедленные,проводяпроцессамииинтегрированиечисленносшагом,превышающим характерные времена быстрых процессов.

Характеристики

Список файлов книги