Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С.
Описание файла
PDF-файл из архива "Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С.", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
А.А. Аникеев, А.М. Молчанов, Д.С. ЯнышевОсновы вычислительного теплообмена игидродинамикиУчебное пособиеОглавлениеВведение ................................................................................................611.1Основные сведения из векторного анализа ...............................61.2Тензорная запись уравнений механики жидкости и газа ....... 111.3Основные уравнения механики жидкости и газа .................... 152Основные методы численного решения задач тепломассообмена. 253Основы метода конечных объёмов ...................................................
283.1Простой пример.......................................................................... 283.2Уравнение энергии ..................................................................... 303.3Дискретные аналоги поверхностных интегралов ...................
323.4Дискретные аналоги объёмных интегралов ............................ 383.5Граничные условия .................................................................... 383.6Производная по времени ........................................................... 433.7Общий алгоритм решения задачи ............................................. 47Расчёт поля течения ............................................................................
4944.1Интегрированиепоконтрольномуобъёмууравнениядвижения..................................................................................................... 494.2Расчёт поля давления .................................................................
504.3Подходы и проблемы ................................................................. 54Турбулентность: проблемы моделирования и подходы к их5решению .............................................................................................................. 565.1Феномен турбулентности .......................................................... 565.2Явления отрыва ..........................................................................
595.3Осреднённое движение. Уравнения Рейнольсда. .................... 625.4Гипотеза Буссинеска .................................................................. 665.5Путь смешения Л.Прандтля. Алгебраические модели ........... 685.6Модель k-ε. Дифференциальные модели ................................. 6945.7О моделировании течений вблизи стенки ............................... 715.8Общие данные о некоторых моделях турбулентности ........... 745.9Более сложные модели турбулентности .................................. 78Особенности расчёта химически реагирующих течений ................
8166.1Основные положения ................................................................. 816.2Основные уравнения .................................................................. 836.3Жёсткие системы ....................................................................... 916.4Решениежёсткихсистемприменительнокзадачамхимической кинетики ....................................................................................
1026.5Методрасщеплениядлясистемыуравненийпереносахимических компонентов ............................................................................. 105Метод конечных элементов в тепловых расчётах ......................... 10777.1Основные понятия вариационного исчисления .................... 1077.2Основные концепции МКЭ на примере решения задачтеплопроводности.......................................................................................... 1107.3Выбор типа элементов и составление функций формы........
1147.4Система уравнений МКЭ ........................................................ 117Приложение 1. Расчёт двумерной задачи теплопроводности методомконечных элементов ........................................................................................... 123П.1.Постановка задачи ................................................................... 123П.2.Локальная нумерация узлов .................................................... 124П.3.Составление системы уравнений метода конечных элементов ....................................................................................................
129П.4.Пример реализации расчета стационарного температурногополя методом конечных элементов ............................................................. 139Заключение ......................................................................................................... 147Список использованной литературы ................................................................
14851ВведениеВ настоящее время с интенсивным развитием компьютерных технологийособое значение приобретает математическое моделирование различныхфизических процессов. В задачах тепло- и массообмена численныйэкспериментприобрелсейчасважностьсравнимуюсважностьюэксперимента натурного.Целью данного пособия является ознакомление читателей с основамимоделирования процессов теплопроводности и конвективного теплообмена.Часть материала, представленного в пособии, носит описательный характер ислужит для создания представления о существующих на сегодняшний деньмоделях.
Такой подход к изложению оправдывается тем, что сейчассуществует целый ряд коммерческих пакетов программ по вычислительнойгидродинамике и теплопередаче. Однако их использование требует знанияосновных подходов к моделированию течений жидкостей и газов иприменимостиэтихподходовприрешенииконкретнойзадачиииспользовании имеющихся вычислительных мощностей.В связи с этим уделено особое внимание сопоставлению русскоязычныхианглоязычныхтерминовиназваний,посколькубольшинствосуществующих пакетов программ по вычислительной теплопередаче игидродинамике выпускаются исключительно на английском языке и неимеют локализации.Для понимания сути математических выкладок от читателя требуетсязнание некоторых основ векторного анализа.
Основные сведения оттудапредставлены ниже.1.1Основные сведения из векторного анализаСкалярное и векторное произведение векторовСкалярное произведение двух векторов есть скаляр.6Пусть имеется вектор a с координатами ax, ay, az и вектор b скоординатами bx, by, bz. Тогда скалярное произведение этих векторов будетравно^a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz = a ⋅ b cos(a b )(1.1)Векторное произведение двух векторов является вектором и вычисляетсяследующим образом:()()a × b = a y bz − a z b y i + (a z bx − a x bz ) j + a xb y − a y bx k =ijk= axayazbxbybz(1.2)Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов∧на синус угла между ними a × b = a ⋅ b sin(a b) .Оператор набла (оператор Гамильтона)Оператор набла (оператор Гамильтона) записывается следующимобразом:∇=∂∂∂i+j+ k∂x∂y∂z(1.3)где i, j, k - единичные векторы.Если скалярно умножить оператор Набла на векторную величину, то мыполучим дивергенцию данного вектора:∇ ⋅ a = div a =∂a x ∂a y ∂a z++∂x∂y∂z(1.4)ax, ay и az – проекции вектора a на соответствующие оси координат.7С точки зрения физики, дивергенция векторного поля являетсяпоказателем того, в какой степени данная точка пространства являетсяисточником или стоком этого поля:•div(a) > 0 - точка является источником поля a.•div(a) < 0 – точка является стоком поля a.•div(a) = 0 - стоков и источников нет, либо они компенсируютдруг друга.Если умножить оператор набла на скаляр, получается градиент этогоскаляра:∇ ⋅ φ = grad φ =Вразличныхотраслях∂φ∂φ∂φi+j+k∂x∂y∂zфизики(1.5)используетсяпонятиеградиентаразличных физических полей.Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение покакому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиенттемпературы — увеличение или уменьшение по направлению температурысреды и т.
д.Третьим важнейшим оператором векторного анализа является ротор иливихрь.Какужевидноизназвания,онхарактеризуетвихревуюсоставляющую векторного поля, показывая, насколько закручено поле вданной точке. В русскоязычной литературе оператор ротора обозначается какrot(a),в англоязычной – как curl(a).Ротор есть вектор со следующими координатами (декартова системакоординат):∂a y ∂arot a = z −∂z ∂y ∂a x ∂a z ∂a y ∂a xi + ∂z − ∂x j + ∂x − ∂y8k(1.6)Для удобства запоминания можно представить ротор в виде векторногопроизведения оператора набла и вектора поля:i∂rot a = ∇ × a =∂xaxj∂∂yayk∂∂zaz(1.7)Оператор ЛапласаОператор Лапласа или лапласиан записывается следующим образом:∆=∂2∂x 2+∂2∂y 2+∂2(1.8)∂z 2Можно показать, что оператор Лапласа есть скалярное умножениеоператора набла на самого себя, или, что есть то же самое, дивергенцияградиента:∆a = ∇ ⋅ ∇a = ∇ 2 a = div(grad a )(1.9)Наряду с лапласианом скалярной функции, существует так же илапласиан вектора.
Он обозначается точно так же и тоже представляет собойсумму вторых производных. При этом, однако, лапласиан векторнойфункции является вектором, а не скаляром.∆a = ∇ 2 a = grad(div a ) − rot (rot a ) ≡∂ 2a∂x 2+∂ 2a∂y 2Некоторые часто встречающиеся соотношения:9+∂ 2a∂z 2(1.10)a ∂a∂a∂a(a ⋅ ∇ )a = a X + a y + aZ = grad + rot a × a∂x∂y∂z 2 rot (grad φ ) = 0div(rot a ) = 0div(φ ⋅ a) = φ ⋅ div a + a ⋅ grad φ = φ∇ ⋅ a + a ⋅ ∇φ2(1.11)Поток вектораПоток вектора a через элементарную площадку dS определяется какa ⋅ ndSили a ⋅ dS (dS = n ⋅ dS ) , где n – единичный вектор нормали кплощадке.∫Φ = a ⋅ dS(1.12)SТеорема Остроградского-ГауссаРассмотрим векторное поле a, проходящее через объём V, ограниченныйповерхностью S.
Тогда поток вектора a через поверхность S будет равенинтегралу дивергенции этого вектора по объёму V.∫ a ⋅ dS = ∫ div adVS(1.13)VФизически это можно интерпретировать следующим образом: потоквекторного поля через замкнутую поверхность зависит от наличия в объёме,ограничивающем эту поверхность источников или стоков рассматриваемогополя. Если источников и стоков в данном объёме нет, или они компенсируютдруг друга, то поток вектора через замкнутую поверхность равен нулю, т.е.сколько в объём «втекает», столько из него и «вытекает».10Производные от формулы Остроградского-ГауссаМожно показать (см.
например [7]), что через поверхностный интегралможно выразить так же и объёмные интегралы от градиента и ротора.Приведём здесь эти формулы:∫ grad φ = ∫ φ ⋅ dSV∫ rot a = ∫ dS × aV(1.14)S(1.15)SТензорная запись уравнений механики жидкостии газа1.2В настоящее время в литературе очень широко используется тензорнаязапись уравнений механики сплошных сред. С целью ознакомления читателяс таким видом записи здесь приводятся основные её правила. При этомтеория тензорного исчисления здесь излагаться не будет. Интересующиесямогут подробно ознакомиться с нею в специальной литературе, например, в[3, 6].Одной из причин применения тензорной формы записи является то, чтоона более короткая. Часто это помогает лучше уловить физический смыслматематического выражения.Для начала рассмотрим самый простой пример.
Возьмём два вектора a иb. Аналитически эти вектора могут быть записаны следующим образом:a = a1e1 + a2 e 2 + a3e 3b = b1e1 + b2 e 2 + b3e 3(1.16)где e1, e2, e3 – единичные координатные векторы.Теперь, если мы захотим аналитически вычислить вектор c, которыйбудет представлять сумму этих векторов, то нам нужно будет записать:11c = (a1 + b1 )e1 + (a 2 + b2 )e 2 + (a3 + b3 )e 3(1.16)Однако эта запись довольно длинная.