Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 3

Обозначим объёмное тепловыделение через qv. Тогдауравнение энергии запишется в виде: ∂T+ U ⋅ ∇T  = λ∆T + qv ∂τρc P (1.51)Другим важным фактором, влияющим на энтальпию жидкого объёма,являются силы проталкиванияdpρ. Их влияние на энтальпию напрямуюследует из первого начала термодинамики ( dQ = dh − dp / ρ , где dQ –количество теплоты, измеряемое в Дж/кг).Третьим фактором является наличие работы сил трения. Часть энергиидвижущейся среды из-за действия этих сил будет переходить в тепло.

Частоработу сил трения обозначают как µ ⋅ Φ , где Ф – диссипативная функция,которая записывается как:23 ∂ UXΦ = 2  ∂ x2  ∂U y +   ∂y ∂U X ∂U Z+ +∂x ∂z2  ∂U Z +  ∂z 2∂U y +  ∂U X +∂x  ∂y2  ∂U Z ∂U y +  ∂y + ∂z 22 +(1.52)2 − (div U )23В тензорных обозначениях она записывается следующим образом:Φ=∂Ul 1  ∂Ui ∂U k 2+− δ ik2  ∂ xk∂ xi 3∂ xl 2(1.53)Тогда наиболее общее уравнение энергии примет вид: ∂TdP+ U ⋅ ∇T  = λ∆T + qv −+ µ ⋅Φd∂ττρc P (1.54)Или то же самое в тензорной нотации: ∂Tρc P  ∂τ+Uk ⋅∂T∂ xk∂=λ∂x j ∂T ∂x j + qv − dP + µ ⋅ Φdτ(1.55)Если жидкость несжимаема и скорости её течения невелики, то двапоследних члена можно не учитывать и тогда уравнение (1.55) превращаетсяв уравнение (1.51).242ОсновныеметодычисленногорешениязадачтепломассообменаКак известно, процессы тепло- и массообмена с точки зрения механикисплошныхсредмогутбытьописанысистемойнелинейныхдифференциальных уравнений в частных производных.

Эту системууравнений принято называть уравнениями Навье-Стокса.Для примера ещё раз запишем систему уравнений для неизотермического(степлообменом)прямоугольныхтечениянесжимаемойкоординатах.Онажидкостивдекартовыхсостоятьизуравненийбудетнеразрывности (2.1), движения (2.2), и энергии (2.3).∇U = 0(2.1)∂U1+ (U ⋅ ∇ )U = J − ∇P + ν∆Uρ∂τ(2.2)q∂T+ (U ⋅ ∇ )T = a∆T + vρc p∂τ(2.3)В данных уравнениях J есть результирующий вектор массовых сил, ν –кинематическаявязкостьсреды(ν=µ/ρ),a–коэффициенттемпературопроводности (a=λ/ρcp).В тензорных обозначениях она будет выглядеть как:∂U i=0∂xi(2.4)∂U k∂U k1 ∂P∂+U j= Jk −+ν∂τ∂x j∂x jρ ∂xk∂T∂T∂+U j=a∂τ∂x j∂x j ∂T ∂x j25 ∂U k ∂x j qv+ ρc p(2.5)(2.6)В наиболее общем случае система уравнений Навье-Стокса включает всебя уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии. Если впотоке происходят химические реакции, задача усложняется введениемуравнений модели протекания данных реакций.Уравнения Навье-Стокса могут быть решены в общем виде лишь внекоторых случаях и при ряде допущений.

Общего аналитического решениясистемы этих уравнений пока не получено. При этом численные методырешенияуравненийНавье-Стоксаразвитыдовольнохорошоинасегодняшний день нашли широкое применение в различных областях науки итехники. Численное моделирование является неотъемлемой частью процессапроектирования летательных аппаратов, двигательных установок, ракетнойтехники, автомобилей и т.д.В настоящее время развиты три основных подхода к численномурешению уравнений Навье-Стокса.

Первый из них носит название Методаконечных разностей. По-английски – Finite Difference Method (FDM). Егосуть заключается в прямой замене производных, входящих в исходныеуравнения, их дискретными (разностными) аналогами. Решение ищется вузлах сетки, на которую разбивается расчётная область. Достоинствомметода является относительная простота реализации, при этом однако сточки зрения физического смысла этот метод не очень нагляден.

Другимнедостатком этого метода являются особые требования к построению сетки,что часто усложняет процесс решения.ВторойназываетсяМетодомконечныхобъёмовилиметодомконтрольного объёма. В англоязычной литературе он называется FiniteVolumes Method (FVM). Основа метода заключается в том, что расчётнаяобласть с помощью сетки разбивается на совокупность конечных объёмов.Узлы, в которых ищется решение, находятся в центрах этих объёмов.

Длякаждого объёма должны выполняться законы сохранения массы, количества26движения и энергии. То есть, например, изменение во времени массы среды вконтрольном объёме может происходить только за счёт внешнего потокамассы, входящего в объём, или за счёт потока массы из данного объёмавыходящего. Более подробно мы познакомимся с этим методом несколькопозднее. Метод конечных объёмов применяется во многих вычислительныхгидродинамических (CFD) пакетах, таких как FlowVision, Flow3d, PHOENICSи ряде других.Третий метод решения – Метод Конечных Элементов (МКЭ).

Ванглоязычной литературе его называют Finite Elements Method (FEM). Сутьметода состоит в приближенном решении вариационной задачи. Дляформулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I[f(x)]называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, есликаждой функции f(x) ставится в соответствие определённое числовоезначение I[f(x)] [1]. Иными словами, функционал является как бы «функциейон функции». Часто функционалы имеют вид интегралов. Вариационнаязадача состоит в отыскании такой функции f(x), которой бы соответствоваломинимальное значение функционала I[f(x)]. Вид этого функционала различендля различных задач и подбирается специально.В настоящее время Метод Конечных Элементов нашёл широкоеприменение при решении задач теплопроводности в твёрдых телах и прирасчётах на прочность.

Однако он может быть применён и к задачам теченияжидкостей и газов (см. например [2]). Известны также методы, которыесочетают в себе черты метода конечных объёмов и метода конечныхэлементов [4, 5]. Сочетание этих методов позволяет использовать болееширокий ряд расчётных сеток (тетраэдрические сетки, пирамиды, призмы,полиэдры), что необходимо при решении задач со сложной геометрией.Этот подход используют CFD пакеты Ansys CFX, Ansys Fluent, Star-CD,Star-CCM+.2733.1Основы метода конечных объёмовПростой примерВ качестве относительно простого примера рассмотрим основныепринципы метода на уравнении неразрывности для сжимаемой жидкости.∂ρ+ div(ρU ) = 0∂τВыделимконтрольныйобъём(3.1)жидкости,ограниченныйпараллелепипедом (см.

Рисунок 3.1). Часто задача может быть сведена кдвумернойпостановкеитогдаконтрольнымобъёмомбудетужепрямоугольник (см. Рисунок 3.2).Проинтегрируем уравнение (3.1) по рассматриваемому объёму.∂ρ∫ ∂τ dV + ∫ div(ρU )dVVVРисунок 3.1 Контрольный объём в трёхмерной постановке задачи28(3.2)Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса (формула (1.13)),получим:∂ρ∫ ∂τ dV + ∫ ρU ⋅ dS = 0V(3.3)SВозможно, вы заметили, что когда мы выводили уравнения течениясреды в п. 1.3, то мы тоже пользовались теоремой Остроградского-Гаусса,однако – в обратном направлении с тем, чтобы перейти от интегральныххарактеристик к дифференциальным.Рисунок 3.2 Контрольный объём в двумерной постановке задачиУравнения вида (3.3) являются основными в методе конечных объёмов.Фактически они представляют собой законы сохранения для контрольногообъёма.

Уравнение (3.3) есть закон сохранения массы. Его физический смысл29весьма прозрачен – масса контрольного объёма может измениться только засчёт потока жидкости, втекающей через его грани.Если предположить, что профиль скорости на гранях равномерный, аизменение плотности во всех точках объёма происходит одинаково, то мыполучим следующее дискретное (алгебраическое) уравнение сохранениямассы для контрольного объёма:−∂ρoutindV = ρU xout − ρU xin S yz + ρU yout − ρU iny S xz + ρU z − ρU z S xy∂τ()()()(3.4)где Sxy, Syz, Sxz – площади соответствующих граней объёма.

Индексы in иout обозначают вход и выход соответственно. Такая аппроксимациядостаточно часто используется, однако она далеко не единственная.Такжездесьвстаётпроблема,каквыразитьвеличиныinoutoutoutρU xin , ρU inчерез значения ρU в узловых точкахy , ρU z , ρU x , ρU y , ρU z(которые, как уже говорилось ранее, находятся в середине каждогоконтрольного объёма).Более подробно все эти вопросы мы рассмотрим далее.3.2Уравнение энергииРассмотрим уравнение (2.3) и выведем для него дискретный аналог.

Приэтом будем считать, что поле скоростей в потоке нам заранее известно. Тогдазадача сведётся лишь к отысканию поля температур. С задачей решения всейсистемы уравнений (2.1)-(2.3) мы ознакомимся несколько позднее.Будем рассматривать задачу в двумерной постановке. Введём сетку сшагами δx и δy, представленную на Рисунок 3.3. Контрольный объём здесьобозначен буквой P и заштрихован. Стрелками показаны единичные векторанормали к его граням.

Буквы N, NE, E, EE и т.д. обозначают «стороны света»относительно рассматриваемого объёма. N – North (север), E – East (восток),S – South (Юг), W – West (запад). Такое обозначение сторон контрольного30объёма для ячеек прямоугольной формы является общепринятым и частоиспользуется в литературе (например, в [4, 5]).Рисунок 3.3 Контрольный объём в двумерной постановке в декартовых координатахИнтегрируя (2.3) по контрольному объёму, получим:∂Tqv∫ ∂τ dV + ∫ (U ⋅ ∇ )TdV = ∫ a∆TdV + ∫ ρcVVVVdV(3.5)pПрименив теорему Остроградского-Гаусса (формула (1.13)), а такжевспомнив, что оператор Лапласа есть дивергенция градиента (формула (1.9)),будем иметь:∂Tqv∫ ∂τ dV + ∫ TU ⋅ dS = a ∫ grad T ⋅ dS + ∫ ρcVSSVПерепишем его следующим образом:31pdV(3.6)∂Tqv∫ ∂τ dV = a∫ grad T ⋅ dS − ∫ TU ⋅ dS + ∫ ρcVSSV(3.7)dVpСлева стоит член, отвечающий за изменение температуры в объёме повремени.