Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 5

Поскольку на Стенка∫поверхности стенки скорость среды равна нулю, то и∫ TU ⋅ dS = 0 .СтенкаТеперь, используя закон Фурье, выразим поток тепла за счёттеплопроводности. Вспомним общую формулировку закона:41q = −λ ⋅ grad T(3.22)Знак «минус» здесь означает, что поток тепла направлен в сторонууменьшения температуры, т.е.

тепло перетекает из более горячей области вболее холодную.Если рассматривать только поток тепла от стенки qw, можно получитьследующее равенство: ∂T q w = −λ ⋅ (grad T )w = −λ ⋅  ∂ y w(3.23)Под y здесь подразумевается ось координат перпендикулярная стенке.Сопоставляя выражения для потока за счёт теплопроводности в уравнении(3.7) и формулу (3.23), получим:aqq − qw dS = w S ⋅ dS = w ⋅λρ⋅ρ⋅ cPcP СтенкаСтенка∫ grad T ⋅ dS = a ⋅ ∫Стенка∫(3.24)Знак «минус» здесь исчез вследствие того, что направление тепловогопотока (мы положили его направленным от стенки в поток) противоположнонаправлению нормали к поверхности пристеночного контрольного объёма.Если направление теплового потока будет направлено от потока в стенку (тоесть стенка будет более холодной, нежели поток), то значение qw нужнобудет взять со знаком «минус».Примечание: при выводе формулы (3.24) мы исходили из постоянства qwпо всей пристеночной грани контрольного объёма.

Если тепловой поток отстенки не постоянен по её поверхности, а распределён по какому-либозакону, то необходимо либо вычислять интеграл от qw по поверхности, либосчитать, что для каждого контрольного объёма qw=const. Во втором случаепогрешность, вызванная таким допущением будет зависеть от законаизменения qw и от выбранных размеров контрольных объёмов.423.6Производная по времениВремя в физике может рассматриваться как своеобразная «четвёртаякоордината», с той лишь разницей, что будущее и прошлое чёткоразграничены между собой. Произошедшее в настоящий момент можетповлиять только на будущие события, но не на прошлые (так называемыйпринцип причинности).Исходя из приведённой аналогии, при численном решении задач времяпроцесса можно разбить на некоторое количество шагов, создав наряду спространственной сеткой временную.Существует два основных метода решения нестационарных задач.

Метод,в котором неизвестные величины на текущем временном шаге выражаютсячерез величины предыдущего временного шага, которые уже известны,называется явным. В неявном же методе величины на текущем временномшаге выражаются друг через друга.Явныйметодболеепрост,однаконанегонакладываютсядополнительные ограничения по временному шагу, в то время как никакихограничений (кроме физических) на временной шаг в неявном методе ненакладываются.Явный метод Эйлера (Euler explicit method).Название метода отражает тот факт, что при его использованииполучаются явные зависимости искомой величины от величин ужеизвестных.

То есть, нам не требуется производить никаких дополнительныхдействий для получения решения.Рассмотрим явный метод на примере одномерного уравнения энергии впредположении, что внутренние источники тепла отсутствуют ( qV = 0 ):43∂T∂T∂ 2T= −U X+a 2∂τ∂x∂x(3.25)Введём равномерную сетку с шагом δx и зададимся шагом по времени ∆τ.Используя схему с линейной интерполяцией, получим (верхним индексомбудем отмечать шаги по времени, нижним - номера ячеек сетки):T n −1 − Ti n−1−1T n −1 − 2Ti n −1 + Ti n+1−1 Ti n = Ti n −1 +  − U X i +1+ a ⋅ i −1∆τ2δ x(δ x )2(3.26)После алгебраических преобразований получим:Co  n −1 Co  n −1Ti n = (1 − 2 Fo )Ti n −1 +  Fo −Ti +1 +  Fo +Ti −12 2 ЗдесьCo =Fo =a ⋅ ∆τ(δ x )2(3.27)- сеточное число Фурье (cell Fourier number),U X ∆τ- сеточное число Куранта (cell Courant number).

Эти дваδxбезразмерных параметра являются одними из наиболее важных при решениинестационарных задач гидродинамики и теплообмена.Физически число Фурье представляет собой отношение временного шага∆τ к времени, за которое тепловая волна распространится на расстояние δx.Число же Куранта есть отношение временного шага ∆τ к характерномувремени конвекции δ x U X .Таким образом, эти числа отражают, насколько велик шаг времени поотношению к характерному времени протекания процессов в системе. Еслимы выберем слишком большой временной шаг, то, очевидно мы просто«пропустим» (т.е.

не будем учитывать) какие-то процессы в системе. Этоможет привести к нефизичности решения.Пределы значений для Fo и Co могут быть получены в общем виде,однако мы здесь приводить эти выкладки не будем, а ограничимся44следующими простыми рассуждениями. Как видно из (3.27), температура навременном шаге n в точке i зависит от температур на предыдущем временномшаге в точках i-1, i, i+1. Если коэффициенты перед этими температурамибудут иметь произвольный знак, то это будет означать, что рост температурыв точках i и i+1 на предыдущем временном шаге может привести к падениютемпературы в точке i на текущем временном шаге, что противоречитпринципам термодинамики.Таким образом, мы пришли к искомым ограничениям по значению чиселFo и Co для явной схемы при использовании схемы с линейнойинтерполяции: Fo < 12Co < 2 Fo(3.28)Решая систему этих неравенств, получим:(δ x )2∆ τ <2a2a δ x<UX(3.29)То есть мы получили, что для случая конвективного теплообмена долженбыть ограничен не только шаг по времени, но и шаг пространственной сетки.В случае, если конвекция отсутствует (UX = 0), ограничение на шаг сеткиснимается (из второго неравенства в (3.29) получим, что δ x < ∞ , чтовыполняется всегда).

Разумеется, это не означает, что ограничения на шагсетки не существует вовсе, однако они определяются другими параметрами.Если преобразовать второе неравенство в (3.29), можно получитьбезразмерный параметр, называемый числом сеточным числом ПеклеPe =U X ⋅δ x.

Таким образом, для задач конвективного теплообмена приa45использовании явного метода и схемы с линейной интерполяцией должновыполняться условие Pe < 2.При использовании других схем дискретизации (метода «против потока»,методы с квадратичной интерполяцией и т.д.) условия, налагаемые на шагипо времени и по пространственной сетке должны так же исходить изположительности коэффициентов при температурах в различных точках.Неявный метод Эйлера (Euler implicit method).В неявной схеме искомая величина выражается через величины на томже временном шаге. Для схемы с линейной интерполяцией получим:T n −T nT n − 2Ti n + Ti n+1 Ti n = Ti n −1 +  − U X i +1 i −1 + a ⋅ i −1∆τ2δ x(δ x )2(3.30)После преобразований, получим:(1 + 2Fo )Ti n +  Co − Fo Tin+1 +  − Co − Fo Ti n−1 = Ti n−1 22(3.31)Как уже было упомянуто выше, данный метод не налагает ограниченийна временной шаг (ограничения на временной шаг налагаются чистофизические – если временной шаг будет больше характерного временипротекания какого-либо процесса, то мы его попросту «пропустим»!).Однако он требует больших вычислительных затрат.

Эти затраты особенноощутимы в задачах с большим количеством ячеек в сетках. К примеру,стандартные задачи на внешнее обтекание могут потребовать расчётныхсеток с несколькими миллионами ячеек. Это означает, что при использованиинеявного метода потребуется решить систему из нескольких миллионовуравнений! Даже при нынешнем уровне развития вычислительной техникиэто потребует значительного времени.46Существуютидругиеметодыполучениядискретныханалоговпроизводной по времени. Мы не будем приводить их здесь. Интересующиесямогут найти их в [4, 5, 8].Метод установленияЭтот метод часто применяется для решения стационарных задач. Онзаключается в том, что стационарное решение получается из решениянестационарной задачи.

Считается, что система, у которой существуетстационарное состояние, стремится прийти в него. Таким образом, если мыбудем решать нестационарную задачу на достаточно большом промежуткевремени, то, в конце концов, получим стационарное решение. Начальные жеусловия задачи при этом могут быть практически любыми.Метод установления хорош в первую очередь тем, что позволяетпроверить, есть ли у системы стационарное состояние как таковое. Также егочасто используют в пакетах прикладных программ, поскольку иначепришлось бы составлять отдельные модули для решения стационарных инестационарных задач, а метод установления позволяет использовать одинмодуль для решения задач обоих типов.Обычно для решения задач методом установления применяют неявныесхемы.

Они позволяют задать достаточно большие шаги по времени, чтоприводит к более быстрому получению искомого стационарного решению.3.7Общий алгоритм решения задачиМы рассмотрели здесь основные вопросы, связанные с решением задачвычислительной теплопередачи с помощью метода конечных объёмов.Теперь сведём всё в единую картину.В общем и целом составление системы приближенных алгебраическихуравнений из исходных уравнений в частных производных представляет47сборку из отдельных готовых «деталей». Надо лишь выбрать, какие «детали»лучше подойдут для данной конкретной задачи, и учесть требования,которые при этом предъявляются.Приведём общий алгоритм, которому надо следовать при составлениичисленной схемы:Постановка задачи.

Начинать следует с выбора тех уравнений, которыемы будем решать. Что нам нужно найти и что нам известно при этом?Необходимо также определиться с точной геометрией расчётной области,типом задачи (стационарная или нестационарная), граничными и начальнымиусловиями.Выбор численной схемы. Сюда входит выбор схемы аппроксимации(«против потока», схемы с интерполяцией и т.п.), выбор метода получениядискретного аналога производной по времени (если задача нестационарнаяили выбран метод установления решения стационарной задачи).Построение сетки и выбор шагов по времени.

После выбора схемыследует учесть все ограничения, которые накладываются ею на размер шагасетки и временного шага. Следует определиться, будет ли сетка равномернойили нет. Если сетка равномерна, то следует выбрать шаг. Если неравномерна,то следует собрать в единый массив координаты всех расчётных узлов.Построение численной схемы. Ячейки сетки разделяются на группы(ячейки внутри расчётной области и ячейки на различных границах области).Длякаждойгруппыячеекзаписываютсяпроинтегрированныепоконтрольному объёму (т.е. вида (3.7)) уравнения. В соответствии свыбранной схемой аппроксимации следует расписать все члены, входящие вуравнение. При рассмотрении поверхностных интегралов особое вниманиеследует обращать на знак (подробнее см.

п. 3.3).Решение полученной системы уравнений.Проверка адекватности полученного решения.484Расчёт поля теченияВ разделе 3 мы рассмотрели общие принципы метода конечных объёмов.При этом мы считали, что поле скоростей нам известно. Однако на практикетакое встречается редко. Чаще всего поле скоростей заранее неизвестно и еготребуется найти.В данном разделе мы рассмотрим вопросы, касающиеся решения полнойсистемы уравнений Навье-Стокса. Пока будем считать, что течение у насламинарное.