Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 7

Она состоит из резервуара А с водой, от которого отходитстеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным растворомкраски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрьстеклянной трубы В.56Рисунок 5.1 Опыт Рейнольдса; ламинарный режим теченияРисунок 5.2 Опыт Рейнольдса; турбулентный режим теченияПервый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С идать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем спомощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная втрубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будетотчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистыйхарактер течения жидкости и на отсутствие перемешивания.

Такой режимдвижения называется ламинарный (Рисунок 5.1).57Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличениискорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течениявначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступаетбыстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинаетколебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причемстановятсязаметнымивихреобразованияивращательноедвижениежидкости. Такое течение называется турбулентным (Рисунок 5.2).Если бы мы замеряли скорость в каком-либо сечении трубки в первом ивтором случае, то увидели бы, что в первом случае она оставалась бывеличиной постоянной, а во втором – совершала бы нерегулярные колебанияоколо некоторого среднего значения.Рейнольдс обнаружил, что переход течения от ламинарного режима ктурбулентному наблюдается при некотором значении скорости, которуюпринято называть критической.

Значение критической скорости зависит отсоотношения диаметра трубки, плотности среды и вязкости.Обобщая данные опытов, Рейнольдс ввёл безразмерный критерий,названный впоследствии в его честь:Re =ρUdµ(5.1)Физический смысл критерия Рейнольдса заключается в том, что онпредставляет собой соотношение сил инерции и сил вязкости. Если силыинерции превышают на какой-то порядок (определяемый критическимчислом Рейнольдса) силы вязкости, течение переходит к турбулентномурежиму.Опыт показал, что критическое число Рейнольдса для течения в круглойтрубе Reкр примерно равно 2300.Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить орежиме течения жидкости в трубе. При Re < Reкр течение является58ламинарным, а при Re > Reкр течение является турбулентным.

Точнее говоря,вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь приRe примерно равному 4000, а при Re = 2300…4000 имеет место переходнаяобласть.Так в чём же феномен турбулентности? Почему после того, как силыинерции во сколько-то раз превышают силы вязкости, в потоке начинаютобразовываться вихри, а все параметры колеблются?Всё дело в том, что когда силы вязкости малы по отношению к силаминерции, течение теряет устойчивость. Ведь на самом деле случайные ихаотические процессы происходят в жидкости постоянно, даже в условиях,когда она никуда не движется или течёт в ламинарном режиме (вспомните,что такое броуновское движение).

Однако когда силы вязкости достаточновысоки, любые флюктуации очень быстро угасают. Вязкость не даёт имразвиться. Напротив, когда вязкость мала, любое случайное возмущение неугасает,анаоборотможетдажеусиливаться.Такпроисходитвихреобразование, так течение становится турбулентным.5.2Явления отрываТурбулентность может возникнуть также в случае внешнего обтеканиятел. Рассмотрим, например, обтекание цилиндра.При Re<5 поток обтекает цилиндр в ламинарном режиме, полностьюогибая его (см. Рисунок 5.3).59Рисунок 5.3 Обтекание цилиндра. Безотрывный режим.

Re=1.54Начиная с Re≈5, за цилиндром происходит отрыв течения и формируютсявихри. По мере увеличения числа Re они вытягиваются (Рисунок 5.4 иРисунок 5.5). При числе Re порядка 100 вихри начинают отрываться идвигаться вниз по потоку, образуется так называемая дорожка Кармана(Рисунок 5.6).Рисунок 5.4 Отрывное обтекание цилиндра, Re=13.160Рисунок 5.5 Отрывное обтекание цилиндра, Re=26Рисунок 5.6 Дорожка Кармана при обтекании цилиндра. Re=140Цилиндр – гладкое тело, однако уже при малых числах Рейнольдсаобтекающий их поток отрывается, и образуются вихри.

А что будет, если мы61рассмотрим какое-нибудь более плохообтекаемое тело, например квадратныйвыступ на стенке? Очевидно, что отрыв на нём будет происходить даже приочень малых числах Re. Это используется в технике, когда нужно специальнотурбулизовать поток.Рисунок 5.7 Обтекание прямоугольного выступа на пластине5.3Осреднённое движение. Уравнения Рейнольсда.Как же можно описать турбулентное движение? Вообще, по большомусчёту, никаких новых уравнений не нужно.

Турбулентное течение вполнеможет быть описано обычной системой уравнений Навье-Стокса, посколькупри их выводе не налагалось никаких ограничений на соотношение междусилами инерции и силами вязкости. Однако, если мы каким-то обычнымспособом попытаемся численно решить эти уравнения для турбулентногорежиматечения(этотподходназываетсяпрямымчисленныммоделированием, Direct Numerical Simulation, DNS), то у нас, скорее всегоничего не получится. Для решения уравнений Навье-Стокса в случаетурбулентного режима нужны очень качественные сетки с очень малым62шагом. Шаг по времени так же должен быть очень мал.

Всё это потребуеточень мощных вычислительных машин с большим объёмом памяти. Ипотребность в вычислительных ресурсах растёт примерно пропорциональнокубу из числа Рейнольдса в рассматриваемом течении (подробнее о DNS см.[10, 11]). Таким образом, в инженерных и научных расчётах, часто возникаетнеобходимость как-то упростить систему уравнений Навье-Стокса, снизивтем самым потребности в вычислительных мощностях.Для количественного описания развитого турбулентного движенияРейнольдс предложил следующий, получивший широкое применение приём.Регистрируя во времени параметры потока можно предположить, чтозначение каждого из них можно представить в виде суммы осреднённой(обозначается чертой сверху) и пульсационной (обозначается штрихом)составляющих (см.

Рисунок 5.8). Например, возьмём скорость:U X = U X + U ' X ; U y = U y + U ' y ; U Z = U Z + U 'Z ;Рисунок 5.8 Пульсации осевой скорости63(5.2)То есть мы будем рассматриваем её как некую не меняющуюся (илименяющуюся по какому-то определённому закону) величину к которойдобавлены случайные пульсации. Таким образом, мы рассматриваемтурбулентное течение, как некий случайный процесс, применяя к немуприёмы, используемые в теории вероятностей и математической статистике.Указанное выше осреднение имеет следующие свойства:φ =φ(5.3)φ +ψ = φ +ψ(5.4)const ⋅ φ = const ⋅ φ(5.5)φ ⋅ψ = φ ⋅ψ(5.6)φ' = φ −φ = 0(5.7) ∂φ  ∂φ =∂x ∂x(5.8)Представив в виде (5.2) скорость и температуру, подставив их вуравнения системы (2.1)-(2.3) и выполнив некоторые преобразования,получим уравнения Рейнольдса (RANS – Reynolds Averaged Navier-Stokes):∂Ui=0∂ xi ∂Uρ∂τi+∂ (U i ⋅ U j ) ∂p∂  ∂U i=−+− ρ U ' j U ' i  + ρJ iµ∂ xj ∂ xi ∂ x j  ∂ x j ∂Tρcp (5.9) ∂τ+U j∂∂T =∂ x j  ∂ x j ∂T− ρ c p U ' j T ' + qvλ ∂ x j(5.10)(5.11)Данная система уравнений содержит девять неизвестных членов (шестьчленов вида − ρ ⋅ U iU j и три члена вида − ρ c p U ' j T ' ).64Если посмотреть на структуру уравнений, то становится понятенфизический смысл этих величин.

Член − ρ ⋅ U iU j представляет собой тензортурбулентных напряжений трения или тензор рейнольдсовских напряжений(Reynolds stress tensor). В самом деле, если расписать его, мы получим девятьвеличин: U '2XΠ ij = − ρ  U ' y U ' XU ' U ' Z XU ' X U ' y U ' X U ' Z U ' 2yU ' y U 'Z U 'Z U ' yU '2Z (5.12)Следует заметить, что на самом деле эти дополнительные напряжения(равно как и дополнительный тепловой поток) появились только потому, чтомы представили скорость (и температуру) в виде (5.2). Чисто физически,кроме сил трения, обусловленных молекулярной вязкостью, других силтрения в потоке нет.Напряжений в этом тензоре (5.12) девять, однако, очевидно, чтоU iU j = U jU i , поэтому неизвестных величин только шесть.Член − ρ c p U ' j T ' представляет собой дополнительный поток тепла засчёт турбулентного переноса.Чтобы вычислить эти члены, требуются дополнительные уравнения.

Этиуравнения обычно называют моделью турбулентности.Выбор модели турбулентности для конкретной задачи – вопроснепростой. При нём нужно учитывать свойства каждой модели и имеющиесяв распоряжении вычислительные мощности.В последующих параграфах мы изложим самые простые концепции иподходыкмоделированиютурбулентностисуществующих на сегодняшний день моделей.65иприведёмиерархию5.4Гипотеза БуссинескаСама по себе гипотеза Буссинеска (Boussinesq) не является модельютурбулентности. Она лишь утверждает, что турбулентные напряжения, как иобычные напряжения трения пропорциональны градиенту скорости.

Если вслучае обычных напряжений трения коэффициентом пропорциональностибыл коэффициент динамической вязкости µ (dynamic viscosity), то в случаенапряжений Рейнольдса это коэффициент турбулентной вязкости µT (eddyviscosity). То есть влияние турбулентности на течение учитывается спомощью дополнительной вязкости, возникающей в потоке.В случае течений, когда две проекции скорости малы по сравнению стретьей (например, течение в трубе или течение в пограничном слое)гипотеза Буссинеска записывается очень просто (σ в данном случае – полноенапряжение трения; а µeff – т.н.

эффективная вязкость):σ = µ eff∂U X∂U X= ( µ + µT )∂y∂y(5.13)Для общего случая течения несжимаемой жидкости гипотеза Буссинесказаписывается следующим образом: ∂U∂U ji− ρU iU j = µT ⋅ + ∂ x j ∂ xi 2 − δ ρk 3 ijВ данном уравнении δ ij - символ Кронекера (см. (1.22)), а k =(5.14)U 'i U 'i2кинетическая энергия турбулентности.Подставив (5.14) в (5.10), после преобразований получим: ∂Uρ ∂ τi+∂ (U i ⋅ U j ) ∂U ∂P∂ =−+(µ + µT ) i  + ρJ i∂ xj ∂ xi ∂ x j ∂ x j 66(5.15)2 Здесь P =  p + ρk  - давление с учётом турбулентных пульсаций.3 Гипотезу Буссинеска можно применить и к уравнению энергии. В этомслучае она будет выглядеть следующим образом:− ρ c p U ' j T ' = λT ⋅∂T∂ xj(5.16)То есть дополнительный турбулентный тепловой поток выражается черездополнительную турбулентную теплопроводность среды.