Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 2

Её можно упростить, если мывведём индекс i, который последовательно пробегает значения от 1 до 3.Тогда вектора a и b можно будет записать как ai и bi. А вектор c запишетсякак:ci = ai + bi(1.17)Точно так же мы можем записать сумму двух квадратных матриц.Допустим, мы хотим записать матрицу C, элементы которой есть суммысоответствующих элементов матриц A и B. Для этого воспользуемся двумяиндексами – i и j, которые так же пробегают значения от 1 до 3. ТогдаCij = Aij + Bij(1.18)Диапазон значений, которые пробегают индексы обычно оговаривается всамом начале статьи (монографии, учебника) и более не оговаривается. Длятрёхмерных задач это всегда будет от 1 до 3, для четырёхмерных (задачитеории относительности) – от 1 до 4 и т.д.

Для обозначения индексовиспользуют латинские буквы из середины алфавита (i, j, k, l, m, p, q, r),однако обычно не принято прибегать к буквам из начала (a, b, c…) и концаалфавита (u, v, w, x, y, z). Так же в качестве индексов могут бытьиспользованы греческие буквы α, β, γ.Одним из самых главных в тензорной записи является свёртка илиусловие о суммировании, введённое Эйнштейном.Правило ЭйнштейнаЕсли в одночленном выражении имеются два одинаковых индекса, т. е.индекс повторяется, то этот индекс называется немым. Наличие немогоиндекса означает суммирование по всему диапазону, по которому пробегаетиндекс, т.

е. в нашем случае от 1 до 3. Результат этой операции называется12сверткой; часто саму эту операцию называют также сверткой, иногдасвертыванием [3].aii = a11 + a22 + a33(1.19)3То же самое можно было бы написать, используя знак суммы:∑aii,i =1однако такая запись более длинная.Используя свёртку, можно так же записать операцию скалярногоумножения векторов:ai bi = a1b1 + a2 b2 + a3b3(1.20)Или операцию дивергенции вектора:∂ai ∂a1 ∂a2 ∂a3=++∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3(1.21)Следует также заметить, что повторение индекса более одного раза недопускается правилом. Т.е.

запись вида akkk не имеет смысла.Символ КронекераЭтот символ очень часто используется в тензорном исчислении. Онзаписывается следующим образом:1, при i = j0, при i ≠ jδ ij = (1.22)Фактически он представляет собой единичную матрицу, размерностькоторой зависит от того диапазона, который пробегают индексы i и j.Символ Леви-ЧевитыСимвол Леви-Чевиты, или абсолютно антисимметричный единичныйтензор записывается следующим образом:13 1, если элемент имеет чётную перестановку индексовeijk = − 1, если элемент имеет нечётную перестановку индексов0, при i = j ,i = k , j = k(1.23)Чтобы лучше понять, что значит чётные и нечётные перестановки,рассмотрим всевозможные перестановки комбинации чисел 1,2,3. Всеготаких перестановок возможно 3!=6.1,2,3 – чётная перестановка1,3,2 – нечётная перестановка3,1,2 – чётная перестановка3,2,1 - нечётная перестановка2,3,1 - чётная перестановка2,1,3 - нечётная перестановка.Для наглядности распишем символ Леви-Чевиты:eij10 0 0 0 0 − 1 0 1 0=  0 0 1 ; eij 2 =  0 0 0 ; eij 3 =  − 1 0 0 0 −1 01 0 0  0 0 0(1.24)Основные формулы векторной алгебры и анализа в тензорныхобозначенияхВекторные обозначенияТензорные обозначения1).

Векторaai2). Модуль вектора|a|ai ai3). Скалярное произведениеa⋅bai bi14Векторные обозначенияТензорные обозначения4). Векторное произведениеa×beikl ak bl5). Градиент∂φ∂ xpgrad φ6). Дивергенция∂aqdiv a∂ xq7). Роторeijkrot a∂ak∂ xj8). Лапласиан∂∂ xp∇ 2φ = ∆φ ∂φ ∂ xp(1.25)1.3Основные уравнения механики жидкости и газаЗдесьмыкраткорассмотримвидтеплообмена, а также приведём их вывод.15уравнений гидродинамикииУравнение неразрывности (continuity equation)Его также называют уравнением сохранения массы. Оно выводится изочень простых предположений.РассмотримобъёмV,ограниченныйнекоторойпроизвольнойповерхностью S (см.

Рисунок 1.1)Каким образом может измениться масса данного объёма? Очевидно, чтотолько за счёт втекающего и вытекающего из него потока жидкости. Тогдаскорость изменения массы в объёме будет равна потоку (расходу) жидкостичерез данный объём.Рисунок 1.1 К выводу уравнения неразрывностиИзвестно, что расход жидкости с плотностью ρ , протекающей соскоростью U через сечение F вычисляется по формуле:G = ρ UF(1.26)16Тогда поток через малую площадку dS будет равен ρ U ⋅ dS . Интегрируяпо всей поверхности S, получим:−dm= ρU ⋅ dSdτ∫(1.27)S∫Учитывая, что m = ρdV , получим:V−∂ρ∫ ∂ τ dV = ∫ ρU ⋅ dSV(1.28)SТеперь, используя теорему Остроградского-Гаусса (формула (1.13)),получим:−∂ρ∫ ∂τ dV = ∫ div(ρU )dVVV(1.29)∂ρ+ div(ρU )dV = 0∂τV∫Интеграл по произвольному объёму от функции может быть равен нулю,только если сама функция равна нулю.Отсюда получаем уравнение неразрывности:∂ρ+ div(ρU ) = 0∂τ(1.30)В тензорных обозначениях оно запишется следующим образом:∂ ρ ∂ ρU i+=0∂τ∂ xiВ несжимаемой жидкости плотность постоянна, т.е..(1.30) можно будет записать в виде:17(1.31)∂ρ= 0 и уравнение∂τdiv U = 0 или∂Ui=0∂ xi(1.32)Уравнение движения (momentum equation)Уравнение движение сплошной среды фактически представляет собойвторой закон Ньютона записанный для элементарного объёма.Пусть элементарный объём представляет собой параллелепипед массыdm с гранями dx, dy и dz.

Запишем для него второй закон Ньютона:dmdUdU= ρdV ⋅=Rdτdτ(1.33)где R – вектор результирующей силы, действующей на объём.Теперь перед нами встаёт вопрос – а какие именно силы действуют наэлементарный объём жидкости? Начнём с того, что все силы можно сразуразделить на объёмные и поверхностные. К объёмным силам относят силытяготения, электрические силы, магнитные силы и т.п.

Не вдаваясь в природуобъёмной силы, будем обозначать её J.Поверхностные силы можно представить в виде тензора напряжений: σ xx σ xyσ ij =  σ yx σ yy σ zx σ zyσ xz σ yz σ zz (1.34)Здесь напряжения, с одинаковыми индексами ( σ xx , σ yy , σ zz ) сутьнормальные напряжения (т.е.

они направлены по нормали к поверхности).Все остальные напряжения – касательные (они, соответственно, направленыпокасательной).σ xy = σ yx ,Причёмможнопоказать,σ xz = σ zx , σ yz = σ zy .Рассмотрим вывод уравнения движения в проекции на ось x.18чтоРисунок 1.2 К выводу уравнения движенияНа Рисунок 1.2 представлены все силы, действующие на элементарныйобъём. Запишем выражение для равнодействующей этих сил:∂ σ xxR x = J x ρ ⋅ dV +  σ xx +dx − σ xx dydz +x∂∂ σ xy∂ σ xz+  σ xy +dy − σ xy dxdz +  σ xz +dz − σ xz dxdy∂y∂z(1.35)Произведя соответствующие выкладки для других осей, расписав полнуюпроизводную в выражении (1.33) какd U ∂U∂U∂U∂U∂U=+ (U ⋅ ∇ )U =+UX+Uy+Uzdτ∂τ∂τ∂x∂y∂z(1.36)и разделив всё на dV=dxdydz, получим уравнения движения внапряжениях:19 ∂ σ xx ∂ σ xy ∂ σ xz  = ρJ X +  ∂x + ∂y + ∂z ∂∂∂σσσyxyyyz + (U ⋅ ∇ )U y  = ρJ y + ++xyz∂∂∂ ∂ σ zx ∂ σ zy ∂ σ zz + (U ⋅ ∇ )U Z  = ρJ Z + ++∂y∂ z  ∂x ∂U X+ (U ⋅ ∇ )U X ∂τρ  ∂U yρ  ∂τ ∂U Z ∂τρ (1.37)Заметим также, что при использовании тензорной нотации можно былобы вывести это уравнение намного быстрее и записать гораздо компактнее.Результирующая поверхностных сил RS , действующих на некоторыйобъём, есть интеграл от тензора (1.34) по поверхности этого объёма:∫RS = σ ij dS j(1.38)SТеорема Остроградского-Гаусса (формула (1.13)) применима и в данномслучае.

Преобразовав поверхностный интеграл в объёмный, получим:RS =∂ σ ij∫ ∂xVdV(1.39)jС учётом (1.36) и (1.39) перепишем второй закон Ньютона (формула(1.33)): ∂Ui∫ ρ  ∂ τ+U jV∂Ui∂ xj∂ σ ijdV = ρJ i dV +dV∂xjVV∫∫(1.40)Отсюда приходим к окончательной формуле: ∂Ui∂ σ ij∂ U i = ρJ i ++U j ∂τ∂ xj ∂xjρ(1.41)Очевидно, что данное равенство полностью совпадает с уравнениями(1.37).20Однакопользоватьсяуравнениями(1.37)невозможно,посколькунапряжения, действующие на элементарный объём неизвестны.

Напряженияможно выразить через скорости деформации среды и через давление.Жидкости, у которых напряжения зависят от деформаций линейно,называют ньютоновскими.Касательныенапряжения вньютоновскойжидкости выражаются следующим образом (µ здесь – коэффициентдинамической вязкости): ∂U∂U  ∂U∂U yXXZ; σ xz = σ zx = µ +σ xy = σ yx = µ  ∂ z + ∂ x ;∂y∂x ∂U∂U (1.42)yzσ zy = σ yz = µ +∂y∂zНормальные напряжения вызывают деформацию жидкости не только внаправлении их действия, но и в перпендикулярных, приводя к деформациямсдвига и объемной. Наглядной моделью такого явления может служитьрастяжение резинового стержня, уменьшающегося при этом в диаметре [17].Исследования показали, что нормальные напряжения можно представитьв следующей форме: ∂U X ∂xσ xx = − p + 2µ  2 − µ div U 3 ∂U y  2 − µ div U ∂y  3σ yy = − p + 2 µ  ∂U Z ∂zσ zz = − p + 2µ (1.43) 2 − µ div U 3При использовании тензорной нотации можно было бы записатьвыражение для напряжений намного короче: ∂Ui ∂U j 2 ∂U k  − pδ ij+− ∂ x j ∂ xi 3 ∂ x k σ ij = µ 21(1.44)Первый член в этом выражении представляет собой вязкие напряжения,второй – напряжения, связанные с давлением.Подставив выражения для напряжений в (1.37), получим:1 ∂U+ (U ⋅ ∇ )U  = ρJ − ∇P + µ∆U + µ grad(div U )3 ∂τρ(1.45)В тензорной нотации оно будет выглядеть как: ∂U k∂U k ∂P∂+U j= ρJ k −+µ ∂τ∂x j ∂xk∂x jρ ∂U k ∂U j 2∂ U l +− δ jk ∂x j∂xk 3∂ xl (1.46)Если мы рассматриваем течение несжимаемой жидкости, div U = 0 .Тогда уравнение движения можно записать в виде: ∂U+ (U ⋅ ∇ )U  = ρJ − ∇P + µ∆U ∂τилиρ ∂U∂U k ∂P∂ρ k + U j= ρJ k −+µ ∂τ∂x j ∂xk∂x j(1.47) ∂U k ∂x jУравнение энергии (energy equation)Уравнение энергии фактически представляет собой закон сохранениятепла, записанный для элементарного объёма.Чтобы вывести это уравнение, будем рассуждать следующим образом.Каким образом может измениться энтальпия h = c PT [ Дж / кг ] объёмажидкости? Самое очевидное – из-за потока тепла за счёт теплопроводности.По закону Фурье поток тепла через единичную поверхность (плотностьтеплового потока) определяется как (λ – коэффициент теплопроводности):q = − λ ∇T(1.48)22Тогда изменение энтальпии в объёме будет равно суммарному тепловомупотоку через поверхность этого объёма:∫ ρcVВоспользовавшисьPdTdV = q ⋅ dSdτ∫(1.49)SтеоремойОстроградского-Гауссаиподставиввыражение для плотности теплового потока, получим:ρc PdT= λ∆TdτЕсли жидкий объём неподвижен, тото(1.50)d T ∂T=, если жидкость движется,dτ∂τd T ∂T=+ U ⋅ ∇T .dτ∂τЧто же ещё может изменить энтальпию жидкого объёма? В жидкостиможетвозникнутьобъёмноетепловыделение(например,вследствиехимической реакции).