Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 4

Первый член справа представляет собой тепловой поток за счёттеплопроводности, второй – конвективный тепловой поток, а третий –объёмное тепловыделение.Таким образом, перед нами стоит задача получения дискретных аналоговобъёмных и поверхностных интегралов уравнения (3.7). Кроме того нужнополучить ещё и дискретный аналог производной по времени и градиента.Начнём с рассмотрения поверхностных интегралов.3.3Дискретные аналоги поверхностных интеграловКак известно интеграл по замкнутому контуру можно представить в видесуммы интегралов по каждой из частей контура:∫fdS =kS Sk∑  ∫ fdS (3.8)В нашем случае мы имеем 4 стороны контрольного объёма. Такимобразом, интеграл по замкнутому контуру будет равен сумме интегралов покаждой из сторон контрольного объёма.

Надо заметить, что в нашем случае fможет представлять собой либо T U, либо grad T .Далее мы будем рассматривать только одну из сторон контрольногообъёма. Выражения для остальных сторон записываются аналогично.Главное, на что здесь следует обратить внимание – это на знак интеграла потой или иной стороне. Этот знак определяется скалярным произведениемвектора на нормаль n к элементарной площадке dS (см.

формулы (1.1), (1.12)и комментарии к ним). Как известно, косинус нуля равен 1. Этосоответствуетслучаю,когдавекторы32сонаправлены.Есливекторынаправлены противоположно друг другу, то угол между ними составляет180°, а косинус этого угла равен -1. Таким образом, составляя дискретныйаналог уравнений гидродинамики и теплообмена, следует обращатьвнимание на то, как относительно рассматриваемой стороны контрольногообъёма направлен вектор скорости. При этом направление вектора скоростивыбирается в самом начале.

Обычно предполагают, что проекции вектораскорости совпадают с направлениями осей координат. Если в процессевычисленияскоростьвкакой-либоточкерасчётнойполучаетсяотрицательной, значит в этой точке направление скорости противоположнонаправлению, которое было выбрано изначально.Рассмотрим «восточную» сторону контрольного объёма (см.

Рисунок3.1).Самая простая и очевидная аппроксимация интеграла вида (3.8)основывается на предположении постоянства f по всей поверхностирассматриваемой стороны:∫ fdS = f ⋅ ∫ dS = f SeSee e(3.9)SeЭта аппроксимация имеет второй порядок точности [4].Для повышения порядка точности можно использовать формулуСимпсона (см., например, [7]):∫ fdS =SeSe( f ne + 4 f e + f se )6(3.10)Здесь fne и fse – значения в угловых точках контрольного объёма.

Формула(3.10) даёт четвёртый порядок точности [4].Здесь встаёт закономерный вопрос об определении величин в формуле(3.9) (об использовании формулы (3.10) мы поговорим ниже). Рассмотримнекоторые из вариантов. При этом вспомним, что f может представлять собой33конвективныйf c =φ Uили диффузионныйf d = grad φпотоки (дляуравнения энергии φ = T ).Схема «против потока» (английское название – upwind differencingscheme, UDS).Она состоит в следующем:φ если (U ⋅ n )e > 0φe =  Pφ E если (U ⋅ n )e < 0(U ⋅ n )eТекст выводаздесь показывает, совпадают или нет направления нормали кстороне контрольного объёма и вектор скорости ( (U ⋅ n )e > 0 - векторасовпадаютпонаправлению,(U ⋅ n )e < 0-векторанаправленывпротивоположные стороны).

Схема называется схемой «против потока»именнопоэтому:мывсегдавыбираемзначение,расположенноес«подветренной» стороны рассматриваемой части контрольного объёма (см.Рисунок 3.4).34Рисунок 3.4 Схема «против потока».Для дискретизации по схеме «против потока» диффузионных членовбудем иметь следующее выражение: ∂φ  ∂ x e φE x= Eφ P x P− φP, если (U ⋅ n )e > 0− xP− φE, если (U ⋅ n )e < 0− xE(3.12)Схема против потока хороша тем, что никогда не приводит к«нефизичным» решениям. Т.е., скажем, при течении холодного газа окологорячей стенки использование этой схемы никогда не приведёт к такому35решению, при котором температура газа оказалась бы больше температурыстенки.

Она «гасит» колебания решения (вид таких колебаний показан наРисунок 3.5). Подробнее о свойствах этой схемы см., например, [5].Рисунок 3.5 «Нефизичные» колебания решенияСхема с линейной интерполяцией.Если предположить, что между двумя соседними узлами (скажем, P и E)φ (в нашем случае – температура) изменяется по линейному закону, то можнобудет записать следующее выражение:φe = φ E le + φ P (1 − le )(3.13)где le представляет собой интерполяционный коэффициент:le =xe − x PxE − xP(3.14)Отсюда можно получить формулу для определения градиента, по сутисовпадающую с формулой (3.12): ∂φ φ − φP = E ∂ x e xE − xP36(3.15)Схема с линейной интерполяцией также имеет второй порядок точности[4].Схема с квадратичной интерполяцией (QUICK - Quadratic UpwindInterpolation for Convective Kinematics).Данная схема является логическим продолжением схемы с линейнойинтерполяцией. Она интерполирует параметры между узлами с помощьюпарабол.

Из курса численных методов известно, что для построенияполиномастепениnнеобходимоn+1точек.Такимобразом,дляинтерполяции параболами требуется три точки. Исходя из природыконвекции, третья точка выбирается с противопоточной стороны [4]. Тогдамы получим:φe = φU + g1 (φ D − φU ) + g 2 (φU − φUU )(3.16)Здесь D обозначает значение по потоку, U – значение против потока.Например, для потока, текущего из W в P, D=W, U=P, UU=E. g1 и g2 –интерполяционные коэффициенты, зависящие от координат.g1 =(xe − xU )(xe − xUU ) ;(xD − xU )(x D − xUU )g2 =(xe − xU )(x D − xe )(xU − xUU )(x D − xUU )(3.17)Дифференцируя по xe, получим: ∂φ  = g '1 (φ D − φU ) + g ' 2 (φU − φUU ) ∂ x eg' 1 =xU − 2 xe + xUU(x D − xU )(x D − xUU ); g' 2 =x D − 2 xe + xU(x D − xU )(xU − xUU )(3.18)(3.19)Схема с квадратичной интерполяцией несколько точнее, чем схема слинейной интерполяцией.

Она имеет ошибку третьего порядка [4].37Схемы более высоких порядков.Очевидно, что возможны интерполяции и полиномами более высокихпорядков. Для использования формулы (3.10) требуется интерполяция, покрайней мере, полиномом третьей степени:φ ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3(3.20)Для подобной интерполяции, как и для интерполяций полиномами болеенизких порядков, можно использовать интерполяционный полином Лагранжа(см., например, [7]).3.4Дискретные аналоги объёмных интеграловСамым распространённым способом здесь является предположение отом, что среднее по объёму значение подынтегральной функции равняется еёзначению в узле P.Математически это может быть выражено следующим образом:∫ qdV = q V ≈ qPV(3.21)VФормулы с интерполяцией применяются гораздо реже, особенно вслучаях, когда задача рассматривается в трёхмерной постановке.3.5Граничные условияДля получения решения любого уравнения в частных производныхтребуется задание условий на границе рассматриваемой области.При решении задач конвективного теплообмена выделяют несколькотипов граничных условий (boundary conditions):Граничное условие на входе (inlet).

Обычно на входе задаётсятемпература жидкости.Граничные условия на стенке (wall). Здесь может быть заданатемпература стенки (в русскоязычной литературе такие граничные условия38называют граничными условиями первого рода), тепловой поток от стенки(граничные условия второго рода) или коэффициент теплоотдачи (граничныеусловия третьего рода).Граничные условия симметрии (symmetry). Такие условия применяютсядлязадач,вкоторыхсуществуетсимметрия.Расчётнаяобластьограничивается линией (плоскостью) симметрии. Угол наклона касательной кпрофилю температуры (а также всех других рассчитываемых параметров) налинии (плоскости) симметрии равен нулю (см. Рисунок 3.6).

Таким образомудаётся в два и более раз сократить объём рассматриваемой области, чтоснижает время, требующееся на расчёт.Рисунок 3.6 Течение в трубе – один из примеров симметричного теченияПериодические граничные условия (periodic boundary conditions). Этиусловия сходны с граничными условиями симметрии. Их ещё иногданазывают условиями повторения. Они применяются для расчётов такихтечений, где существует много повторяющихся участков. Вместо того, чтобы39рассматривать всю картину течения, мы рассматриваем только один участок,что в разы экономит вычислительные затраты. Примером может послужитьрасчёт течения в кожухотрубном теплообменнике (линейная периодичность)или в лопаточной машине (радиальная периодичность). Пример течения спериодичностью показан на Рисунок 3.7Рисунок 3.7 Течение в кожухотрубном теплообменнике.

Вместо рассмотрения всеготеплообменника мы рассматриваем лишь обтекание одной трубки.Граничных условий на выходе (outlet) по температуре не задаётся.Рассмотрим подробнее граничные условия на стенке.Если задана температура стенки, то не возникает особенных трудностей,и нет необходимости в дополнительных уравнениях. Считается, чтожидкость на поверхности стенки имеет температуру стенки.40Если задан тепловой поток, то необходимо составить для пристеночногоконтрольного объёма, как и для всех других, дискретный аналог уравненияэнергии.Будем считать контрольный объём около стенки половинным (см.Рисунок 3.8).Рисунок 3.8 Обычный и половинный контрольные объёмы.В данном случае при записи в дискретном виде уравнения энергии дляпристеночного объёма изменятся только выражения для поверхностныхинтегралов со стороны стенки.В уравнении (3.7) присутствует два поверхностных интеграла. Один изgrad T ⋅ dS  есть поток тепла за счёт теплопроводности от стенки, аних  a Стенка∫другой TU ⋅ dS  - поток тепла за счёт конвекции.