Презентация 9. Собственные значения и векторы (Лекции в виде презентаций), страница 2

Используя свойство определителя произведения матриц, получаемdet ( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B = (− 2 ) ⋅ (− 7 ) = 14 . Вычислим этот же определитель, находя произведениематриц: 1 2   1 3  9 13  ⋅  =  .A ⋅ B = 34451929  Следовательно, det ( A ⋅ B ) =91319 29= 9 ⋅ 29 − 13 ⋅ 19 = 14 . Результат совпадает с полученнымранее. 122.3.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙПри вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, какправило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требуетбольшого количества арифметических операций.Гораздо эффективнее использовать свойства определителей.

Наиболее важными длявычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назватьэлементарными преобразованиями определителя.I.Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знакана противоположный.II.Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то жечисло, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.столбцаIII. Прибавлениекэлементамодного(строки)определителясоответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, неизменяет определитель.При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е.привести его к виду, удобному для вычислений.13Метод приведения определителя к треугольному виду1. С помощью элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.1 0 3 4Пример 2.6.

Вычислить определитель det A =0 3 0 13 0 1 2, приведя его к треугольному виду.4 1 2 3 1. Путем элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент a11 = 1 первойстроки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого к третьей строкеприбавим первую, умноженную на ( −3 ), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ( − 4 ):1 0 3 4det A =1 0340 3 0 10 301.=3 0 1 20 0 − 8 − 104 1 2 30 1 − 10 − 13При использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.Поменяем местами вторую и четвертую строки определителя:1000034301=−0 − 8 − 101 − 10 − 1310000341 − 10 − 13,0 − 8 − 10301при этом элементарном преобразовании I типа знак определителя изменяется на противоположный.Взяв элемент a22 = 1 в качестве ведущего, сделаем равным нулю элемент a42 = 3 .

Для этого к четвертой строкеприбавим вторую, умноженную на ( −3 ):10−000341 − 10 − 13=−0 − 8 − 1030110000341 − 10 − 13.0 − 8 − 100 304014Разделим элементы третьей строки на ( − 8 ), а элементы четвертой строки – на 10 , при этомчтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель умножить на − 80 = (− 8) ⋅10(преобразование II типа):10−000341 − 10 − 13= −(− 80) ⋅0 − 8 − 100 304010000341 − 10 − 13= 80 ⋅0 1 1,2503410000341 − 10 − 13.0 1 1,25034Взяв элемент a33 = 1 в качестве ведущего, сделаем равным нулю элемент a43 = 3 .

Дляэтого к четвертой строке прибавим третью, умноженную на ( −3 ):1080 ⋅000341 − 10 − 13= 80 ⋅0 1 1,2503410000341 − 10 − 13.0 1 1,250 0 0,25Получили определитель треугольного вида.2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы,стоящие на главной диагонали:1 0det A = 80 ⋅340 1 − 10 − 13= 80 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 0,25 = 20 .0 0 1 1,250 0 0 0,2515Метод понижения порядка определителя1.

С помощью элементарного преобразования III типа сделать в одном столбце (или одной строке)равными нулю все элементы, за исключением одного.2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка,чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.Пример 2.7. Вычислить определитель1 0 30 3 0det A =3 0 14 1 24123методом понижения порядка. 1. В качестве ведущего элемента возьмем a24 = 1 , а все остальные элементы второй строки путемэлементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавимчетвертый, умноженный на ( −3 ):10340301301241 − 1210 0=23 −64 −83301241.232.

Разложим определитель по второй строке:1 − 12003 −64 −8301241 − 12 312+4= 1 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 6 1 .24 −8 23Получили определитель третьего порядка.16Вынесем за знак определителя множитель 2 из второго столбца (точнее все элементывторого столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):1 − 12 31 −6 33 − 6 1 = 2⋅ 3 −3 1 .4 −8 24 −4 2Прибавим ко второму столбцу первый:1 −6 31 −5 32⋅ 3 − 3 1 = 2⋅ 3 0 1 .4 −4 24 0 2Полученный определитель разложим по второму столбцу:1 −5 32⋅ 301 = 2 ⋅ (− 5) ⋅ (− 1)1+ 2 ⋅4023 14 2= 10 ⋅3 14 2.Получили определитель второго порядка.Прибавим ко второй строке первую, умноженную на ( −2 ):10 ⋅3 13 1.= 10 ⋅4 2−2 0Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядкаединственным его элементом:3 1= 10 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 1)2 +1 ⋅ 1 = 20 .−2 0Результат совпадает с полученным в примере 2.6.

10 ⋅17ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ1. Вычислить определители:а)m+n m−nm−n m+nmmn; б) m m m + n .n m+n2n18.