Презентация 9. Собственные значения и векторы (Лекции в виде презентаций)

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ2.1. ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕПусть A – квадратная матрица порядка n . Определитель (детерминант)квадратной матрицы A – это число det A , которое ставится в соответствие матрице ивычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.1. Определителем матрицы A = (a11 ) порядка n = 1 называется единственный элементэтой матрицы: det (a11 ) = a11 .2. Определителем матрицы a11  a1n A=     a n1  a nn порядка n > 1 называется числоdet A = (− 1)1+1 a11M 11 + (− 1)1+ 2 a12 M 12 +  + (− 1)1+ n a1n M 1n ,гдеM1 j– определитель квадратной матрицы порядка(2.1)n −1 ,полученной изAвычеркиванием первой строки и j -го столбца.Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в "прямые скобки":a11  a1ndet A = A =    .an1  annИмея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках илистолбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово "матрица".Например, первая строка определителя n -го порядка – это первая строка a11 , a12 ,…, a1nквадратной матрицы n -го порядка.Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной(особой), в противном случае – невырожденной (неособой).1Вычисление определителей второго порядкаПо определению получаем формулу вычисления определителя второго порядка:a11 a12= a11a22 − a12 a21 .a21 a22(2.2)Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главнойдиагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см.

схему нарис. 2.1).a11 a12a21 a22Рис. 2.12Вычисление определителей третьего порядкаПо определению, учитывая (2.2), получаем формулу вычисления определителятретьего порядка:a11 a12a21 a22a31 a32a13aa23 = a11 ⋅ 22a32a33a23a33− a12 ⋅a21 a23a31a33+ a13 ⋅a21 a22=a31 a32= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .(2.3)Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых естьпроизведение трех его элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем трислагаемых берутся со знаком плюс, а три других – со знаком минус.Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложитьтри произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двухтреугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис.

2.2,а), и вычестьтри произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двухтреугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,б).a11 a12a21 a22a31 a32аa13a23a33a11 a12a21 a22a31 a32a13a23a33бРис. 2.2Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правилоСаррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведенияэлементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическуюсумму этих произведений, при этом произведения элементов на прямых, параллельныхглавной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведения элементов на прямых,параллельных побочной диагонали, – со знаком минус (согласно обозначениям на рис.

2.3).a11a21a31a12a22a32a13a23a33Рис. 2.3a11a21a31a12a22a323Пример 2.1. Вычислить определители1 235 46 ,7 −8 −91 2,3 42 2 11 1 0 .0 2 1 По формулам (2.2) и (2.3) находим1 2=3 41 235 46 =7 −8 −91 23 41 235 467 −8 −9= 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 ;152436=7 −8 −9= 1 ⋅ 4 ⋅ (− 9) + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 5 ⋅ (− 8) − 3 ⋅ 4 ⋅ 7 − 2 ⋅ 5 ⋅ (− 9) − 1 ⋅ 6 ⋅ (− 8) == −36 + 84 − 120 − 84 + 90 + 48 = −18 .По правилу Саррюса имеем2 2 11 1 0 =0 2 12 2 1 2 21 1 0 1 1=0 2 1 0 2= 2 ⋅1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 ⋅ 2 − 0 ⋅1 ⋅1 − 2 ⋅ 0 ⋅ 2 − 1 ⋅1 ⋅ 2 = 2 .

42.2. ФОРМУЛА РАЗЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ (СТОЛБЦА)Пусть дана квадратная матрица A порядка n ( n > 1 ).Дополнительным минором M ij элемента aij называется определительматрицы порядка n − 1 , полученной из матрицы A вычеркиванием i -й строки и j -гостолбца.Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы A называетсядополнительный минор M ij этого элемента, умноженный на (−1)i+ j : Aij = (− 1)i + j M ij .Определитель матрицы A равен сумме произведений элементовпроизвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:det A =det A =nnk =1k =1nnk =1k =1∑ (− 1)i + k aik M ik = ∑ aik Aik(разложение по i -й строке);∑ (− 1)k + j akj M kj = ∑ akj Akj(разложение по j -му столбцу).Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителемтреугольного вида.

Определитель треугольного вида (определитель верхней илинижней треугольной матрицы, в частности диагональной) равен произведениюэлементов, стоящих на главной диагонали:a11∆n =00a12  a1na22  a2 n0  anna11=a21an100a22  0= a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann .  an 2  annОпределитель единичной матрицы равен 1.5Пример 2.2. Найти определитель матрицы20A=0 −11102 Разложим определитель по третьей строке:det A = 0 ⋅ A31 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A33 + 5 ⋅ A34 = 5 ⋅ (− 1)3+ 4030002.50 2 1 02 1 00 1 3 = −5 ⋅ 0 1 3 .−1 2 0−1 2 0Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:2 1 02 1.det A = −5 ⋅ 0 1 3 = −5 ⋅ ( 0 ⋅ A13 + 3 ⋅ A23 + 0 ⋅ A33 ) = −5 ⋅ 3 ⋅ (− 1)2 + 3 ⋅−1 2−1 2 0Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):det A = 15 ⋅2 1= 15 ⋅ (2 ⋅ 2 − (− 1) ⋅1) = 15 ⋅ 5 = 75 . −1 262.3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ2.3.1.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ1. Для любой квадратной матрицы det A = det (AT ) , т.е. при транспонированииопределитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя"равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равнынулю), то определитель равен нулю: det(... o ...) = 0 .3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный(свойство антисимметричности):det(...

a j ... a k ...) = − det(... a k ... a j ...) .4. Если в определителе имеются два одинаковых столбца, то он равен нулю:det(... a j ... a k ...) = 0 при a j = ak .5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:det(... a j ...

a k ...) = 0 при a j = λak .6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на числоопределитель умножается на это число:det(a1 ... λ ⋅ a j ... an ) = λ ⋅ det(a1 ... a j ... an ) .77. Если j -й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцовa j + b j , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j -ми столбцамиявляются a j и b j соответственно, а остальные столбцы одинаковы:det(...

a j + b j ...) = det(... a j ... ) + det(... b j ...) .8. Определитель линеен по любому столбцу:det(...α ⋅ a j + β ⋅ b j ...) = α ⋅ det(... a j ...) + β ⋅ det(... b j ...) .9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавитьсоответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число:det(... a j + λ ⋅ a k ... a k ...) = det(... a j ... a k ...) .10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителяалгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:n∑ aki ⋅ Akj = 0напри i ≠ j .k =1По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10заключаем, что 0, i ≠ j ,aki ⋅ Akj = det A, i = j ,k =1n∑ 0, i ≠ j ,aik ⋅ A jk = det A, i = j .k =1n∑(2.4)8Пусть A – квадратная матрица.

Квадратная матрица A + того же порядка, что и A ,называется присоединенной по отношению к A , если каждый ее элемент aij+ равеналгебраическому дополнению элемента a ji матрицы A : aij+ = A ji .Для нахождения присоединенной матрицы следует:а) заменить каждый элемент матрицы A = (aij ) его алгебраическим дополнениемAij = (− 1)i + j M ij , при этом получим матрицу ( Aij ) ;б) найти присоединенную матрицу A + , транспонируя матрицу ( Aij ) .Из формул (2.4) следует, что AA + = A + ⋅ A = det A ⋅ E , где E – единичная матрица того жепорядка, что и A .91 2 .

Сравнить определитель матрицы A с определителямиПример 2.3. Дана матрица A = 34матрицAT ; 2 1 ;B =  4 33 4 ;C = 1 21 2 ;D =  3λ 4λ 1 + 3λ 2 + 4λ ,F = 4  3где λ – некоторое число. Определитель матрицы A был найден в примере 2.1: det A = −2 . По формуле (2.2)вычисляем определители остальных матриц:( )det AT =1 32 4= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2 = det A ,что соответствует свойству 1;det B =2 1= 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 4 = 2 = − det A ,4 3что соответствует свойству 3, так как матрица B получена из матрицы A перестановкойпервого и второго столбцов;det C =3 4= 3 ⋅ 2 − 4 ⋅1 = 2 = − det A ,1 2что соответствует свойству 3, так как матрица С получена из матрицы A перестановкойпервой и второй строк;det D =1 2= 1 ⋅ 4λ − 2 ⋅ 3λ = −2λ = λ det A ,3λ 4λчто соответствует свойству 6, так как матрица D получена из матрицы A умножениемэлементов второй строки на число λ ;det F =1 + 3λ 2 + 4λ= (1 + 3λ ) ⋅ 4 − (2 + 4λ ) ⋅ 3 = −2 = det A ,34что соответствует свойству 9, так как матрица F получена из матрицы A прибавлением кэлементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на λ .

101 2 3 Пример 2.4. Даны матрицыB = 5 4 6  .7 − 8 − 9+Найти соответствующие присоединенные матрицы A , B + .1 2 ,A = 3 4 Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A :A11 = (− 1)1+1 ⋅ 4 = 4 ,A12 = (− 1)1+ 2 ⋅ 3 = −3 ,A21 = (− 1)2 +1 ⋅ 2 = −2 ,A22 = (− 1)2 + 2 ⋅1 = 1 .Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу ( Aij ) :T 4 − 2 4 − 3 . = A = ( Aij ) = − 3 1 − 2 1 +TНайдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы B :B11 = (− 1)1+14 6= 12 ,−8 −9B12 = (− 1)1+ 26= 87 ,7 −9B13 = (− 1)1+ 37 −8B21 = (− 1)2 +123= − 6,−8 −9B22 = (− 1)2 + 21 3= − 30 ,7 −9B23 = (− 1)2 + 31 2= 22 ,7 −8B31 = (− 1)3+12 3B32 = (− 1)3+ 21 3B33 = (− 1)3+ 31 24 6= 0,55 6=9,545 4= − 68 ,= −6.Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу ( Bij ) :T 12 − 6 0  12 87 − 68 +TB = ( Bij ) =  − 6 − 30 22  =  87 − 30 9  .

 − 68 22 − 6  0− 6 9112.3.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦПусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогдаdet( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B ,т.е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.Пример 2.5. Найти определитель произведения матриц1 2 ,A = 34 1 3 .B = 45 Находим определители данных матриц второго порядка (см. пример 2.1):det A = −2 , det B = −7 .