Презентация 4. Ранг (Лекции в виде презентаций)

8.4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВСкалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равноепроизведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двухвекторов нулевой, то угол между ними не определен, а скалярное произведение считаетсяравным нулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначается( a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ ,(8.5)где ϕ – величина угла между векторами a и b (см.

рис.8.2 в разд.8.1.1). Скалярноепроизведение ( a , a ) = a 2 называется скалярным квадратом.Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно произведению длинывектора b на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора a на ось,задаваемую вектором b (рис.8.16):( a , b ) = b ⋅ прb a .aϕa(8.6)Эта формула остается справедливой и в случае a = o ,так как прb o = 0 .ϕДругими словами, скалярное произведениененулевых векторов a и b равно произведению длиныРис.8.16вектора a на алгебраическое значение длиныортогональной проекции вектора b на ось, задаваемую вектором a :bпр b aпр b ab( a , b ) = a ⋅ пр a b .1Пример 8.9.

Найти скалярные произведения (a , b ) , (b , a ) , (a , с ) , (b , с ) , (a , d ) , (b , d ) ,( c , d ) , если известно, что a = 1 , b = 2 , с = 4 , d = 1 , угол ϕ между векторами a и b равенπ , c ↑↓ b3, а вектор d образует с вектором a угол δ =Поопределению5π6находим(рис.8.17).( a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ = 1 ⋅ 2 ⋅ cos π = 1 ;3(b , a ) = b ⋅ a ⋅ cos ϕ = 2 ⋅ 1 ⋅ cos π = 1 . Так как векторы b и с противоположно направленные, то3угол ψ между векторами a и с равен 2π . Поэтому (a , c ) = a ⋅ c ⋅ cos ψ = 1 ⋅ 4 ⋅ cos 2π = −2 .33Угол между противоположно направленными векторами b и с равен π , поэтому(b , c ) = b ⋅ c ⋅ cos π = 2 ⋅ 4 ⋅ cos π = −8 .Вектор d ортогонален вектору b (и вектору c ), так как величина угла между нимиравна 5π − π = π , а cos π = 0 .

Поэтому (b , d ) = (c , d ) = 0 .ψcdРис.8.17a6ϕδb322Угол δ между векторами a и dравен 5π , поэтому63. ( a , d ) = 1 ⋅ 1 ⋅ cos 5π = −622Алгебраические свойства скалярного произведенияДля любых векторов a , b , c и любого действительного числа λ :1.

(a , b ) = (b , a ) ; 2. (a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ) ; 3. (λ ⋅ a , b ) = λ ⋅ (a , b ) ;4. (a , a ) ≥ 0 , причем из равенства (a , a ) = 0 следует, что a = o .Геометрические свойства скалярного произведения1. Длина вектора a находится по формуле a = (a , a ) .2. Величина ϕ угла между ненулевыми векторами находится по формуле:cos ϕ =(a , b )a ⋅ b=(a , b )( a , a ) ⋅ (b , b ).3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора a на ось,задаваемую вектором b ≠ o : прb a =(a , b )b=(a , b ).(b , b )4. Ортогональная проекция вектора a на ось, задаваемую вектором b ≠ o :пр b a =(a , b )(b , b )⋅b. Если ось задается единичным вектором e , то пр e a = (a , e ) ⋅ e .3Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисеФормула вычисления скалярного произведения вортонормированном базисе.

В ортонормированном базисескалярное произведение векторов равно сумме произведенийодноименных координат векторов:векторыотносительно1)еслииabортонормированного базиса на плоскости имеют координатыxa , ya и xb , yb соответственно, то скалярное произведениеэтих векторов вычисляется по формуле(a , b ) = x a ⋅ xb + y a ⋅ y b ;(8.7)2)есливекторыиотносительноabортонормированного базиса в пространстве имеюткоординаты xa , ya , za и xb , yb , zb соответственно, тоскалярное произведение этих векторов вычисляется поформуле(a , b ) = x a ⋅ xb + y a ⋅ yb + z a ⋅ zb .(8.8)Координаты вектора a в ортонормированном базисеравны его скалярным произведениям на соответствующиебазисные векторы:xa = (a , i ) ,ya = (a , j ) , za = (a , k ) .4Пример 8.10. Даны векторы a = i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , b = 2 ⋅ i + 3 ⋅ j + 2 ⋅ k , с = j − k . Найтискалярные произведения (a , b ) , (a , c ) , (b , c ) , (a , i ) , (a , j ) , (a , k ) , длины векторов a , b ,c, углы ϕ a b , ϕa c между векторами a и b , a и c соответственно, а также проекцию пр с a иалгебраическое значение прс a длины этой проекции. Используя геометрические свойства 1 – 4 и (8.8), вычисляем:( a , b ) = (1 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , 2 ⋅ i + 3 ⋅ j + 2 ⋅ k ) = 1 ⋅ 2 + ( −2) ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 = 0 ;( a , с ) = (1 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , 0 ⋅ i + 1 ⋅ j − 1 ⋅ k ) = 1 ⋅ 0 + ( −2) ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −1) = − 4 ;(b , с ) = ( 2 ⋅ i + 3 ⋅ j + 2 ⋅ k , 0 ⋅ i + 1 ⋅ j − 1 ⋅ k ) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −1) = 1 ;( a , i ) = (1 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , 1 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ) = 1 ⋅ 1 + ( −2) ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = 1 ;( a , j ) = (1 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , 0 ⋅ i + 1 ⋅ j + 0 ⋅ k ) = 1 ⋅ 0 + ( −2) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = −2 ;( a , k ) = (1 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k , 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 1 ⋅ k ) = 1 ⋅ 0 + ( −2) ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 2 ;a = (a , a ) =12 + ( −2) 2 + 2 2 = 3 ;(с , с ) =c =cos ϕ a b =cos ϕ a с =пр с a =(a , b )=0a b⇒ϕabπ22 2 + 32 + 2 2 =17 ;0 2 + 12 + ( −1) 2 = 2 ;(векторы a и b ортогональны); 2 2;ϕ a с = arccos  −3(a , с )−4⋅c =⋅ j − k = −2 j + 2k .

пр с a =(c , с )2(a , с )−42 2==−3a c3⋅ 2( a , с ) −4== −2 2 ;c2=b = (b , b ) =⇒()58.5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВесли:Вектор c называется векторным произведением неколлинеарных векторов a и b ,1) его длина равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними:| c | = | a | ⋅ | b | ⋅ sin ϕ (рис.8.18);2) вектор c ортогонален векторам a и b ;3) векторы a , b , c (в указанном порядке) образуют правую тройку.Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один измножителей – нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторноепроизведение обозначается c = [a , b ] (или a × b ).c = [a , b ]bS # = a ⋅ b ⋅ sin ϕϕaаbРис.8.18ϕS#haбАлгебраические свойства векторного произведенияДля любых векторов a , b , c и любого действительного числа λ :1. [a , b ] = − [b , a ] ; 2. [a + b , c ] = [a , c ] + [b , c ] ; 3. [λ ⋅ a , b ] = λ ⋅ [a , b ] .Геометрические свойства векторного произведения1.

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма,построенного на множителях (рис.8.18,б).2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когдамножители коллинеарны, т.е. [a , b ] = o ⇔ a || b , в частности [a , a ] = o .6Векторное произведение векторовв ортонормированном базисеПусть в пространстве задан правый ортонормированный(стандартный) базис i , j , k (см. разд.8.3.5). Векторныепроизведения базисных векторов находятся по определению:[i , j ] = k ; [ j , k ] = i ; [k , i ] = j ; [ j , i ] = − k ; [k , j ] = − i ; [i , k ] = − j ;[i , i ] = [ j , j ] = [k , k ] = o .Формула вычисления векторного произведения. Есливекторы a и b в правом ортонормированном базисе i , j , kимеют координаты xa , ya , za и xb , yb , zb соответственно, товекторное произведение этих векторов находится по формуле[a , b ] = i ⋅yaybzax− j⋅ azbxbzax+k ⋅ azbxbyaybi= xaxbjyaybkza .zb(8.9)7Пример 8.11.

Параллелограмм ABCD построен на векторах AB = i + 2 ⋅ j + 2 ⋅ k ,AD = 3 ⋅ i − 2 ⋅ j + k (рис.8.19). Найти:а) векторные произведения [ AB, AD] и [ AС , BD] ;б) площадь параллелограмма ABCD ;DCв) направляющие косинусы такого вектора n ,перпендикулярного плоскости параллелограмма ABCD , для которогоBAтройка AB , AD , n левая.n а) Векторное произведение [ AB, AD] находим по формулеРис.8.19(8.9):ij k2 21 21 2[ AB, AD] = 1 2 2 = i ⋅− j⋅+k ⋅= 6⋅i + 5⋅ j −8⋅k .−2 13 13 −23 −2 1Векторное произведение [ AС , BD] определяем, используя алгебраические свойства:, AD, ]=[ AС , BD] = [ AB + AD, AD − AB] = [ AB, AD] − [, ABADABAD] + [] − [ABoo− [ AB , AD ]= [ AB, AD] + [ AB, AD] = 2 ⋅ [ AB, AD] .Следовательно, [ AС , BD] = 2 ⋅ (6 ⋅ i + 5 ⋅ j − 8 ⋅ k ) = 12 ⋅ i + 10 ⋅ j − 16 ⋅ k .б) Площадь параллелограмма ABCD находим как модуль векторного произведения[ AB, AD] :S # = [ AB, AD] = 6 ⋅ i + 5 ⋅ j − 8 ⋅ k = 6 2 + 52 + (− 8)2 = 5 5 .в) Вектор, противоположный вектору [ AB, AD] , удовлетворяет перечисленным вусловии требованиям, поэтому()n = − [ AB, AD] = − 6 ⋅ i + 5 ⋅ j − 8 ⋅ k = − 6 ⋅ i − 5 ⋅ j + 8 ⋅ k .Разделив этот вектор на его длину n = [ AB, AD] = 5 5 , получим единичный вектор:n− 6⋅i − 5⋅ j + 8⋅ k== − 6 ⋅i − 5 ⋅ j + 8 ⋅kn5 55 55 55 5.

Согласно (8.4), его координатами служатнаправляющие косинусы:cos α =−6, cos β = −1 , cos γ = 8 . 5 555 588.6. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВСмешанным произведением векторов a , b , c называется число (a , [b , c ]) , равноескалярному произведению вектора a на векторное произ-ведение векторов b и c .Смешанное произведение обозначается (a , b , c ) .Геометрические свойства смешанного произведенияV#a , b , c1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов a , b , c равен объемупараллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение (a , b , c )положительно, если тройка векторов a , b , c – правая, и отрицательно, если тройка a , b , c– левая, и наоборот.2. Смешанное произведение (a , b , c ) равно нулю тогда и только тогда, когда векторыa , b , c компланарны:(a , b , c ) = 0⇔векторы a , b , c компланарны.9Алгебраические свойства смешанного произведения1.

При перестановке двух множителей смешанноепроизведение изменяет знак на противоположный:(a , b , c ) = − (с , b , a ) ,( a , b , c ) = − (b , a , c ) ,(a , b , c ) = − (a , c , b ) ;при циклической (круговой) перестановкесмешанное произведение не изменяется:множителей( a , b , c ) = (b , с , a ) = ( c , a , b ) .2. Смешанноемножителю.произведениелинейнополюбомуСмешанное произведение векторов в ортонормированном базисеФормула вычисления смешанного произведения. Есливекторы a , b , c в правом ортонормированном базисе i , j , kимеюткоординатыxс , yс , zсxa , y a , z a ;xb , yb , zb ;соответственно, то смешанное произведение этих векторовнаходится по формулеxa( a , b , c ) = xbyaybzazb .xcyczc(8.10)10B1C1Пример 8.12.

Параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 построен на векторахAB = i + 2 ⋅ j + 2 ⋅ kA1а) смешанное произведение ( AB, AD, AA1 ) ;D1hBA; AD = 3 ⋅ i − 2 ⋅ j + k ; AA 1 = 2 ⋅ i − 1⋅ j + 3 ⋅ k (рис.8.20). Требуется найти:CDРис.8.20б) ориентацию тройки AB , AD , AA1 ;в) объем параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 ;г) объем треугольной пирамиды ABDA1 ;д) высоту h параллелепипеда (расстояние между плоскостями основанийABCD и A1 B1C1 D1 ). а) Смешанное произведение ( AB, AD, AA1 ) находим по формуле (8.10):1 2 2( AB, AD, AA1 ) = 3 − 2 1 = −17 .2 −1 3б) Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов AB , AD , AA1 – левая (см.

первоегеометрическое свойство смешанного произведения).в) Объем V# параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 равен модулю смешанного произведения (см. первоегеометрическое свойство смешанного произведения): V# = ( AB, AD, AA1 ) = − 17 = 17 .г) Объем V треугольной пирамиды ABDA1 составляет шестую часть объема V# параллелепипеда.Действительно, их высоты совпадают, а площадь S осн основания пирамиды составляет половинуплощади S # параллелограмма ABCD .

Поэтому V = 1 ⋅ Sосн ⋅ h = 1 ⋅ 1 ⋅ S # ⋅ h = 1 ⋅V# . Поскольку3V# = ( AB, AD, AA1 ) = 17 ,то3 2д) Высоту h параллелепипеда находим по формуле h =ABCD .6V = 1 ⋅V# = 17 .66V#, где S # – площадь параллелограммаS#Поскольку V# = 17 и S # = 5 5 (см. пример 8.11), то h = 17 . 5 5118.7. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЙВЕКТОРОВПредполагается, что координаты векторов a , b , c , указанные в формулах, найденыотносительно стандартного базиса i , j , k в пространстве:a = xa ⋅ i + y a ⋅ j + z a ⋅ k , b = xb ⋅ i + yb ⋅ j + zb ⋅ k , c = xc ⋅ i + yc ⋅ j + zc ⋅ k .Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведениявекторов вычисляются по формулам (8.8)–(8.10):(a , b ) = x a ⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ zb ;i[ a , b ] = xaxbjyaybkza ;zbxa( a , b , c ) = xbxcyaybyczazb .zc1.