Презентация 3. Определители (Лекции в виде презентаций), страница 3

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИСЫДва вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если уголмежду ними прямой (величина ϕ угла равна π ).2Система векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие ее,попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если онаортогональная и длина каждого вектора равна единице.Стандартные базисы на прямой, плоскости и в пространствеБазисы на прямой, плоскости и в пространстве определяются не однозначно.Некоторые из них, наиболее удобные в приложениях, принимаются в качествестандартных.Стандартный базис на прямой – это единичный вектор i на данной прямой(рис.8.15,а).

Любой вектор a , коллинеарный данной прямой, может быть разложен постандартному базису на прямой ( e = i ), т.е. представлен в виде a = x ⋅ i .l3a = x ⋅iiпр k a = z ⋅ klаa = x ⋅i + y ⋅ j + z ⋅kl2a = x ⋅i + y ⋅ jkпр j a = y ⋅ jjβγβl2пр j a = y ⋅ jα jl1αiбпр i a = x ⋅ iil1Рис.8.15пр i a = x ⋅ iв18Стандартный базис на плоскости – это упорядоченная пара единичных иперпендикулярных векторов i , j на данной плоскости (рис.8.15,б). Любой вектор a ,принадлежащий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису наплоскости ( e1 = i , e2 = j ), т.е. представлен в виде a = x ⋅ i + y ⋅ j .Стандартный базис в пространстве – это упорядоченная тройка единичных ипопарно перпендикулярных векторов i , j , k (рис.8.15,в). Первый базисный вектор i нарис.8.15,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка (на читателя).

Любой вектор a впространстве может быть разложен по стандартному базису в пространстве ( e1 = i ,e2 = j , e3 = k ), т.е. представлен в виде a = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k .Стандартные базисы на плоскости и в пространстве являются правыми,ортонормированными.В стандартном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратовего координат:a =x 2 (на прямой);a =x 2 + y 2 (на плоскости);a =x2 + y2 + z2(в пространстве).(8.1)(8.2)19Направляющие косинусыВ стандартных базисах на плоскости и в пространстве направление ненулевоговектора a удобно характеризовать углами, которые он образует с базисными векторами: α –угол между вектором a и первым базисным вектором i ; β – со вторым базисным векторомj (см.

рис.8.15,б); γ – с третьим базисным вектором k (см. рис.8.15,в). При этом достаточнознать косинусы этих углов, которые называются направляющими косинусами вектора a (встандартном базисе).Координаты единичного вектора e , одинаково направленного с вектором a наплоскости, равны направляющим косинусам вектора a :e=т.е.x = cos α ,y = cos β .Величиныa= cos α ⋅ i + cos β ⋅ j ,aнаправляющихкосинусов(8.3)связаныусловием:cos 2 α + cos 2 β = 1 .Координаты единичного вектора e , одинаково направленного с вектором a впространстве, равны направляющим косинусам вектора a :e=a= cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k ,a(8.4)т.е.

x = cos α , y = cos β , z = cos γ . При этом cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .20Пример 8.8. Найти длину и направляющие косинусы векторов a = 3 ⋅ i − 3 ⋅ jb = i − 2⋅ j + 2⋅k . Вектор a = 3 ⋅ i − 3 ⋅ j задан относительно стандартного базиса i , j на плоскости.иПо координатам x = 3 , y = − 3 вектора a находим его длину, используя формулу (8.1):a =32 + (− 3 ) 2 = 2 3 .Разделив векторaнаправленный с вектором a :на его длину, находим единичный вектор, одинаково3331a=⋅i −⋅j=⋅i − ⋅ j .22a2 32 3Согласно (8.3), его координатами служат направляющие косинусыcos β = − 1 .2cos α =Значит, вектор a образует с базисными векторами i и j углы α = π и β = 2π .63;23Вектор b = i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k задан относительно стандартного базиса i , j , k на плоскости.По координатам x = 1 , y = − 2 , z = 2 вектора b находим его длину, используя формулу(8.2): b = 12 + (− 2) 2 + 2 2 = 3 .Разделив векторbнаправленный с вектором b :на его длину, находим единичный вектор, одинаковоb122= ⋅i − ⋅ j + ⋅ k333b.Согласно (8.4), его координатами служат направляющие косинусы:cos β = − 2 ; cos γ = 2 .33cos α = 1 ;321.