Презентация 3. Определители (Лекции в виде презентаций)

8. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА8.1. ВЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ8.1.1. ВЕКТОР, ЕГО НАПРАВЛЕНИЕ И ДЛИНАВектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началомвектора, вторая – концом вектора. Расстояние между началом и концом вектораназывается его длиной.Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равнанулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.Ненулевой вектор можно определить так же, как направленный отрезок, т.е. отрезок,у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая– второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB и изображаетсястрелкой, обращенной острием к концу вектора (рис.8.1).

Начало вектора называют такжеего точкой приложения. Вектор AB приложен к точке A . Длина вектора AB равна длинеотрезка AB и обозначается AB . Имея в виду это обозначение, длина вектора называетсямодулем, абсолютной величиной.ABABРис.8.11Нулевой вектор, например CC , обозначается символом o и изображается однойточкой (точка C на рис.8.1).Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называетсяединичным вектором.ABAРис.8.1BНенулевой вектор AB , кроме направленного отрезка, определяетсодержащие его луч AB (с началом в точке A ) и прямую AB .СДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они принадлежат либоодной прямой, либо двум параллельным прямым, в противном случае они называютсянеколлинеарными.

Коллинеарность векторов обозначается знаком || . Посколькунаправление нулевого вектора не определено, он считается коллинеарным любому вектору.Каждый вектор коллинеарен самому себе.Одинаково направленные и противоположно направленные ненулевые коллинеарныевекторы обозначаются парами стрелок ↑↑ и ↑↓ соответственно.Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в однойплоскости или параллельных плоскостях, в противном случае они называютсянекомпланарными.

Так как направление нулевого вектора не определено, он считаетсякомпланарным с любыми двумя векторами.2Два вектора называются равными, если они:а) коллинеарны, одинаково направлены;б) имеют равные длины.Все нулевые векторы считаются равными друг другу.Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободныевекторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины,в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом получим векторы,равные данному.Можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Дваненулевых вектора называются коллинеарными, если после приложения их к одной точкеони лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, еслипосле приложения их к одной точке они лежат в одной плоскости.Углом между ненулевыми векторами называется угол между равными имвекторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине π .Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора a и b (рис.8.2).

Построим равныеим векторы OA и OB . На плоскости, содержащей лучи OA и OB ,Bполучим два угла AOB . Меньший из них, величина ϕ которого не baпревосходит π ( 0 ≤ ϕ ≤ π ), принимается за угол между векторамиϕO2π−ϕa и b.AРис.8.2Поскольку направление нулевого вектора не определено,то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Изопределения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторамилибо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен π (если векторыпротивоположно направлены).3Пример 8.1. Дан треугольник ABC ; точки L , M , N – серединыего сторон. Для векторов, изображенных на рис.8.3, указатьколлинеарные, одинаково направленные, противоположнонаправленные, равные.

Указать углы между векторами AM иAN , MС и CL , AM и MС , CL и BL .CβLMαANBРис.8.3 По теореме о средней линии треугольника заключаем,что ML || AB , LN || AC . Поэтому векторы AM , MC , NL –коллинеарные (так как лежат на одной или параллельныхпрямых), одинаково направленные и имеют равные длины.Следовательно,эторавныевекторы:AM = MС = NL .Аналогично, AN = ML , AN ↑↓ BN , BN ↑↓ ML , CL ↑↓ BL .

ВекторыAM и AN образуют угол α , векторы MС и CL – угол β .Угол между векторами AM и MС равен нулю, так как ониодинаково направлены, а угол между векторами CL и BL равенπ , поскольку они противоположно направлены. 48.1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИСуммой двух векторов a и b называется вектор OB = a + b (рис.8.4,а), началокоторого совпадает с началом вектора OA = a , а конец – с концом вектора AB = b (правилотреугольника).Произведением ненулевого вектора a на действительное число λ ( λ ≠ 0 )называется вектор λ ⋅ a , удовлетворяющий условиям:1) длина вектора λ ⋅ a равна λ ⋅ a , т.е. λa = λ ⋅ a ;2) векторы λ ⋅ a и a коллинеарные ( λ ⋅ a || a );3) векторы λ ⋅ a и a одинаково направлены, если λ > 0 , и противоположнонаправлены, если λ < 0 (рис.8.4,б).Произведение нулевого вектора на любое число λ считается (по определению)нулевым вектором: λ ⋅ o = o ; произведение любого вектора на число нуль также считаетсянулевым вектором: 0 ⋅ a = o .OC = OA + OB = a + bλ a ( λ > 0)bBO−baλ a (λ < 0)Aa −babbaабРис.8.4a −baвг5OC = OA + OB = a + bλ a (λ > 0)bBO−baλ a (λ < 0)Aaa −babbабРис.8.4a −baвгВектор ( −a ) называется противоположным вектору a , если их сумма равнанулевому вектору: a + (− a ) = o .

Противоположный вектор ( −a ) имеет длину a , коллинеарени противоположно направлен вектору a . Нулевой вектор является противоположнымсамому себе. Заметим, что (− a ) = (− 1) ⋅ a .Разностью векторов a и b называется сумма вектора a с вектором (−b ) ,противоположным вектору b : a − b = a + (−b ) (рис.8.4,в). Другими словами, разностьa − b векторов a и b – это такой вектор, который в сумме с вектором b дает вектор a(рис.8.4,г).Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейнымиоперациями над векторами.6Вектор a называется линейной комбинацией векторовпредставлен в видеa1 , a 2 ,…, ak ,если онa = α1a1 + α 2 a2 + ...

+ α k ak ,где α1 , α 2 ,…, α k – некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор a разложен повекторам a1 , a2 ,…, ak , а числа α1 , α 2 ,…, α k называюткоэффициентами разложения.Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных имвекторов, прилагая к концу первого вектора начало второго, к концу второго – началотретьего и т.д. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной сконцом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной (правило ломаной).7CβLMαANBРис.8.3Пример 8.2. Для векторов на рис.8.3 найти следующие суммы и разности: BN + AM ;AM − BL ; AN + AM ; BN + AM + CL . Разложить вектор AC по векторам BN и BL . Учитывая равенствополучаем по правилу треугольникаAM = NL ,BN + AM = BN + NL = BL .Поскольку BL = − CL и AM = MC , то AM − BL = MC + CL = ML .Поскольку ML = AN , то по правилу треугольника AN + AM = AM + ML = AL .Так как BN + AM = BL и CL = − BL , находим BN + AM + CL = (BN + AM ) + CL= BL − BL = o . BL− BLТак как BA + AC = BC , BA = 2 ⋅ BN , BС = 2 ⋅ BL , то AC = −2 ⋅ BN + 2 ⋅ BL .

88.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРОВОртогональной (прямой) проекцией точки A на прямую l называется основаниеAl перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l (рис.8.5,а). Ортогональной(прямой) проекцией точки A на плоскость π называется основание Aπ перпендикуляра,опущенного из точки A на плоскость π (рис.8.5,б).AAlAlаРис.8.5AππбОртогональной проекцией вектора a = AB на прямую l называется вектор al = Al Bl ,началом которого служит ортогональная проекция Al начала A , а концом – ортогональнаяпроекция Bl конца B вектора AB (рис.8.6,а – плоский случай, рис.8.6,б – пространственныйслучай).

Ортогональную проекцию вектора a на прямую l будем обозначать пр l a .Ортогональной проекцией вектора a на ось, задаваемую вектором e ≠ o ,называется его ортогональная проекция на прямую, содержащую вектор e . Эту проекциюбудем обозначать пр e a .9Ортогональной проекцией вектора a = AB на плоскость π называется векторa π = Aπ Bπ , началом которого служит ортогональная проекция Aπ начала A на плоскость π , аконцом – ортогональная проекция Bπ конца B вектора AB (рис.8.6,в). Ортогональнуюпроекцию вектора a на плоскость π будем обозначать пр π a .Разность между вектором a и его ортогональной проекцией называютортогональной составляющей вектора a относительно прямой ( a⊥ e = a⊥ l на рис.8.6,а)или плоскости ( a⊥ π на рис.8.6,в).BAα⊥lβ⊥lαAaβBaAaBaea⊥ eAl пр e a Blаlпр l aeAllBlбa⊥ πaπAπ пр aπBπвРис.8.610Алгебраическое значение длины проекцииПусть ϕ – угол между ненулевым вектором a и осью, задаваемой вектором e ≠ o ,т.е.

угол между ненулевыми векторами a и e .Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора a на ось,задаваемую вектором e ≠ o , называется длина его ортогональной проекции пр e a , взятая сположительным знаком, если угол ϕ не превышает π , и с отрицательным знаком, если уголϕ2больше π (рис.8.7).2Свойства алгебраических значений длин проекций:1. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равносумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых.2. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора начисло равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональнойпроекции вектора.прe b = − пр e b = b ⋅ cos ψпрe a = пр e a = a ⋅ cos ϕeaϕbпр e aпр e bψРис.8.711Пример 8.3.

Основания AB и CD равнобокой трапеции ABCD равны a и bсоответственно; точка M – середина стороны BC (рис.8.8).bDCMAa −b2aLРис.8.8BbNНайти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов AM и MDна ось, задаваемую вектором AB . Пусть DL – высота трапеции, N – точка пересечения прямых AB и DM .По свойству равнобокой трапеции AL =a −b; из равенства треугольников CDM и BNM :2BN = CD = b .Обозначим через x = пр AB AM , y = пр AB MD искомые алгебраические значения длинортогональных проекций. Тогда из равенств AM + MD = AD , AM − MD = AM + MN = AN исвойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:прпрABAB(AM + MD) = пр(AM − MD) = прABABAM + прAM − прABABMD = прMD = прa −b;2ABAD , т.е. x + y =ABAN , т.е.