Презентация 2. Элементарные преобразования (Лекции в виде презентаций), страница 2

Матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущихэлементов (обозначенных в (1.1) единицей) стоят любые отличные от нуля числа.2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.9Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому видуЧтобы привести матрицу к ступенчатому виду (1.1), нужно выполнить следующиедействия:1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент).

Строкус ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первойстроки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равнынулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейсячасти матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или воставшейся части матрицы все элементы нулевые.2.

Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование IIтипа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку,умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим,оказались равными нулю (преобразование III типа).4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоитведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются коставшейся части матрицы.10Пример 1.18. Привести к ступенчатому виду матрицы3 9 ,A =  2 4 0 2 3 ,B =  2 4 6 2 4C =  3 5 .6 7 В первом столбце матрицы A выбираем ведущий элемент a11 = 3 ≠ 0 .

Делим всеэлементы первой строки на a11 = 3 (или, что то же самое, умножаем на3 9A = 2 411= ):a11 3 1 3 ~  .  2 4Прибавим ко второй строке первую, умноженную на ( −2 ):1 3 2 4( −2 ) ~  1 3  . 0 − 2Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся частиматрицы имеется один элемент ( −2 ), который выбираем в качестве ведущего. Разделивпоследнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида1 3 0 −2  1 3 . ~   0 1Преобразования закончены, так как ведущая строка – последняя. Заметим, чтополучившаяся матрица является верхней треугольной.11В первом столбце матрицы B выбираем ведущий элемент b21 = 2 ≠ 0 . Меняем местамистроки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки наведущий элемент 2 : 0 2 3  2 4 6   1 2 3  . ~  ~ B = 020233462  Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль.Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец.

В оставшейся части ведущийэлемент – число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем матрицу ступенчатоговида1 2 3 1 2 3  ~  .B ~  0 2 3   0 1 1,5 Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.12В первом столбце матрицы С выбираем ведущий элемент с11 = 2 ≠ 0 . Первая строка –ведущая. Делим ее элементы на c11 = 2 . Получаем 2 4 1 2 C = 3 5 ~ 3 5 . 6 7  6 7 Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на ( −3 ) и на ( − 6 )соответственно: 1 2  (−3) 3 56 7(− 6)1 2 ~  0 −1  . 0 −5 Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатоговида, так как вторую ступеньку образуют две строки (вторая и третья) матрицы.

Исключивпервую строку и первый столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент( −1 ). Делим вторую строку на ( −1 ), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую),умноженную на 5:1 21 2  0 −1  ~  0 1 0 −5 0 −5 (5)1 2~  0 1 .0 0Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены всестолбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Получена матрица ступенчатого вида. 13Алгоритм приведения матрицы к упрощенному видуПродолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можноупростить матрицу ступенчатого вида, а именно привести ее к упрощенному виду:0000000 1 0 ∗  ∗ 0 ∗  ∗ 00 0 1 ∗  ∗ 0 ∗  ∗ 00 0 0 0  0 1 ∗  ∗ 0                    00 0 0 0  0 0 0  0 10 0 0 0  0 0 0  0 0          0 0 0 0  0 0 0  0 0∗  ∗∗  ∗∗  ∗  ∗  ∗ .∗  ∗0  0  0  0 (1.2)Символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице,символом ∗ – элементы с произвольными значениями,остальные элементы матрицы – нулевые.В каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можнопривести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.14Пример 1.19.

Привести к упрощенному виду матрицу00A=001 1 1 1 10 0 1 2 1.0 0 0 1 00 0 0 0 0  Матрица имеет ступенчатый вид.Прибавим к первой строке третью, умноженнуюна (− 1) , а ко второй строке – третью, умноженную на (− 2) :00A=001 1 1 1 10 0 1 2 10 0 0 1 00 0 0 0 0 00~ ( −2 ) ( −1 )  001 1 1 0 10 0 1 0 1.0 0 0 1 00 0 0 0 0 Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (− 1) . В результатеполучим матрицу упрощенного вида (1.2):00001 1 1 0 10 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0 0( −1 ) ~  000100010000100001001.00 15Алгоритм приведения матрицы к простейшему видуПри помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицуможно привести к простейшему виду:10000 0   1 0 0 0   0 0 00E=  r0O0  m×nO.O (1.3)Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r( 0 ≤ r ≤ min{m; n} ), а остальные элементы равны нулю.

Считается, что нулевая матрица ужеимеет простейший вид (при r = 0 ). Любую матрицу при помощи элементарныхпреобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду. 1 2 3 к простейшему виду.Пример 1.20. Привести матрицу A =  2 4 5 В качестве ведущего элемента возьмем a11 = 1 . Ко второй строке прибавим первую,умноженную на (− 2) : 1 2 3  ( −2 )1 2 3 A =  .~  2 4 5 0 0 −1Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (− 2) , а к третьему – первый,умноженный на (− 3) :1 0 0  . 0 0 −11 2 3  ~ 0 0 −1 ( −2 )( −3 )Умножим все элементы последнего столбца на (− 1) и переставим его на место второго:Таким образом, исходная матрица A при помощи элементарных преобразований1 0 0  ~ 0 0 −1( −1 )1 0 0.0 1 0 E2приведена к простейшему виду (1.3).

161.2.8. СЛЕД МАТРИЦЫСледом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главнойдиагонали. След квадратной матрицы A n -го порядка обозначаетсяtr A =n∑ aii .i =1Для любых квадратных матриц A , B , C n -го порядка и столбцов x , y размеров n ×1справедливы следующие свойства:1)2)3)4)5)6)tr ( A + B ) = tr A + tr B ;tr A = tr AT( ) ( ) (tr (x ⋅ y ) = x ⋅ y ;tr (Axx ) = x Ax ;) ( );tr AT B = tr BT A = tr ABT = tr BATTTTTtr ( ABC ) = tr (BCA) = tr (CAB ) ;∑∑ aij bij = tr (ABT ) .n7);ni =1 j =1След матрицы A также обозначается sp A .171 2 5 6910 1 3 и столбцы x =   , y =   . , B =  , С = Пример 1.23. Даны квадратные матрицы A = 3 47 8 2 411 12 Продемонстрировать справедливость свойств 1–7 следа матрицы. 1) tr A = 1 + 4 = 5 , tr B = 5 + 8 = 13 ,6 8tr A + tr B = 18 , tr ( A + B ) = tr  = 18 ;10 12 1 3tr AT = tr  = 5 ; 2 42)tr A = 5 ,3) 1 3   5 6  26 30   = tr  = 26 + 44 = 70 ,tr AT B = tr  2 4   7 8  38 44 ()( ) 5 7   1 2  26 38   = tr  = 26 + 44 = 70 ,tr BT A = tr 6834 30 44 () 1 2   5 7   17 23    = tr  = 17 + 53 = 70 ,tr AB T = tr  3 4   6 8   39 53 ( )4)5)6) 5 6   1 3   17 39  = 17 + 53 = 70 ;  = tr  tr BAT = tr 4827 23 53   1  3 4 3 = 3 + 8 = 11 ,tr xyT = tr   (3 4) = tr xT y = (1 2)  = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 11 ; 2 6 8 4( )() 1 2   1  1 2   1 2    (1 2 ) = tr   =tr AxxT = tr 342  3 4   2 4  5 10  = 27 ,= tr 11 22 51 2  1    = (1 2 )   = 27 ;x T Ax = (1 2 ) 34211  1 2   5 6   9 10  413 454  = 1443 ,  = tr  tr ( ABС ) = tr 34781112 937 1030  5 6   9 10   1 2  477 710    = tr  = 1443 ,tr (BCA) = tr  649 966  7 8  11 12   3 4  9 10   1 2   5 6  601 698  = 1443 ;  = tr  tr (СAB ) = tr  725 842 11 12   3 4   7 8 ∑∑ aij bij = 1⋅ 5 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 = 70 = tr (ABT ).

27)2i =1 j =118ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕmn −nm  , B =  . Найти:1. Даны матрицы: A =  n m n + m n − mа) A + 2 B ; б) 2 AT − B ; в) A ⋅ B − B ⋅ A ; г) ( A − B )2 ; д) tr (AT ⋅ B ) ;е) tr (B T ⋅ A) ; ж) tr (A⋅ B T ) ; з) tr ( A + B ) ; и) tr A + tr B .2. Привести к ступенчатому виду матрицу:1 1 1 1а)  m m n n  . n n m m19.