Презентация 11. Векторная алгебра (Лекции в виде презентаций)

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫРассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.Пусть A – квадратная матрица порядка n . Матрица A−1 , удовлетворяющая вместе с заданнойматрицей A равенствамA−1 ⋅ A = A ⋅ A−1 = E ,называется обратной. Матрицу A называют обратимой, если для нее существует обратная, впротивном случае ее называют необратимой. По определению матрицы A и A −1 перестановочны.Из определения следует, что если обратная матрица A−1 существует, то она квадратная того жепорядка, что и A .Квадратная матрица a11  a1n A=    ,a n1  ann определитель которой отличен от нуля, имеетобратную матрицу и притом только одну:A −1где A11A+A =  12A 1nA21  An1 A22  An 2    A2 n  Ann  A111  A12=⋅det A  A 1nA21  An1 A22  An 2 1=⋅ A+ ,  det AA2 n  Ann (4.1)– матрица, транспонированная для матрицы, составленной изалгебраических дополнений элементов матрицы A .Матрица A + называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A (см.разд.2.3.1).

Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степеньnматрицы. Для невырожденной матрицы A и любого натурального числа n справедливо A− n = (A−1 ) .14.2. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ( )1. A −1Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:−1= A,2. ( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1 ,( ) = (A )3.

AT−14. det A−1 =−1 T,1,det A5. E −1 = E ,если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1 – 4.Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной: 111 .,,...,aaann  11 22[ diag (a11, a22 ,..., ann )] −1 = diag 24.3. АЛГОРИТМЫ НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫПусть дана квадратная матрица A . Требуется найти обратную матрицу A −1 .Алгоритм нахождения обратной матрицыс помощью присоединенной1.

Вычислить определитель det A данной матрицы. Если det A = 0 , то обратнойматрицы не существует (матрица A вырожденная).2. Составить матрицу ( Aij ) из алгебраических дополнений Aij = (− 1)i + j M ij элементовматрицы A .3. Транспонируя матрицу ( Aij ) , получить присоединенную матрицу A + = ( Aij ) T .4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы наопределитель det A :A −1 =1⋅ A+ .det A3Алгоритм нахождения обратной матрицыс помощью элементарных преобразований1. Составить блочную матрицу ( A E ) , приписав к данной матрице A единичнуюматрицу того же порядка.2.

При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы( A E ) , привести ее левый блок A к простейшему виду Λ (1.3). При этом блочная матрицаприводится к виду (Λ S ) , где S – квадратная матрица, полученная в результатепреобразований из единичной матрицы E .3. Если Λ = E , то блок S равен обратной матрице, т.е. S = A −1 . Если Λ ≠ E , то матрицаA не имеет обратной.Для невырожденной матрицы A второй способ нахождения обратной матрицыиллюстрируется схемой:(AE)Элементарные преобразования строк(EA−1).4ab второго порядка можно указать простоеДля невырожденных квадратных матриц A = c d правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:а) поменять местами элементы на главной диагонали;б) изменить знаки у элементов побочной диагонали;в) поделить полученную матрицу на определитель det A = ad − bc .A −1 =11ad − bc d− c− b.a (4.2)2 . Найти обратную матрицу.Пример 4.1.

Дана матрица A = 1 4  Первый способ. 1. Находим определитель det A =112= 2 ≠ 0 . Поскольку определитель не4равен нулю, то матрица A невырожденная и, следовательно, имеет обратную.2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений: 4( Aij ) = − 2− 1.1  4− 2 .3. Транспонируя матрицу ( Aij ) , получаем присоединенную матрицу A + = ( Aij ) T =  −1 1 4.

Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det A = 2 , находимобратную матрицу: A−1 =1  4⋅2  − 1−1− 2  2=1   − 12Сделаем проверку=A A 2 1− 2− 11 .2 −1  1 2   1 0 = = E.1 1401 2 12ab получаемИспользуя правило (4.2), для матрицы A =  = 1 4   c d A −1 =Заметим, что det A −1 =1  ddet A  − c11.=2 det A− b 1  4= a  2  − 1− 2  2=1   − 12− 11 .2 5Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу(A1 2 1 0  .E ) = 1 4 0 1 2. Элементарными преобразованиями над строками приводим еек простейшему виду (E A −1 ) .

Ко второй строке прибавляем первую строку,умноженную на ( −1 ):(A1 2 1 0   1 2 1 0  ~  .E ) = 14010211− Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на ( −1 ): 1 2 1 0   1 0 2 − 1 ~  .02−110211− Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2: 1 0 2 − 1  1 0 2 − 1 ~ 11 .−0 1 0 2 − 1 1   2 2 E2В правом блоке получили обратную матрицу A−1 2=  1− 2− 11 . 2 61 2 1Пример 4.2. Дана матрица A =  0 1 0  . Найти обратную.0 2 2 Первый способ. 1.

Находим определитель матрицы det A = 2 .2. Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы:A11 = (− 1)1+1 ⋅1 02 2A21 = (− 1)2 +1 ⋅2 1A31 = (− 1)3+1 ⋅2 1и2 21 0A12 = (− 1)1+ 2 ⋅0 0=0;0 2A13 = (− 1)1+ 3 ⋅= −2 ;A22 = (− 1)2 + 2 ⋅1 1=2;A23 = (− 1)2 + 3 ⋅1 2= −1 ;A32 = (− 1)3+ 2 ⋅1 1=0;0 0A33 = (− 1)3+ 3 ⋅1 2= 2;0 20 1=0;0 20 20 1 2 0 0 составляем из них матрицу Aij =  − 2 2 − 2  . −1 0 1 3.

Транспонируя матрицу Aij , получаем присоединенную= −2 ;=1( )( )+( )A = AijTматрицу 2 − 2 − 10 .= 0 20 − 2 1 4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det A = 2 ,получим обратную матрицу:1 −1 − 1 21A−1 =A+ =  0 10 .det A1  0 −1 2 1 −1 − 1  1 2 1  1 0 02  Проверим равенство A −1 A = E :  0 1 0  ⋅  0 1 0  =  0 1 0  . 1   0 −1 2   0 2 2  0 0 17Второй способ.

1. Составим блочную матрицу ( A E ) , приписав кматрице A единичную матрицу того же порядка:1 2 1 1 0 0(A E ) =  0 1 0 0 1 0  .0 2 2 0 0 12. Элементарными преобразованиямиприводим ее к виду (E A −1 ) :надстроками1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 − 2 0 010010~010010~ 0 2 2 0 0 1 0 0 2 0 − 2 1 1 0 1 1 − 2 0  1 0 0 1 −1 − 1 2 0 .~ 0 1 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0 11  0 0 1 0 − 1 1 −001012  2 E3В правом блоке получаем обратную матрицу1 −1 − 1 2−1A = 0 10 .1 −012 84.4. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯРассмотрим матричное уравнение вида(4.3)A⋅ X = B ,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу X , удовлетворяющую уравнению (4.3).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то матричное уравнение (4.3) имеетединственное решение X = A−1 ⋅ B .Рассмотрим также матричное уравнение вида(4.4)Y ⋅A= B,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу Y , удовлетворяющую уравнению (4.4).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то уравнение (4.4) имеетединственное решение Y = B ⋅ A−1 .Пример 4.3.

Даны матрицы1 2  ,A = 1 4 1 3 5 ,B =  2 4 61 2C = 3 4 .5 6Решить уравнения: а) A ⋅ X = B ; б) Y ⋅ A = B ; в) Y ⋅ A = C . 21− 2 Обратная матрица A−1 = − 11 2 была найдена в примере 4.1.а) Решение уравнения A ⋅ X = B находим, умножая обе его части слева на A −1 :− 1  1 3 5   0 2 4   =  1 1 1  .1 ⋅2   2 4 6  222так как матрицы A и B имеют разное 2X = A−1 ⋅ B =  1− 2б) Уравнение не имеет решений,количествостолбцов ( 2 ≠ 3 ).в) Решение уравнения YA = C находим, умножая обе его части справа на A −1 :Y = CA−11 2  2=  3 4  ⋅  15 6  − 21 0 − 1 1  =  4 −1 . 2  7 − 29Пример 4.7.

Решить уравнение A ⋅ X ⋅ B = C , где1 2  ,A = 141 2 1B = 0 1 0 ,0 2 2 Обратные матрицы A−1 2=  1− 21 3 5 .C = 2461 −1 − 1 2− 1−1= 0 10 1  и B2  0 − 1 1 2 были найдены в примерах 4.1 и 4.2 соответственно. Решениеуравнения находим по формуле−1X = A ⋅C ⋅ B−1 2=  1− 2 1 − 1 − 12 − 1  1 3 5  0 =1 ⋅ 2 4 6  ⋅  0 1 0 −1 1 2  2  1 − 1 − 12   0 − 2 2 0 2 4 .=  1 1 1  ⋅0 10  =  110−2 2 2 2  0 −1 1   22 10.