Презентация 10. Квадратичные формы (Лекции в виде презентаций), страница 2

Следовательно, ранг матрицы равен 2. 8Свойства базисного минора и ранга матрицы1. В произвольной матрице A каждый столбец (строка) является линейнойкомбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.2. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобыодин из его столбцов (одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов(строк).3. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.4.

Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других еестрок (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив приэтом ее ранга.5. Если матрица приведена к простейшему виду (1.3), тоrg A = rg Λ = r .6. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этойматрицы.7. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальномучислу линейно независимых столбцов:rg A = rg AT .8.

При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (илилинейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.9. Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:rg( AB ) ≤ min{ rg A, rg B } .10. Если A невырожденная квадратная матрица, то rg ( AB ) = rg B и rg (CA) = rg C , т.е.ранг матрицы не изменяется при умножении ее слева или справа на невырожденнуюквадратную матрицу.11.

Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:rg( A + B ) ≤ rg A + rg B .93.3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ3.3.1. МЕТОД ОКАЙМЛЯЮЩИХ МИНОРОВПусть дана матрица A размеров m × n . Будем говорить, что минор M ij11i2j2......ikjikk +j1k +1 (k + 1) -гопорядка окаймляет (содержит в себе) минор M ij11i2j 2......ikj k k -го порядка.При описании метода индексы выбранных строк и столбцов, в которых располагаетсяминор, будем указывать, не упорядочивая их по возрастанию.

При этом рассматриваемыйминор и минор с упорядоченными индексами равны по абсолютной величине и, быть может,отличаются по знаку, но это для метода окаймляющих миноров не имеет никакого значения,поскольку нас интересует только ответ на вопрос: равен минор нулю или нет.1. Выбираем строку i1 и столбец j1 так, чтобы минор первого порядка M ij11 = ai1 j1 былне равен нулю. Если это возможно, то rg A ≥ 1 , иначе процесс завершается и rg A = 0 .2.

Окаймляем минор M ij11 ≠ 0 , добавляя к выбранным i1 -й строке и j1 -му столбцу ещестроку i2 ≠ i1 и столбец j2 ≠ j1 так, чтобы минор M ij11i2j 2 =ai1 j1ai2 j1ai1 j 2≠ 0 . Если это возможно, тоai2 j 2rg A ≥ 2 , иначе процесс завершается и rg A = 1 .3. Окаймляем минор M ij11i2j 2 ≠ 0 , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцамновую строку i3 и новый столбец j3 так, чтобы получить минор M ij11i2j 2i3j3 ≠ 0 . Если это удалось,то rg A ≥ 3 , иначе процесс завершается и rg A = 2 .Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r -гопорядка M ij11i2j2......irjr ≠ 0 , т.е. rg A ≥ r . Однако все миноры (r + 1) -го порядка, окаймляющие его,равны нулю M ij11i2j 2......irjirr +j1r +1 = 0 или не существуют (при r = m или r = n ).

Тогда процессзавершается и rg A = r .10Пример 3.5. Методом окаймляющих миноров найти ранги матриц0 0 ,O = 0 03 9 ,A =  2 4 0 2 3 ,B =  2 4 61 0 2 1 3С =  2 0 1 1 2 . 3 0 3 2 5 Матрица O : 1. В этой матрице нет отличных от нуля миноров первого порядка, так как все ее элементы равнынулю. Поэтому rg O = 0 .Матрица A : 1. Выбираем первую строку ( i1 = 1 ) и первый столбец ( j1 = 1 ) матрицы A , на пересечении которыхстоит ненулевой элемент a11 = 3 ≠ 0 .

Получаем минор M 11 = 3 ≠ 0 . Следовательно, rg A ≥ 1 .2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i2 = 2 и еще один столбец j2 = 2 . Получаем отличныйот нуля минор второго порядка M 1122 = det A =3 9=−6≠0.2 4Следовательно, rg A ≥ 2 .3. Поскольку исчерпаны все строки и все столбцы матрицыA,миноров, окаймляющих M 1122 ≠ 0 , нет.Следовательно, rg A = 2 .Матрица B : 1. Выбираем первую строку и второй столбец матрицы B , на пересечении которых стоит ненулевойэлемент b12 = 2 ≠ 0 . Получаем минор M 21 = 2 ≠ 0 . Следовательно, rg B ≥ 1 .2.

Добавляем к уже выбранным вторую строку и третий столбец. Получаем минор второго порядка M 21 23 =2 3=0.4 6Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбца возьмем первый. Тогда получаемотличный от нуля минор второго порядка M 21 12 =2 0=4≠0.4 2Следовательно, rg B ≥ 2 .3. Все строки матрицы B исчерпаны. Миноров третьего порядка нет. Поэтому rg B = 2 .Матрица С : 1. Выбираем первую строку ( i1 = 1 ) и первый столбец ( j1 = 1 ) матрицы С , на пересечении которыхстоит ненулевой элемент a11 = 1 ≠ 0 .

Получаем минор M 11 = 1 ≠ 0 . Следовательно, rg C ≥ 1 .2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i2 = 2 и еще один столбец j2 = 2 . Получаем минорвторого порядка M 1122 =1 02 0. Выбор второго столбца оказался неудачным, так как получен минор, равный нулю. Возьмемвместо второго третий столбец ( j2 = 3 ). Получаем минор M 1132 =1 2= −3 ≠ 0 .2 1Следовательно, rg C ≥ 2 .3. Окаймляем минор M 1132 ≠ 0 . Имеется три окаймляющих минора:1 2 1M 113243= 2 1 1 =0,3 3 2M 1132531 2 31 2 012 3= 2 1 2 = 0 , M1 3 2 = 2 1 0 = 0 .3 3 53 3 0Три определителя равны нулю, так как третья строка равна сумме первых двух строк.

Следовательно, нельзя найтиотличный от нуля окаймляющий минор третьего порядка, т.е. ранг матрицы С равен 2. 113.3.2. МЕТОД ГАУССА НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫПусть дана матрица A размеров m × n . Для нахождения ее ранга нужно выполнитьследующие действия:1. Привести матрицу к ступенчатому виду (см. метод Гаусса в разд.

1.2.6).2. В полученной матрице вычислить количество r ненулевых строк. Это число равнорангу матрицы A .Обоснованием этого метода служит свойство 8 (см.разд.3.2). Базисным минором вматрице ступенчатого вида (1.1) является минор1 ∗  ∗0 1  ∗,M =   0 0  1составленный из столбцов, содержащих единичные элементы (в начале каждой"ступеньки"). Этот определитель треугольного вида отличен от нуля (равен 1), а любой егоокаймляющий минор (если такой найдется) равен нулю, так как содержит нулевую строку.12Пример 3.6. Методом Гаусса найти ранги матриц0 0 ,O = 0 03 9 ,A =  2 4 0 2 3 .B =  2 4 61 0 2 1 3С =  2 0 1 1 2 . 3 0 3 2 5 Матрица O : 1. Нулевая матрица уже имеет ступенчатый вид (см.

определениеступенчатого вида в разд.1.2.6).2. Количество ненулевых строк равно нулю. Следовательно, rg O = 0 .Матрица A : 1. Приводим матрицу A к ступенчатому виду (см. пример 1.18): 1 3 .A ~  0 12. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, rg A = 2 .Матрица B : 1. Приводим матрицу B к ступенчатому виду (см. пример 1.18):1 2 3B ~  0 1 1,5 .2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, rg B = 2 .Матрица C : 1.

Приводим матрицу C к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущегоэлемента a11 = 1 , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второйстроке прибавляем первую, умноженную на (− 2) , к третьей строке – первую, умноженнуюна (− 3) . Получаем матрицу13 1 0 2 1 3 1 0 2 С =  2 0 1 1 2 ~  0 0 − 3 −1 − 4 ,  3 0 3 2 5  0 0 − 3 −1 − 4у которой имеются две равные строки. По свойству 4 (см. разд.3.2) одну из равных строквычеркиваем:13 1 0 2 . 0 0 − 3 −1 − 4Получили матрицу ступенчатого вида.2. В этой матрице две ненулевые строки.

Следовательно, rg С = 2 .1310D = 2132 30 01 31 22 5 Матрица D : 1. Приводим матрицу D к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительнонулевую строку, берем в качестве ведущего элемента a11 = 1 и делаем равными нулюостальные элементы первого столбца:12D~132 3  1 23  1 3  0 − 3 − 3.~1 2 0 −1 −1 2 5   0 − 4 − 4 Последние три строки матрицы пропорциональны. По свойству 4 (см.

разд.3.2) две из нихможно вычеркнуть:1 2 3  . 0 − 1 − 1Получили матрицу ступенчатого вида.2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, rg D = 2 .Заметим, что rg C = rg D , так как D = C T по свойству 7 (см. разд.3.2). 14ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ1. Вычислить ранги матриц:mnm 1а)  2 11n ;3 m +1 n +1 m + nб) 1 m− m 12 1n mn −m2 12nn2 методом окаймляющих миноров, а также методом Гаусса, приводя матрицы к ступенчатомувиду.15.