Презентация 10. Квадратичные формы (Лекции в виде презентаций)

3. РАНГ МАТРИЦЫ3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯНЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫМатрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами(соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. Равнымисчитаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.Столбец A называется линейной комбинацией столбцов A1 , A2 ,…, Ak одинаковыхразмеров, еслиA = α1 ⋅ A1 + α 2 ⋅ A2 + ... + α k ⋅ Ak ,(3.1)где α1 , α 2 ,…, α k – некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец A разложен постолбцам A1 , A2 ,…, Ak , а числа α1 , α 2 ,…, α k называют коэффициентами разложения.Линейная комбинация A = 0 ⋅ A1 + + 0 ⋅ A2 + ... + 0 ⋅ Ak с нулевыми коэффициентами называетсятривиальной.Если столбцы в (3.1) имеют вид a1  a11  a1k  A =    , A1 =    , … , Ak =    ,a a a  n n1  nk то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенстваai = α1 ⋅ ai1 + α 2 ⋅ ai 2 + ...

+ α k ⋅ aik ,i = 1,..., n .Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковыхразмеров.Набор столбцов A1 , A2 ,…, Ak одинаковых размеров называется системой столбцов.Любая часть системы столбцов называется подсистемой.1Система из k столбцов A1 , A2 ,…, Ak называется линейно зависимой, еслисуществуют такие числа α1 , α 2 ,..., α k , не все равные нулю одновременно, чтоα1 ⋅ A1 + α 2 ⋅ A2 + ... + α k ⋅ Ak = o .(3.2)Здесь и далее символом o обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.Система из k столбцов A1 , A2 ,…, Ak называется линейно независимой, еслиравенство (3.2) возможно только при α1 = α 2 = ...

= α k = 0 , т.е.когда линейная комбинация влевой части равенства (3.2) тривиальная.Один столбец A1 тоже образует систему: при A1 = o – линейно зависимую, а при A1 ≠ oлинейно независимую.Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).2Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость илилинейную независимость систем столбцов:1 0 20а) A1 =   , A2 =   ;0 21 0б) A1 =   , A2 =   . 201 0 а) Столбцы A1 =   и A2 =   линейно зависимы, так как можно составитьнетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами α1 = 2 , α 2 = −1 , 1 2 0которая равна нулевому столбцу: 2 ⋅   − 1 ⋅   =   ; 0 0  0б)столбцы 0  01α1 ⋅   + α 2 ⋅   =   , 2  0 0α1 = α 2 = 0 .1A1 =   0и0A2 =   2линейнонезависимы,таккакравенство1⋅ α = 0равносильное системе  1, оказывается верным только при2 ⋅ α 2 = 03Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцовПонятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк истолбцов одинаково.

Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированныедля столбцов, разумеется, справедливы и для строк.1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.2. Если в системе столбцов имеются два равных столбца, то она линейно зависима.3.

Если в системе столбцов имеются два пропорциональных столбца ( Ai = λA j ), тоона линейно зависима.4. Система из k > 1 столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя быодин из столбцов есть линейная комбинация остальных.5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейнонезависимую подсистему.6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейнозависима.7. Если система столбцов A1 , A2 ,…, Ak – линейно независима, а после присоединения кней столбца A оказывается линейно зависимой, то столбец A можно разложить постолбцам A1 , A2 ,…, Ak и притом единственным образом, т.е.

коэффициенты разложениянаходятся однозначно.8. Два ненулевых столбца A1 , A2 образуют линейно зависимую систему, если онипропорциональны ( A1 = λA2 ), и линейно независимую систему, если они не пропорциональны.43.2. БАЗИСНЫЙ МИНОР И РАНГ МАТРИЦЫБазисный минор матрицы. Определение ранга матрицыПусть A – матрица размеров m × n , а k – натуральное число, не превосходящее m и n :k ≤ min{ m; n } .Минором k -го порядка матрицы A называется определитель матрицы k -го порядка,образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк иk столбцов матрицы A .Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, авыбранных столбцов – нижними, располагая их по возрастанию.Пример 3.3. Записать миноры разных порядков следующих матриц:а) 1 2 3 ;A = 4561 2 1 0б) B =  0 2 2 3  .1 4 3 3 а) Матрица A размеров 2 × 3 имеет шесть миноров первого порядка, например12минор M 21 = det (a12 ) = 2 , и три минора второго порядка, например M 23=2 3= −3 .5 6б) Матрица B размеров 3× 4 имеет 12 миноров первого порядка, например минор12M 23 = det (b32 ) = 4 , и 18 миноров второго порядка, например M 23=2 1= 2 , и четыре минора2 21 1 0третьего порядка, например123M 134= 0 2 3 =0.

1 3 35В матрице A размеров m × n минор r -го порядка называется базисным, если онотличен от нуля, а все миноры (r + 1) -го порядка равны нулю или их вообще не существует.Рангом матрицы называется порядок базисного минора.В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, поопределению, полагают равным нулю.Ранг матрицы A обозначается rg A .

Для ранга применяются также обозначения Rg A ,rang A , rank A .Если в матрице все миноры k -го порядка равны нулю, то равны нулю и минорыболее высокого порядка.Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этойматрицы.Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Есликвадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. необращая внимания на ее блочную структуру.

При этом ранг блочной матрицы не меньшерангов ее блоков: rg ( A B ) ≥ rg A и rg ( A B ) ≥ rg B .6Пример 3.4. Найти все базисные миноры и ранги следующих матриц:0 0 ;а) O = 0 0б) A = (0 0 1) ;1 2 ;в) B = 0 0 1 2 3 ;г) С =  2 4 61 2д) D =  0 0  ;1 3 а) Матрица O нулевая, поэтому все ее миноры равны нулю.

У нулевой матрицы нетбазисных миноров, а ее ранг, по определению, равен нулю: rg O = 0 .б) В матрице A = (0 0 1) один из миноров первого порядка отличен от нуля: M 31 = 1 , аминоров второго порядка не существует (так как имеется только одна строка). Поэтому минорM 31 базисный, а ранг матрицы равен 1.1 2 есть ненулевые: M 11 = 1 и M 21 = 2 .в) Среди миноров первого порядка матрицы B = 0 012Эти миноры являются базисными, так как единственный минор второго порядка M 12=1 20 0равен нулю. Следовательно, rg B = 1 . 1 2 3 , равные ее элементам, отличны отг) Все миноры первого порядка матрицы С = 246нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, так как строки матрицы пропорциональны.Поэтому матрица имеет шесть базисных миноров, а ее ранг равен 1.13д) У матрицы D есть отличный от нуля минор второго порядка M 12=1 2=1, а1 3миноров третьего порядка у этой матрицы нет (поскольку имеется только два столбца).13Следовательно, M 12– единственный базисный минор, а rg D = 2 .7 1 2 3е) F =  2 4 5  ; 1 2 31 2 3ж) G =  0 4 5  ;0 0 61 2 2 0з) H =  0 2 2 3  .0 0 0 01212е) У матрицы F есть шесть отличных от нуля миноров второго порядка: M 12, M 13,1223, M 1223 , M 1323 , M 23, а минор третьего порядка, т.е.

определитель матрицы, равен нулю, такM 23как в матрице есть две одинаковые строки (первая и третья). Следовательно, каждый изперечисленных миноров второго порядка является базисным, а ранг матрицы равен 2.ж) Определитель матрицы G (т.е. минор третьего порядка) отличен от нуля:123123базисный, а rg G = 3 .det G = M 123= 1 ⋅ 4 ⋅ 6 ≠ 0 . Следовательно, минор M 123з) Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этихопределителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второгопорядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая шесть возможныхминоров, отбираем отличные от нуля:1212M 12= M 13=1 22 01212, M 24= M 34=0 22 312и M 14=1 0.0 3Каждый из этих пяти миноров является базисным.