Презентация 1. Матрицы (Лекции в виде презентаций), страница 2

13Пример 1.7. Даны матрицы1 2 1 ,A =  0 1 2 x1  x =  x2  ,  x3 b = (1 2 3) .Найти произведения A⋅ x , b ⋅ x , x ⋅ b . Используя правило умножения, получаем x1  1 2 1     1 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 + 1 ⋅ x3   x1 + 2 x2 + x3  ⋅=⋅Ax   0 1 2   x2  =  0 ⋅ x + 1 ⋅ x + 2 ⋅ x  =  x + 2 x  ;231232×3 3×1 x3 2×1 x1  b ⋅x = (1 2 3) ⋅  x2  = (1 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 + 3 ⋅ x3 ) = x1 + 2 x2 + 3 x3 ;x 1×3 3×11×1 3 x1 2 x1 3 x1  x1  x ⋅b =  x2  ⋅ (1 2 3) =  x2 2 x2 3 x2  .  x 2 x 3x 3×1 1× 3  x 33 33 3× 30 01 20 01 0 , B =  , E =  . , O = Пример 1.8. Даны матрицы A = 1 13 40 00 1Вычислить произведения A⋅ B , B ⋅ A , A⋅ E , E ⋅ A , B ⋅ O , O ⋅ B . Все матрицы квадратные второго порядка. Следовательно, все произведения будутквадратными матрицами того же порядка.

Используя правило умножения, получаем 1 2   0 0   1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1   2 2  ; =  =  ⋅ A ⋅ B =  3 4   1 1   3 ⋅ 0 + 4 ⋅1 3 ⋅ 0 + 4 ⋅1  4 4  0 0   1 2   0 ⋅1 + 0 ⋅ 3 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4   0 0  ; =  ⋅ B ⋅ A =  =  1 1   3 4   1 ⋅1 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4   4 6  1 2   1 0   1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1   1 2  ; =  =  ⋅ A ⋅ E =  3 4   0 1   3 ⋅1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅1  3 4 A⋅ E = E ⋅ A = A 1 0   1 2  1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4   1 2  ⋅  =  =  ;E ⋅ A =  0 1   3 4   0 ⋅1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4   3 4 0B ⋅ O = 10O ⋅ B = 00 0⋅1   00 0⋅0   10 0=0   00 0=1   00;0 0.

0 A⋅O = O и O ⋅ A = O14Пример 1.9. Найти произведения A⋅ B и B ⋅ A :а) A = (1 2 3) , 4 B = 56 1 23 1б) A = ; − 1 3 ;, B =  1 1 − 4 − 13 2 1 ;г) A =  , B = (1 3)21−0 1 2 а) Произведением A⋅ B является число: 4 (32) = 32 ,A ⋅ B = (1 2 3) ⋅  5  = (1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6) = 61×11×3  6 1 2 1в) A = , B = .3×1а произведением B ⋅ A – квадратная матрица третьего порядка: 4 4 ⋅1 4 ⋅ 2 4 ⋅ 3   4 8 12   B ⋅ A =  5  ⋅ (1 2 3) =  5 ⋅1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 3  =  5 10 15  . 6 6 ⋅1 6 ⋅ 2 6 ⋅ 3   6 12 18 1×3 3×13×3Очевидно, что A ⋅ B ≠ B ⋅ A ;5 1 2   − 1 3  1 ⋅ (−1) + 2 ⋅1 1 ⋅ 3 + 2 ⋅1  1 , =  =  ⋅ −⋅⋅++⋅⋅−102131113(1)31131  б) A ⋅ B = 2× 22× 22× 2 − 1 3   1 2   (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 (−1) ⋅ 2 + 3 ⋅1  8 1 ⋅==.B ⋅ A = 1 1   3 1   1 ⋅1 + 1 ⋅ 31 ⋅ 2 + 1 ⋅1   4 3   2× 22× 22× 2Оба произведения – это квадратные матрицы одного и того же порядка, но A ⋅ B ≠ B ⋅ A ;в) 6 1  − 4 − 1  6 ⋅ (− 4) + 1 ⋅ (−2) 6 ⋅ (−1) + 1 ⋅1  − 26 − 5 ⋅=,=A ⋅ B = 2 1  − 2 1   2 ⋅ (− 4) + 1 ⋅ (−2) 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅1  − 10 − 1   2× 22× 22× 2 − 4 − 1  6 1  (− 4) ⋅ 6 + (−1) ⋅ 2 (− 4) ⋅1 + (−1) ⋅1  − 26 − 5 .==⋅B ⋅ A = − 2 1   2 1  (−2) ⋅ 6 + 1 ⋅ 2(−2) ⋅1 + 1 ⋅1   − 10 − 1    2× 22× 22× 2Результаты умножения совпадают, т.е.

A ⋅ B = B ⋅ A ;г) произведение A⋅ B не может быть найдено, так как число столбцов матрицы A(три) не равно числу строк матрицы B (одна). При этом говорят, что нельзя умножитьматрицу A на матрицу B справа. В то же время можно умножить матрицу A на матрицу Bслева:3 2 1 = (1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 3 ⋅1 1 ⋅1 + 3 ⋅ 2) = (3 5 7 ) . B ⋅ A = (1 3) ⋅   0 1 2  1× 21×32× 315Пример 1.10. Найти матрицы ( A ⋅ B ) ⋅ C , A ⋅ (B ⋅ C ) , A ⋅ (B + C ) , A ⋅ B + A ⋅ C , если1 2A =  ,3 4 5 6 ,B = 7 81 0C =  .0 2 Найдем 1 2   5 6   1 0   19 22   1 0   19 44  ⋅  ⋅  =  ⋅  =  43 100  ,347802435002 ( A ⋅ B ) ⋅ C =  1 2   5 6   1 0   1 2   5 12   19 44  ⋅  ⋅  =  ⋅  =  ,A ⋅ (B ⋅ C ) =  3 4   7 8   0 2   3 4   7 16   43 100  1 2   5 6   1 0   1 2   6 6   20 26  ⋅  +  =  ⋅  =  ,A ⋅ (B + C ) =  3 4   7 8   0 2   3 4   7 10   46 58  1 2   5 6   1 2   1 0   19 22   1 4   20 26  . =  +  =  ⋅  +  ⋅ A ⋅ B + A ⋅ C = 384658347834024350      Заметим, что ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C ) и A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C .

16Степень матрицыДля любой квадратной матрицы A ( n -го порядка) определено произведение A ⋅ A(матрицы A на себя). Поэтому можно говорить о целой неотрицательной степениматрицы, определяя последовательноA0 = E , A1 = A , A 2 = A ⋅ A , A3 = A2 ⋅ A ,…, Am = Am −1 ⋅ A , … .Заметим, что справедливы обычные свойства степеней с натуральными показателями:A k ⋅ Al = Al ⋅ A k = A k + l ,(A ) = Ak lkl.Многочлены от матрицПри помощи операций возведения в степень, сложения матриц и умножения матрицына число можно получать многочлены от матриц.Пусть pm ( x) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + am x m – многочлен (степени m ) переменной x , A –квадратная матрица n -го порядка.Выражение видаpm ( A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + ... + am AmA0называется многочленом от матрицы A .

Многочлен pm ( A) является квадратной матрицейn -го порядка.171 2  .Пример 1.11. Найти A3 , если A = 11 По определению степени матрицы получаем31 2  1 2  1 2  1 2   3 4  1 2   7 10  . =  ⋅  =  ⋅  ⋅  = A = 11111111231157      3 2− 1 .Пример 1.12. Найти p2 ( A) , если p2 ( x) = x 2 − 5 x + 3 , A = −33 Используем определение многочлена от матрицы: 2 − 1  2 ⋅ p2 ( A) = −33 −3− 5   10 7 − = 1512−  − 15− 1 2 − 11 0 − 5 ⋅  + 3 ⋅  =33301−− 5  3 0  0 0. +=15   0 3   0 0 18.