Презентация 1. Матрицы (Лекции в виде презентаций)

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯПРЕЗЕНТАЦИИЛекций 36 ч.Практических занятий 36 ч.Всего 72 ч.Итоговый контроль – экзамен.Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович1ЛИТЕРАТУРА1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука, 1984.2. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах.- М.: Высшая школа,2010. - 592 с.3. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.- М.: Высшаяшкола, 205. - 592 с.4.

Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.- М.:Высшая школа, 2007. - 352 с.21. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ1.1. ЧИСЛОВЫЕ МАТРИЦЫМатрицей размеров m × n называется совокупность m ⋅ n чисел, расположенных в видепрямоугольной таблицы из m строк и n столбцов: a11 a 21A=a m1a12a 22......am 2...a1n a2n  a mn или A = (aij ) , i = 1,..., m ; j = 1,..., n .Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: aij – ее элемент,стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца. Предполагается, что элементы матрицявляются действительными числами.Пример 1.1.

Определить размеры матриц1 0A =  2 3 , 4 21 0 4 2 , c = (1 2 3) ,B = 36811d =   . 2 Матрица A имеет размеры 3× 2 , матрица B – 2 × 4 , c – 1× 3 ,d – 2 × 1 .3Две матрицы A и B называются равными ( A = B ), если ониимеют одинаковые размеры ( m × n ) и равные соответствующиеэлементы:aij = bij , i = 1,..., m ;j = 1,..., n .В общем случае матрицу (размеров m × n ) называютпрямоугольной. В частности, если матрица состоит из одногостолбца ( n = 1 ) или одной строки ( m = 1 ), то она называетсяматрицей-столбцом или матрицей-строкой (либо простостолбцом или строкой) соответственно. Матрицы-строки иматрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (впримере 1.1: c – строка, d – столбец).

Матрица размеров 1×1 –это просто число (единственный элемент матрицы).ЕслиуматрицыПобочная диагональa1n  a11количество строк ( m ) равноколичеству столбцов ( n ), тоaматрицу называют квадратнойa nn  n1Элементы( n -гопорядка).Главная диагональРис. 1.1a11 , a 22 ,…, a nn образуют главнуюдиагональ квадратной матрицы(ей соответствует штриховая линия на рис. 1.1, соединяющаялевый верхний угол матрицы (элемент a11 ) с правым нижнимуглом (элемент ann )). Диагональ, соединяющая левый нижнийугол (элемент an1 ) с правым верхним углом (элемент a1n ),называется побочной.4 a11 0A= 0Квадратная матрица вида0a 2200 0 , a nn .........у которой все элементы, стоящие внеглавной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается diag (a11 , a22 ,..., ann ) .Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица10E =0010.........00,1 которая называется единичной ( n -го порядка) и обозначается E (или En ).Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главнойдиагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной).На рис.

1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать,что в частях матрицы, помеченных символом О, все элементы равны нулю, а в частях,помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными).Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхнейи нижней треугольной.ДиагональнаяООВерхняятреугольнаяО*НижняятреугольнаяО*Рис. 1.2Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.5Пример 1.2. Определить типы матриц1 2 10 0 0 , B =  0 4 5  ,A = 0 0 00 0 91 0 01 0F = 0 1 0 , G =  2 34 50 0 1ABСDEFGH0 00 01 0 , D =  , E =  ,C = 1000010 2 0 00 , H =  0 2 0 .0 0 16 – прямоугольная размеров 2 × 3 , нулевая;– верхняя треугольная третьего порядка;– нижняя треугольная второго порядка;– квадратная второго порядка, нулевая;– единичная второго порядка;– единичная третьего порядка;– нижняя треугольная третьего порядка;– диагональная третьего порядка.

61.2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ1.2.1. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦПусть A = (aij ) и B = (bij ) – матрицы одинаковых размеров m × n .Матрица C = (cij ) тех же размеров m × n называется суммой матриц A и B , если ееэлементы равны сумме соответствующих элементов матриц A и B : cij = aij + bij , i = 1,..., m ;j = 1,..., n .Сумма матриц обозначается C = A + B .Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров ивыполняется поэлементно.Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковыхразмеров.

Нельзя, например, найти суммы вида1 2  5 +  3 4 6или(1 32) +   . 41 20 1Пример 1.3. Найти сумму двух матриц A =  3 4  , B =  1 0  .5 60 0 Складывая соответствующие элементы матриц, получаем1 2  0 1 1+ 0 2 +1  1 3   C = 3 4 + 1 0 =  3 +1 4 + 0 =  4 4 . 5 6 0 0 5 + 0 6 + 0  5 6   (3×2 )(3×2 )(3×2 )71.2.2. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛОПроизведением матрицы A = (aij ) на число λ называется матрица C = (cij ) тех жеразмеров, что и матрица A , каждый элемент которой равен произведению числа λ насоответствующий элемент матрицы A :cij = λ ⋅ aij ,i = 1,  , m ;j = 1,  , n .Произведение обозначается λ ⋅ A или A ⋅ λ .

Операция умножения матрицы на числовыполняется поэлементно. Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ееэлемент умножается на это число.Пример 1.4. Найти произведение матрицы1 2A = 3 45 6на число 2 . Умножая на 2 каждый элемент матрицы A , получаем1 2 1⋅ 2 2 ⋅ 2  2 4   C = 2 ⋅ A = A ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 4 = 3 ⋅ 2 4 ⋅ 2 =  6 8  .  5 6   5 ⋅ 2 6 ⋅ 2  10 12   8Матрица (−1) ⋅ A называется противоположной матрице A и обозначается (− A) .Сумма матриц B и (− A) называется разностью и обозначается B − A .Для нахождения разности матриц B − A следует из элементов матрицы B вычестьсоответствующие элементы матрицы A . Вычитать можно только матрицыодинаковых размеров.Пример 1.5.

Даны матрицы1 20 1A =  3 4 , B =  1 0  .5 60 0Найти разности B − A и A − B . Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим 0 1   1 2   0 − 1 1 − 2   −1 −1 B − A = 1 0  −  3 4  = 1 − 3 0 − 4  = −2 −4  , 0 0   5 6   0 − 5 0 − 6   −5 −6    1 2 0 1A − B =  3 4  −  1 0  =5 6 0 0 1− 0 2 −1  1 1  3 −1 4 − 0 =  2 4 .  5 − 0 6 − 0 5 6 9ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ1. Операция сложения матриц;2.

Операция умножения матрицы на число.Свойства линейных операций над матрицами совпадают со свойствами операцийсложения (вычитания) алгебраических выражений (например, многочленов) и умноженияалгебраического выражения на число.Для любых матриц A , B , C одинаковых размеров и любых чисел α , β справедливыравенства:1. A + B = B + A ;2. ( A + B ) + C = A + (B + C ) ;3. α ⋅ ( A + B ) = α ⋅ A + α ⋅ B ;4. (α + β ) ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A ;5. (α ⋅ β ) ⋅ A = α ⋅ (β ⋅ A) ;6. 1 ⋅ A = A .101.2.3. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦПусть даны матрицы A = (aij ) размеров m × p и B = (bij ) размеров p × n .Матрица C размеров m × n , элементы cij которой вычисляются по формулеcij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j +  + aip ⋅ b pj , i = 1,.., m ; j = 1,.., n ,называется произведением матриц A и B и обозначается С = AB .Операция умножения матрицы A на матрицу B определена только для согласованныхматриц, у которых число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B :C = A⋅ B .m× nm× p p × nРассмотрим подробнее процедуру нахождения произведения матриц.Чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбцаматрицы С , следует выделить i -ю строку матрицы A и j -й столбец матрицы B .

Онисодержат одинаковое число элементов, так как матрицы A и B согласованы.Затем найти сумму попарных произведений соответствующих элементов: первыйэлемент i -й строки умножается на первый элемент j -го столбца, второй элемент i -й строкиумножается на второй элемент j -го столбца и т.д., а результаты перемноженийскладываются.11В произведении A⋅ B матрицу A называют левым множителем для B и говорят обумножении матрицы B на матрицу A слева.Аналогично матрицу B называют правым множителем для A и говорят обумножении матрицы A на матрицу B справа.Заметим, что в общем случае A ⋅ B ≠ B ⋅ A , но существуют квадратные матрицы,произведение которых не зависит от перестановки множителей.Матрицы A и B называются перестановочными, еслиA⋅ B = B ⋅ A .Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.В частности, например, можно показать, что диагональные матрицы одного и того жепорядка перестановочны.Для любой квадратной матрицы A порядка n справедливы следующие равенства:A⋅ E = E ⋅ A = A ,где E – единичная матрица порядка n .

Другими словами, единичная матрицаперестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.Для любой матрицы A справедливы равенстваA⋅O = O и O ⋅ A = O ,где O – нулевые матрицы соответствующих порядков, т.е. нулевая квадратная матрицаперестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.12Свойства умножения матрицПусть λ – любое число; A , B , C – произвольные матрицы, для которых определеныоперации умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогдаопределены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1. ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C ) ;2.

A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C ;3. ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C ;4. λ ⋅ ( A ⋅ B ) = (λ ⋅ A) ⋅ B .Пример 1.6. Даны матрицыB⋅ A.1 01 2 1 , B =  0 1  . Вычислить произведения A⋅ BA =  0 1 21 1и Используя правило умножения, получаем1 0  1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅1 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 1 ⋅1   2 3 1 2 1  ⋅  0 1  =  = A⋅B= ; ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅01201102100112123 1 1  2×3 3× 2 2× 21 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2   1 2 1 1 0  1 2 1 01210021101120101=+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅B⋅A=. 012  1 ⋅1 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 1 ⋅1 1 ⋅1 + 1 ⋅ 2   1 3 3 3× 2 2× 3  1 1   3× 3Оба произведения A⋅ B и B ⋅ A определены, но являются матрицами разных размеров, т.е.A⋅ B ≠ B ⋅ A .