Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 6

Удерзкиваюи1ими называются связи, описываемые уравнениями. Связи, описываемые при помощи неравенств, называются неддерзкиваюи1иии. Системы с неудерживаюшими связями далее рассматривать не будем. Голономными или геометрическими называются связи, описываемые уравнениями вида Яг1,..., гЪг, 2) =- О, где у' является функцией только координат точек и времени. Связи называются дифференциальными или кинематическими, если в уравнение связи У(г-г,...,гу,р1,...,гВ,4) =О входят проекции скоростей точек системы. Дифференциальная связь называется интегрируемой, если ее можно представить в виде соотношения между координатами точек и времени, т.е.

в виде геометрической связи. Неинтегрируемую дифференциальную связь называют неголономной связью. Связь называется стационарной (склерономной), если уравнение связи не зависит явно от времени. В противном случае связь называется нестационарной (реономноюЦ. Система называется еолономной, если на нее не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи; если среди связей есть хотя бы одна неинтегрируемая, то система называется неео4ономной. Если на систему не наложены нестапионарные связи, то она называется снлероноггнод; если среди связей есть хотя бы одна не- стационарная, то система называется реономнод. Пример 2.

Пусть точка во время своего движения остается на поверхности эллипсоида, задаваемого уравнением г г — + — + — — 1= О. аг ег сг Это означает, что координаты в, у,я точки удовлетворяют уравнению связи, из которого следует, что связь является удерживающей (связь задана в виде уравнения), голономной (уравнение содержит только координаты точки) и стационарной (эллипсоид не перемещается в пространстве и не деформируется).

Если связь выражена уравнением яг уг гг + — + — — 1=0, а гг дг сг то точка находится на эллипсоиде, изменяющем свою форму со временем. В данном случае связь является реономной. Другим примером реономной связи является связь, заданная уравнением которое означает, что точка может находиться на эллнпсоиде или в его внутренней области. Пример 3. Шар радиуса В катится по плоскости без скольжения. Положение шара определяется координатами вс, ус яс его центра масс С и тремя углами Эйлера ф, д, у (рис.

15). Рис, 15. Шар на горизонтальной плоскости Качение без скольжения является кинематической связью, выражаемой уравнением (х — Н)г уг + — + — — 1 = О. аг дг Это уравнение показывает, что точка находится на движущемся эллипсоиде, центр которого перемещается вдоль одной из его полуосей. Примером неудерживакнцей (или освобрждающей) связи может служить неравенство ,г уг +-+ — — 1<0 аг 6г с Здесь К вЂ” точка касания шара с опорной плоскостью, й— вектор мгновенной угловой скорости шара.

В проекциях на неподвижные оси Овуг это уравнение имеет вид йс — Кш„= О, Согласно кинематическим уравнениям Эйлера (в проекциях на не- подвижные оси), ы, =- фипдзш4+дсозф, ы„= — угзгпдсоь4+дзш Поэтому откуда вс = В~р+ совзФ, В проекции на ось Ов получим ес — Ай=0, йс — В( — ~рппйсозф+ дз1пф) = О, (51) Ус+ В( ~рз1пдешф+ ВсозЯ = О, яс =' О. Первые два уравнения системы (51) неинтегрируемы, а последнее интегрируется и дает геометрическое условие яо = Я. Следовательно, шар, катящийся по плоскости без скольжения, является неголономной системой. Пример 4.

Колесо радиуса Л катится без скольжения по неподвижной прямой Оя, оставаясь в плоскости Ову. Положение колеса определяется координатами его центра вс, ус и углом поворота у. Уравнение геометрической связи уо = Н (рнс. 16). Рис. 16, Колесо на неподвижной прямой Кинематическая связь (отсутствие скольжения) дает равенство Это уравнение интегрируется и приводит к соотношению между двумя координатами т.

е. к геометрической связи. Таким образом, система является голономной. Итак, плоское движение колеса или диска, катящегося без скольжения по прямой, является примером механической системы с дифференциальной интегрируемой связью. Это верно и для плоскопарэллельного движения цилиндра, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости. Пусть на механическую систему наложены г голономных связей, задаваемых уравнениями У (гм..., гу,Ф) = О, а = 1,2,..., г. (52) Наименьшее число параметров, необходимое для задания допускаемых связями (52) положений системы, называется числом ее независимых обобщенных координагл. Число обобщенных координат равно т = ЗМ вЂ” т.

За обобщенные координаты можно выбрать любые га из ЗФ координат точек системы, а можно внести любые дРУгие независимые величины дм йз, ..., д„, (Расстоания, углы и др.), удобные для описания положений системы. При этом радиус - векторы точек системы должны быть однозначными функциями дм щ ~ ...

~ д~ '. г'=г'(чмй ч г) 1=1 2 " й~ (5З) В системе, описанной в задании 1, в качестве обобщенных координат выбраны углы р и д, отклонения стержней АВ и ВС, в примере 1 — угол у откленения стержня ОА и перемещение з груза М. В двойном математическом маятнике (см. рис. 22) фиксированном времени: ~(т,~) = О.

(54) ЮАд = ~ (Видть) =О. ь=1 50 обобщенные координаты — углы ~р и у1 отклонения стержней от вертикали. П1. 2. Действительные, возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи Определим действительные, возможные и виртуальные перемеще- ния материальной точки, подчиненной голономной связи Под дебстпвитпельным перемещением дт" точки понимается допускаемое связью (54) бесконечно малое перемещение втой точки, совершаемое за время аг под действием заданных сил. Действительное перемещение определяется в результате решения дифференциального уравнения движения точки.

Возможным перемещением назьгвается "перемещение" Ьт точки; допускаемое связью (54). В отличие от действительного перемещения возможные перемещения удовлетворяют только уравнению связи (54). Действительное перемещение всегда является одним из возможных. Дифференциальное уравнение, которому подчинены возможные перемещения точки, получим, взяв дифференциал от обеих частей уравнения (54): 4' = — + Ч1Ьт = — + ~~, — Ьу; = О. ду ду " ду дг дг ., дд; Наконец, виртуальным перемещением Й' точки называется бесконечно малое "перемещение" точки, допускаемое связью (54), зафиксированной в данный момент времени. Дифференциальное уравнение, которому подчинены виртуальные перемещения точки, получим, вычисляя дифференциал левой части уравнения (54) при Если связь стационарна, то множества возможных и виртуальных перемещений совпадают. Аналогично определяются действительные, возможные и виртуальные перемещения системы материальных точек Р1,..., Ртт .

Проекции 8вь, дуя, Бзь (й = 1,..., Ф) виртуальнь|х перемещений Бть называются вариаииями координат вь, уь, яь точек системы. Число и независимых вариаций Ювь, вуь, Бяь называется числом стпепеней свободы системы. Если на систему наложены т геометрических и в неголономных связей, то и = ЗМ вЂ” т — в. Для голономных систем (в = О) число степеней свободы совпадает с числом независимых обобщенных координат. Шар в примере 3 имеет три степени свободы; число обобщенных координат равно пяти (ас, уо, у1, д, 1в) .

Колесо в примере 4 имеет одну степень свободы; за обобщенную координату можно выбрать ас или ~р. Понятие о виртуальных перемещениях позволяет определить очень важный класс связей. Связи называются идеальнььии, если сумма работ всех реакций связей на любых виртуальных перемещениях точек системы равна нулю: Примеры идеальных связей (рис. 17 — 20): 1) неподвижный шарнир; 2) шарнирное соединение тел системы; 3) скольжение тела по неподвижной гладкой поверхности; В б) а) а) б) а) б) К а) б) 4) взаимное скольжение тел системы гладкими поверхностями; 5) качение тела без скольжения по неподвижной шероховатой поверхности; б) качение без скольжения одного тела по поверхности другого тела системы; Рис. 17.

Идеальные связи 1 (а) и 2 (б) Рнс. 18. Идеальные связи 3 (а) и 4 (б) Рис. 19. Идеальные связи 5 (а) и б (б) 7) натянутая нерастяжимая нить; 8) отсутствие скольжения между нитью и блоком (барабаном, цилиндром). Рис, 20. Идеальные связи 7 (а) н 8 (б) Многие системы и механизмы можно рассматривать как сочетание простейших "элементов", описанных в приведенных примерах. Однако часто связи не являются идеальными, например в случаях (рис. 21): а) скольжения тела по шероховатой неподвижной поверхности; б) взаимного скольжения тел системы при наличии сил трения; в) качения тела без скольжения при наличии трения качения.

Формально в этих случаях силы трения относят к неизвестным активным силам, тогда связи можно считать идеальными. Рис. 21, Примеры неидеальных связей Ш. 3. Обобщенные силы вом [Я=в (А) Ы' (58) Е6А® =~ (Гь,6-,.). ь=1 ь=1 (58) д ~ 6А; (Рь) ь.=з 6дв 6А; = Ч;67„ Рассмотрим систему материальных точек Р1,..., Ргг, положения которой определяются обобщенными координатами 71, ..., д„,. Радиус-вектор гя точки Рь задается равенством (53), а виртуальное перемещение точки вычисляется по формуле 6г-„= ~; — 6~,, '" дгь (55) д Пусть Рь (й = 1,,Ф) — активная сила, приложенная к точке Рь, Вычислим сумму работ всех активных сил на виртуальных перемещениях точек системы Подставив выражение (55) в равенство (58), получим и после изменения порядка суммирования 6А (гл.,) = ~ ~„9~67;, 96 — — '~ ~Р~, —,. (57) я=1 Величина ф называется обобщенной силой, соответствующей координате д, Таким образом, обобщенная сила может быть вычислена как сумма скалярных.

произведений активных сил на производные радиус-векторов точек приложения сил цо соответствующей обобщенной координате. Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей ей обобщенной координаты и определяется равенст- где Я вЂ” размерность работы. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. Если же обобщенная координата — угол, то обобщенная сила имеет размерность момента.