Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем

ФЕНЕГАВЬНОЕ АГЕНТСТВО НО ОБРАЗОВАНИЮ московский АвиАционный институт (государственный технический университет) т. В. Руджнко О. В. хОлОстОВА исслждоВАниж движжний Ролономных мжхАничжских систжм Учебное пособие для курсовых работ Утверждено ' на заседании редсовета 16 мая 2005 г, и.к МВВ'%ич ФВЙ ВИЯАИФ ГВИВ Москва Издательство МАИ 2005 Руденко Т.В., Холостова О.В. Предисловие ....5 .... 5 ....8 ...16 ..22 ..

26 .. 45 .. 45 Рвцвнзвнты ....50 ...,54 ....60 ..70 .. 73 18В1з 5-7655-1615-3 Исследование движений голономных механических систем: У'чеб. пособие для курсовых работ. — ' М. Изд во МАИ, 2005. — 96 с. Пособие содержит методические рекомендации к сборнику "Задания для курсовых работ по динамике механических систем". В книге изложены элементарные теоретические сведения по кинематике и динамике точки, динамике материальной системы н аналн=: тической динамике. Приведено множество примеров реииния за дач.

Предназначено для студентов авиационных вузов, изучедощид' курс теоретической механики. кафедра механики и теории управления Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А.С. Андреев); д-р фнз.-мат. наук, проф. 1О.Ф. Голубев (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова) ©Московский авиационный институт (государственный технический университет), 2005 1. Исследование движения точки .........,.....

1.1. Кинематика точки 1.1.1. Способы задания движения точки ..., 1.1.2. Сложное движение точки ......,...... 1.2. Линамика относительного движения точки . П. Линамика механических систем ........,....... П.1, Теоремы об изменении количества движения системы и о движении центра масс ............ П.2. Теорема об изменении кинетического момента системы П.З. Теорема об изменении кинетической энергии системы ................. ~/ П.4. Метод кинетостатики (принцип Лаламбера) ...

$ П1. Элементы аналитической механики '! '--Ф4П.1. Понятие о связях. Обобщенные координаты 1-7 П1.2. Лействительные, возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи ............... ) П1.3. Обобщенные силы П1.4. Общее уравнение динамики ................... 1П.5. Уравнения Лагранжа второго рода ........... ! 1П.б. Первые интегралы уравнений движения ...... 1П.6.1.

Циклический интеграл 1П.6.2. Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии П1.7. Составление уравнений Лагранжа ............ П1.8. Устойчивость равновесия и малые колебания консервативных систем ..... П1.8.1. Устойчивость равновесия ........., .. П1.8.2. Малые колебания ....,,,.........,... Библиографический список ............................, Предисловие Современныи уровень развития науки и техники предъявляет в сокие требования к уровню знаний фундаментальных естественнонаучных дисциплин. Специалист не должен испытывать затруднений при решении практических заданий.

А умение решать задачи приходит только в результате глубокого изучения теории и значительной практики. Цели развития самостоятельных практических навыков у студента служит курсовая работа. Настоящее пособие содержит методические рекомендации к сборнику "Задания для курсовых работ по динамике механических систем". В пособии изложены элементарньщ теоретические сведения по кинематике сложного движения точки точки, динамике относительного движения точки динамике матери 3 атериальной системы и аналитической механике, необходимые при выполнении заданий из (1). Авторы воздержались от доказательства приводимых теорем и подробного вывода формул ввиду существования обширной учебнои литературы. Основное же внимание уделяется применению теорем и методов механики при решении задач.

Пособие содержит образцы выполнения заданий по всем темам, включенным в курсовую работу. Прообразом для данного пособия послужила книга (2). В отличие от (2) авторы включили новые разделы по кинематике сложного движения и по динамике относительног б о движения точки доавили изложение общего уравнения динам к .

Р и и. асширен раздел, посвященный малым колебаниям консервативных систем. Изменен порядок следования тем. Везде, где использованы материалы книги (2), сделаны соответствующие ссылки. П особие написано преподавателями кафедры теоретической механики Московского авиационного институт ута и адресовано студентам авиационных в зов у, изучающим курс теоретической механики, 1 1 Кинематика точки Х. Исследование движении точки Простейшим объектом исследования в механике является материальная точка.

од мат .. П атериааьной то~исай или просто точкой, по- 1 пимают тело, размерами которого при исследовании его движения можно пренебречь. 1. 1. 1. Сиособьк задания движения точки Х Рис. 1. Векторно-координатный способ задания движения точки Производная функции г" называется скоростью точки: Й ю= — = г, аг Положение точки в пространстве можно задать ее радиус-вектором г = ОЛ$ относительно некоторой фиксированной точки О (рис.

1). Радиус-вектор г = г(1) движущейся точки есть векторная функция времени, задающая закон движения точки. а производная функции б — ее ускорением: Й7 сР г" 16 = д1 д1з ' гв — ~~~т + гоп~ р(г) = Х(г)ех + УЯе~. + Я(г)ея, и = Х(ь)ех + У(ь)еу + Я(г)ея, го = Х(ь)ех + У(г)еу + ЙЯея. „г го„= — = Луг г В го» = .~~~р~ Скорость и ускорение являются основными кинематическими характеристиками точки. Свяжем с точкой О неподвижную декартову систему координат Я (рис. 1), которую далее будем называть систе.ной отсчета. Пусть ех, еу, ея — орты ее осей ОХ, ОУ, ОЯ. Вектор- функция р(8) в системе координат я задается тремя скалярными функциями времени Х(ь), У(1), Я(ь): а скорость н ускорение точки определяется соотношениями Конец радиус-вектора г" описывает в пространстве кривую, называемую траекпгорией точки, Рис. 2. Скорость и ускорение точки Рассмотрим движение точки вдоль ее траектории. Положение точки М на траектории может быть определено (рис.

2) как взятая с соответствующим знаком длина дуги ОгМ = в(ь), отсчитываемая от некоторой фиксированной точки 01 траектории (например, положения точки М при $ = 0). Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки. Его модуль вычисляется по формуле и = дв/аь'. Теорема Рюйгенса. Ускорение точки гв представляет собой векторную сумму тангенииального, или касательного, и нормального ускорений направленных соответственно по касательной и по внутренней нормали к траектории точки. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора ског рости по модулю и вычисляется по формуле гв = аи/Ф =' а в/аьг .

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению и вычисляется по формуле го„= и /р (р — раг~ диус кривизны траектории в точке М). Рассмотрим частный случай, когда точка М движется по окружности радиуса В (рис. 3). Тогда ОгМ = в($) = й<р($), где ~р(г) — угол поворота радиус-вектора ОМ точки относительно фиксированного положения ООг, а Рис.

3. Движение точки по окружности „>3+ „,2 д ~,з ~,;4 отсчета. 'ва — еве + юе + юе- Х и7, = 2 ь7 х е„, Величины у и ф называются соответственно угловой скорое тью и угловььм ускорением радиус-вектора ОЛ1 . Полное ускорение точки вычисляется по формуле 1, 1. 2. Сложное движение ~очки Часто движение материальной точки целесообразно изучать одновременно по отношению к двум или даже нескольким системам Рис.

4. Сложное движение точки Пусть кроме уже введенной неподвижной (абсолютной) системы 5 имеется еще одна декартова система координат У, движущаяся произвольным образом по отношению к системе Б (рис. 4), Движение точки М по отношению к системе У называет~я отно-, сительным движением. Движение подвижной системы У относительно системы 5 называется переносньмл движением. Движение точки М по отношению к системе Я, определяемое двумя этими составляющими движениями, называется ее сложным или а6солютным движением. Абсолютной скоростью е„и абсолютным ускорением ю называются скорость и ускорение точки М в абсол1отной системе координат Я, Относительной скоростпью е„и относительнььм ускорением ю„назьгваются скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат У.

Переносной скоростью е, и переносньиа ускорением и, называются скорость и ускорение той точки подвижной системы координат У, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М . Связь между основньпии кинематическими характеристиками точки в непсдвижнои и подвижнои системах координат устанавлиеа — ее + Ее. (з) Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): Абсолютное ускорение точки есть векторная сумма переносного, относительного и кориолисова ускорений: Кориолисово ускорение вычисляется по формуле где а7 — угловая скорость подвижной системы координат У относительно системы Я. Наличие кориолисова ускорения 'е7, есть результат взаимного влияния переносной и относительной составляющих движения точки, приводящих к изменению ее абсолютной скорости: с одной стороны, за счет вращения (при ьу =г.