Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем (1006477), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда говорят, что система находится в. силовом поле. Силовое поле называется потенииальнььи, если существует скалярная функция У (силовая функция), зависящая от координат точек и времени, такая, что дУ дУ , дб' — Рь„= —, г'ь„= — . '- (30) дхь' " дуг' '* дгь'' Функция П = -с>' называется потенииальной энергией системы или потенциалом. Если силовая функция не зависит явно от времени «случай стаиионарного потенциального поля), то элементарная работа сил Гь представляет собой полный дифференциал: Ф Н'А = ~ (Гк.дхь+ Гь„дуя + Рь,дгь) = АУ = -аП.
В последнем случае из теоремы 7 следует Закон сохранения полкой механической энергии системьь Если все силы системы (внешние и внутренние) потенциальны и потен цвел П не зависит явно от времени, то цри движении системы 4е полная механическая энергия '12) Полагая в системе, описанной в зада- 3> т4 = ть = 0 и считая> диск 2 действует пара сил с моментом Х = = йу>, где Й вЂ” положигпельная постоянная, >р — угол поворота диска 2, определить зависимость скорости о>З груза от его перемеи1ения з, Груз 1 опускаетпся из начального положения без начальной скорости. Считата, что >р(0) = О. Рис.
11. Вычисление кинетической энергии системы Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме: Система состоит из абсолютно твердых тел и идеальной нити; Тогда (37) Т~1~ = — т ез 2 Т~ ) = —,Узй = — тгД з 2 1 ,з 1 з,з 2 4 Т((~ = — Уз рз = — тза' рз. (38) 2 б Учитывая соотношение (Зд) найдем (40) Ф = -тто. Зб поэтому Ай = О. Так как система начинает двигаться из состояния покоя, то Т1 = О. Кинетическую энергию Тз системы в момент, когда груз пройдет расстояние и, (рис.
11) ищем в виде суммы Т, ТОО „Т~з~ „Т(з) Кинетическую энергию Т(1) груза Х) вычислим по формуле Выражения для кинетических энергий Т~з) и Т(з) диска 2 и стержня 3 найдем по формуле (32), в которой положим ю = ф: и з1 Тг =- — ~3(2т1 + тз) + 2тз — ~ . 12 ~ дг~ ' Вычислим суммарную работу внешних сил системы." АОО =- А(т1д) + А(тзД + А(Мурр) + А(Ь) Учитывая формулы (34) и (35), имеем рк ',, иы.': д — — а ' ю.+~(-ю)Ф+~Ю~и. 2 Здесь у„— угол поворота диска при перемещении груза на рас- стояние з. Проинтегрируем (39) при нулевых начальных условиях и найдем соотношение между и и у„: тз . з 1 зз А~'~ = т1оз — — еаз1п — + — (й — з) —.
2 В 2 Вз Приравнивая теперь (40) и (41), получим П. 4. Метод кинетостатики (принцип Даламбера) Дифференциальным уравнениям движения механической системы можно придать форму уравнений статики. Этот метод, называемый методом кииетостативи, часто применяют в инженерных расчетах, особенно при определении динамических реакций связей. Метод кинетостатики состоит в том, что в любой момент движения системы совокупность векторов активных сил Гь, реакций связей Вь и вычисленных сил инерции Фь представляет систему сил, уравновешенных на той конфигурации, которую имеет механическая система в данный момент времени. Си юй аверкии материальной точки называется вектор Ф, равный по модулю произведению массы точки на величину ее'ускорения и направленный противоположно ускорению: Введение силы инерции позволяет уравнение движения материальной точки тй= У+В записать в форме условия равновесия сил: ' Р+В+Ф=О.
Р)') + я)') + Ф = О, МБ)) + Мло) + Ме = О (42) Здесь р4") — главный вектор внешних активных сил, приложенных к системе, й)') — главный вектор внешних реакций связи и Ф вЂ” главный вектор сил инерции; Мо, Мс), Мо — главке) д( .) и ные моменты внешних активных сил, внешних реакций связи и сил инерции, вычисленные относительно произвольно выбранного полюса О, причем И рз)в) — ~~, ' р(') ))) Д)е) ~ Д)е) )е Ф=~ 'Фй; й=1 Мо =~~' гйхрй. > Мо =,~,ейной', й=1 й=1 где гй — радиус-векторы точек системы относительно полюса О .
Уравнения (42) называются уравнениями нинетостатини. Они аналогичны основным уравнениям статики (уравнению сил и уравнению моментов) и переходят в последние, если система находится в покое. Для произвольной системы материальных точек главный вектор сил инерции вычисляется по формуле Ф = -Мй)с, (43) Принцип Даламбера для материальной точки: если в любой момент времени н действую)цим на тонну активным силам с равнодействуюи)ей Р и реакции связи 11 присоединить силу инерции Ф, то полученная система сил будет'уравновеи)еннои Если в механической системе ввести силы инерции Фй = -тйюй (Й = 1,2,..., Лг) каждой ее точки, то уравнения движения системы можно представить в виде !.) где М вЂ” масса системы, й)п — ускорение ее центра масс Главный момент сил инерции системы относительно неподвижного центра О равен 1й (44) где Ко — кинетический момент системы относительно центра О .
Главный момент сил инерции системы относительно центра масс С равен Система сил инерции твердого тела, движущегося поступательно, приводится к равнодействующей, равной главному вектору Ф сил инерции и приложенной в центре масс О тела. Если тело вращается вокруг неподвижной оси ОВ, то система его сил инерции приводится к главному вектору Ф, определяемому равенством (43), и паре с моментом (44), проекция которого на ось вращения равна Моя 'УОяв1 е где доя — момент инерции тела относительно оси вращения, е — угловое ускорение. В частности, если ось вращения содержит центр масс тела, то главный вектор сил инерции тела равен нулю.
В случае плоскопараллельного движения твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, совпадающую с плоскостью движения, система сил инерции приводится к вектору Ф, определенному равенством (43) и приложенному в центре масс О тела, и к паре с моментом М~о = —,Усе, где,7п — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения, е"— вектор углового ускорения тела. 38 Мс(Вв) = О. Вв ! фп Фс = -тьшсь + Фс„+ Фсе, Фс =Фс, +Фс, где Фс, = тырс,ь Фс, = тьаф, ФСе ™ь2осе ь ьь — о ° 9 Фс = тьаьр (4б) Фс„= ть60, Фс — — — тырс, Фьь 002 Фс„= ььзьшсе ь еь ьь 40 Задание 6. (2) Для условия задания 3, считая стержень ВС невесомым (ть = О,), определить давление в шарнире В и реакцию шарнира А. 1. Чтобы определить давление в шарнире В, рассмотрим систему, состоящую из стержня ВС н груза С.
Освободим систему от связи в шарнире В, заменяя связь реакцией Яв ь К системе приложена также сила тяжести тьу груза С (рис. 12). Рис. 12, Система: стержень ВС и груз С Следуя принципу Даламбера, введем силу инерции точки С представляя ее в виде суммы составляющих (см. задание 1) Силы тьу, Вн, Фс представляют собой уравновешенную систему сил. Выберем в качестве полюса точку С, тогда второе уравнение кинетостатики сводится к виду Отсюда следует, что реакция Вв направлена вдоль стержня ВС. Чтобы определить ее модуль, рассмотрим первое уравнение кине- тостатики тьу + Вв + Фс = О Спроецируем его на прямую ВС: Вв — тьдсоз0 — Ф~с соз(0 — 1о) — Фс юп(0 — ьр) — Фс = О. Получим Лв = ть (О соз О+ а (асов(0 — ьр) + ьр~ зш(0 — р)~ + 00~~ .
(47) Рис. 13. Система: груз В, диск 2 и стержень АВ П. Для нахождения реакции шарнира А рассмотрим механическую систему, состоящую из груза О, диска 2 и стержня' 'АВ . К системе приложены силы тяжести ггггд, пггу, тзу . В шарнире В на систему действует реакция В~ — — Йн, модуль которой определяется равенством (47), в шарнире А — неизвестная реакция Йя = Вд + В як (рис. 13).
Вычислим силы инерции системы. Для поступательно движущегося груза ГУ силы инерции эквивалентны силе Фгз — гаггогз~ Фгз = гл1В~г. (43) Силы инерции диска приводятся к паре сил с моментом М~е, причем пггВг .. М,4 — — —,Ггег = — — ~р. 2 (49) Для однородного стержня АВ, вращающегося вокруг неподвижнои оси А, силы инерции приводятся к главному вектору ФАд = = — тгп7к и паре с моментом М~дн — — —,Ук~р', где Гк — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс К перпендикулярно плоскости рисунка.
Рис. 14. Система сил инерции стержг'ня АВ Приведем эти силу и пару к простейшему вйду — ' к равнодействующей Й4н . Заметим, что система сил инерции стержня АВ является системой параллельных сил, Стержень можно разбить на элементарные участки длины ~К (рис. 14)..Сила инерции элементарного участка, принимаемого за материальную точку, представляется вектором ~~Фа — Фп~- + <лип > ЫФ . = — Игл„го"„., сИ „= -Ыт„го „, а Ног = (огз/а)<К вЂ” масса элемента стержня длины И~ . Модуль равнодействующей Йян определяем как сумму всех сил инерции элементарных участков стержня АВ и и Г газ Г пгз Вяв = — го ~К = — ~/ю~ +го~ ~~с = а а о" оп о о 3г+,44ц р2 ~ ф4 тз ... тза /:.
а 2 о Этот результат, естественно, совпадает с выражением для модуля главного вектора сил инерции Фзн . Определим точку М приложения равнодействующей Вял, называемую центром параллельных сил. Момент этой силы должен быть равен сумме моментов всех элементарных сил инерции стержня АВ относительно любой точки. Выберем за полюс точку А, тогда неизвестное расстояние р = АФ определится из равенства Мя (ВАВ) = ~ Мя (<1Фя) ~ Я или газа ...,, . Г пзз — (гг+ ог4 дзицу = ~ — ~ угг+ ф4(;вгп,б Иг', о где ~3 — угол между векторами Взл и р, Интегрируя правую часть полученного равенства, после сокращений найдем 2а р = АЛ = —.
3 Для определения реакции ВА шарнира А составим первое уравнение кинетостатики (42) для груза Ю, диска 2 и стержня АВ: Ш. Элементы аналитической механики Ш. 1. Понятие о связях. Обобгценные координаты т19 + 11129 + ™29 + ВА + В'В + ФВ + ВАВ = О, Записывая это уравнение в проекциях на неподвижные оси АХ и АУ и учитывая равенство В'в = Вв, получим ВА +ВВв1пд+ВАВв1пр+ВАВсову = О, Влг — ВВ сов 9 — (т1 + тз + тз)9— + Ф — ВАВ сов 92+ ВАВв1п1р = О.
Подставляя выражения для ФВ, ВАВ, ВАВ, будем иметь тза г.. ВА = — ВВ в1п  — — ~~р вш 1р+ р сов р) 2 3 ВАг = ВВ совд+ (т1 + т2 + тз)у— тза г.. 2 . — т1Вф+ — (усов1р — 22 в1п~р), где величина ВВ определяется равенством (47). Функции ~о(2), 9(1), 1р(1), 9(1), ф(1), 9(г) находятся издифференциальных уравнений движения механической системы, например из уравнений Лагранжа (82), которые будут получены ниже. Нетрудно показать, что найденные выражения для проекций ВА, Вл„реакции шарнира А совпадают с равенствами (24), если в последних положить п14 = 0 и использовать уравнения (82).
Заметим, что второе уравнение кинетостатики (которое здесь получать не будем) представляет собой уравнение вращательного движения системы относительно оси АЯ, составленное в задании 4 для частных случаев при помощи' теоремы об изменении кинетического момента. При движении материальной системы на положения и скорости ее точек могут быть наложены ограничения. Ограничения, налагаемые на величины 1ь и бь, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах, назьгваются связями, Связи реализуются посредством шарниров, нитей, стержней, поверхностей тел и т.п. Аналитически связи выражаются соотношениями в виде уравнений или неравенств, содержащих радиус-векторы точек системы, их скорости и время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
