Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 7

Рассмотрим способы вычисления обобщенных сил. Х. В соответсвии с формулой (57), выражая все скалярные прои~ведения через проекции векторов, получим д*ь ду„д;'1 О .=-'~ ~Рь.— '+Рь — +й,.— ~ -„,~ -д7, дю дВ/ 2. На практике для вычисления обобщенной силы Я; системе сообщается такое виртуальное перемещение, при котором 6щ ф у: О, а все остальные вариации 676(у ф з) равны нулю.

Подсчитав И работу 6Ае =., )' 6А;(Р~) активных сил на этом перемещении, в-1 согласно равенству (57) будем иметь з. Если силы Фь потенциальны, то справедливы равенства (Зб), В этом случае формула (58) примет вид /дП двь дП дуь дП дяь'| „, ~два дд дуь дв дяь дВ дня дев Р,,— +Рг.— = *ду *д~а дП дф' г=1,2,...,т. да я дав Р, — +Рг.— = " дгр д4' Р, О+Рг(-ЬзшЯ= — ~гйзшгр. В дА = аипР, ув = азгпу+ Ь зал гЬ вя =- асов р, хв = асов~р+ Ьсозф, Учитывая, что потенциальнал энергия П зависит от обобщенных координат дг, ..., д„, сложным образом через декартовы координаты хь, уь, гь, получаем для обобщенной силы 4.

Если часть активных сил системы потенциальна с потенциалом П, а часть непотенциальна, то для вычисления обобщенных сил можно использовать смешанную формулу, следующую из пунктов 2 и 3: дП Я;= — — +ч,*, дог где Ч',г — часть обобшенной силы, отвечаюпгая непотенциальным силам и вычисляемая по формуле Здесь бА; — элементарная работа непотенциальных сил на виртуальном перемешении системы бд; ф О, йц = О (у ~ г) . Пример б.

(2) Двойной математический маятник, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из двух невесомых стержней длины ОА = а и АВ = Ь. На концах стержней укреплены материальные точки А и В веса Рг и Рг соответственно (рис. 22). Положение системы определяется двумя углами р и 4 . Система имеет две степени свободы, так как связи допускают независимые изменения этих углов.

Введя систему координат Ову, найдем проекции сил Рг и Рг. Рг. = Рг, Рг„ = О, Рг„ = Р„ Р, = О и координаты точек А и В приложения сил Вычислим обобщенные силы, используя формулу (58): — Рг( — азгпу) + Рг( — азш гг) = — (Рг + Рг)аз1п<р, Рис. 22. Двойной математи- Рнс. 23. Груз на вращаческий маятник ющемся стержне Пример 6. Щ Рассмотрим систему, описанную в примере 1, полагая вес стержня ОА равным О (рис. 23), Положение системы определяется двумя обобщенными координатами: углом у поворота стержня н перемещением в груза М, равным удлинению пружины. Сообщим системе виртуальное перемещение, при котором груз остается неподвижным (з = сопзг), а угол ~р изменяется на величину Ьу.

При этом (рис. 24, а) йс = — Юу, Ьги = (а+зМ'р. 2 бто = О, бтм = 6«. причем Вычислим обобщенную силу Я, 6А„(С) — Р(а+ з) «1п р б~р, Отсюда находим Следовательно, Д, = Рсову> — сз. ~Сб Ят ~ + Р(а+ «) вант' т— М' + А' (ОО) Следовательно, дП вЂ” — Р сов ег — сяь д« Виртуальная работа активных сил на этом перемещении равна 6А„= Я„б~р = 6Ат (С) + 6А„(Р) + 6А„(Р „р), ( )=- Гх ~ СГ . С, био) = С вЂ” сов ( — + у) б~р = — — вш ~р 61«, ) 2 Ь бА„(Р) —.— (Рд~ц) =Р~ <.

) ~ — ~.~)ет = ~2 6А„(Р«„р) = (Ру р,бтм) = Р „р(а+ з) сов Ыбу = О. ~2/ Рис. 24. Виртуальное перемещение системы: а — — Йр у~ О, 6« =- О; б — 61«=о, бз~о Далее сообщим системе виртуальное перемещение, при котором угол ~р остается неизменным, а удлинение з пружины изменяется на величину 6« (рис. 24, б).

При этом 6А, = Ч,б«= 6А, (С) +6А, (Р)+6А, (Р „р), 6А, (С) = (С,бтс) = О, 6А, (Р) = (Р,бтм) = Рсов~рбз, т 6А (Рупр) = (Рулр,б~ м) = — Рупрбз = — с«бз Заметим, что активные силы (сила тяжести и сила упругости) потенциальны. Поэтому в рассмотренном примере для вычисления обощенных сил можно применить формулу (59). Потенциальная энергия системы равна (аддитивная постоянная отброшена) Мб 1 ,зг П = — ~ — + Р(а+ «)~ сов<р+ —. 2 дП (Сб — — — — ~ — + Р(а + з)1 вш у, д1« ~ 2 ~~~, БА ® + ~~~, БА (Фь) = О (61) или ~~, (Рь + Фь) . Бгь = О. Ь=1 (62) с„ Се БА, = ~, БА; ® + ~ ' БА; (Фь) 60 Ш. 4.

Общее уравнение динамики Рассмотрим движения системы материальных точек Р1,..., Рн, считая, что либо она свободна, либо на нее наложены идеальные и удерживающие связи. Пусть Рь и Фь = — тьи1ь — активная сила, приложенная к точке Рь, и ее сила инерции. Справедливо обпцее уравнение динамики: При движении механической систпемы с идеальными и удерживающими связями в каждый момента времени сумма элементпарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы на любых виртуальных перемещениях равна нулю: Соотношения (61) или (62) содержат в себе и дифференциальных уравнений движения механической системы, где и — число степеней свободы.

Если система голономна и описывается обобщецными координатами о1,...,д„, то все вариации Бд1,...,Буь независимы. Лля получения 1-го уравнения движения системы (1' = 1,, и) задается виртуальное перемещение Бй ~ О, Бд = 0 (1 ф 1), затем подсчитывается виртуальная работа активных сил и сил инерции на этом перемещении, имеющая вид Б.41 = Б1(41 ~, 4~, Ч1,, йп, й,, й, ЦБй. Так как, согласно уравнению (61), БА; = О, то, в силу произвольности Бй ~ О, произведем сокращение на Бй и получим требуемое дифференциальное уравнение о1(йь ° ° ° ~Ь ~41) ° ° Чп й) ° ° я 1) = О Задание 7.

Применяя общее уравнение динамики, составить дифференциальные уравнения движения систпемы, описанной в условии задания 1, К активным силам, приложенным к изучаемой системе, относятся силы тяжести тгу, ..., твд и пара сил с моментом М ьр — — — сю, Рис. 25. Виртуальное перемещение снстемьп Йр > О, Бо =- 0 Присоединим к активным силам силы инерции тел, входящих в систему, Силы инерции груза П приводятся к главному вектору Фп, задаваемому формулами (48), силы инерции диска 2 — к паре сил с моментом Мл~ (см.

формулу (49) ), Силы инерции стержня БА (МА) '= ««2АБ«р = В «рб«р~ 2 БЛ(МВС) =О, БА(ФК ) =-.,БА(фс ) =О, б~'Ь = бгс =. БгВ. б2 АВ эквивалентны равнодействующей тз .. „тз ДАВ = В".4в+ В.4в Вяв = — а'р В".4в =- — а'р 2 ' 2 приложенной в точке Ф, причем А«««определено равенством (50). Силы инерции точки С описаны формулами (45), (4б). Наконец силы инерции стержня ВС, совершающего плоскопараллельное движение, приводятся к главному вектору ФВс = 2«24юь«ФВс = т4п«ъ и главному моменту относительно центра масс Ь Мвс = -Увсд, Увс = — Ь, Ф т4 2 12 причем составляющие главного вектора Фвс задаются формулами, аналогичными (45) и (46), где при вычислении ускорения «о«.

следует вместо Ь взять Ь/2. Для составления первого уравнения движения сообщим системе виртуальное перемещение Б«р ф О, Бд = О (д = сопзз) (рис. 25). При этом диск 2 и стержень АВ поворачиваются на угол б«р, точки В, 2««' и К стержня АВ получают соответственно перемещения Бгв, Бг»« и Бгд,перпендикулярные АВ, где 2 1 бгв = аб«р, бг»« = -аб«р, бг»- = -аб«р.

3 ' 2 Груз В опускается на расстояние Бг«« =. Вбр. Стержень ВС совершает поступательное перемещение, равное перемещению точки В и, в частности, Вычислим суммарную работу активных сил системы на указанных перемещениях: БА» = ~~,БА„,(тьд)+БА,„(Мор) = = тгдбгп+ (тзу, Бгк) + (т4д, бгь) + (тзу бгс) + М Бр = .= тздНБ«р+ ~ — + т4+ тз уаб«рсоа(т — ~о) — с«рб«р = «' тз 1, 2 — т«уй — ~ — + т4+ тз уасоз«р — с«р Б«р. '«, 2 Заметим, что стоящая в квадратных скобках величина представляет собой обобщенную силу Яо, отвечающую координате «р . Найдем теперь суммарную работу сил инерции системы на рассматриваемых перемещениях: БА (Фв) = — Фвбгв = — 2Я «рб«р, БА (Л 4В) = Л~вбг««« = — — а'«рб«р, БА (Й4В) = О, БА (фт ) ФЕ Б а2 "Б«р БЛ (ф«с ) l т4 '2 БА (ф"~ ) — фа Бг«соз(и — (д — «р)) =- — — аЬд со 2 БЛ (Ф" ) .= -тзаддз соз(д — «р)б«р, l Ъ т4 БА (Ф ) =.

Ф Б соз ~ — + (д — «р)1 = — — Ьдз1 «, ъ,.) — ь,. БА (Фс ) = -тзаЬдз«п(д — «р)ба«. Приравняем к нулю суммарную работу актив инерции системы: Ь бть = — 60, бгс = Ь 60. 6Авз' — (т,д, бг,) + (твд, бгс) — ( — + тв дЬвш0 60 /тв 6А (Фс ) = — тзЬгд 60, 6А (Ф~„) = 6А (Фас ) = О, Се < /тз тгдгг — ( — + т4 + тв да сов~р — с~р тз'~ г /тз — тз + — ~ В ~а — ( — + т4 + тв азф Сокращая на б~г, перепишем полученное уравнение в виде ог+ з+ +тв аг + ( — + тз11 <Ввш(0 — ~р) + Вг сов(0 — ~а)1 аЬ = (бЗ) ~ 2 /тз тгд — ~ — + т4+ тз дасаев — ср, (, 2 Рис.

2б. Виртуальное перемещение системы; бу =' О, 60 > О Составим теперь второе уравнение движения системы. Положим 60 ф О, бр = О (~р = сопев) (рис. 2б). Груз Р, диск 2 и стержень АВ остаются неподвижными, а стержень ВС поворачивается на угол 60. Точки Х и С стержня ВС получают перемещения бгь и бгс, перпендикулярные ВС, при этом Активные силы и силы инерции, приложенные к грузу Р, диску 2 и стержню АВ, не совершают работу на указанном перемещении.

Элементарная работа остальных активных сил равна Ь /н /я т4д — 6В сов '( — + В ) + твдЬ 60 сов ( — + 0 2 (,2 (,2 Коэффициент при 60 есть обобщенная сила Чв, отвечающая координате О. Вычислим элементарную работу сил инерции, приложенных к стержню ВС и грузу С: б ~~ф. ) Фг 6 ~4Ьг060 6А ~Ф~ ) =- Ф~Я бгь сов(0 — р) = ™вЂ” аЬфг соь(0 — р)60, 6А < Ф~ т) — фт бгь вш<х — (Π— у)) — — —.аЬдгвш(0 — р)60, 6А (Мнес) = Мвесбд = — 'Ь'В 60, нс вс ЮА (Фо~ ) ~- твабуР сов(д — у)дд, вА (Фс ) = — твабфвш(д — д')Бд.