Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 2

0) подвижной системы координат У меняется направление в абсолютном пространстве относительной скорости е„; с другой стороны, за счет перемещения точки в системе координат У (при е„ф 0 ) меняется ее переносная скорость. . Пусть система 5' движется постущФ;"' ' '!:-'"'' " темы Я. Так как в этом случае скоррст)'и::;34 . системы 8' геометрически равны, то перенпед6$~г "," ,", $1' рение точки М не зависят от ее положения В;яне$~-,:-'ф-,'-.':,,')~~~)))уут' быть вычислены, например, как скорость и ускоринй)4,".,",.

' '35$$р" динат 0' системы Я'. кроме того, кориолисово уаФФЬййй~(~;-:,;Фхуййиц м равно нулю, так как ш = О. поэтому формулы (8):;Ягг.."3~6);:~$ц)звь пишутся в виде б, = ео + ег, юь = шо'+ идг '. (5) Хс = агаву+ Ьвшд, 1'с.= авшр — бсовд,, (7) Х. Введем неподвижную систему координат Я с началом в точке А и осями АХ и АУ (рис. 5), Радиус-вектор точки С имеет проекции Груз 12 подвешен к концу невесомой нити, намотанной на однородный диск радиуса Ж.

диск, вращаясь вокруг неподвижной горизонтальной оси А, поворачиваегп жестко связанный с ним стержень АВ длины а и деформируета спиральную пружину. Сгпержень АВ в точке В шарнирно соединен со стержнем ВС длины 6; к концу последнего подвешен груз С. Пусть ю — угол между стержнем АВ и горизонталью, д — угол между сгпержнем ВС и вертикалью (рис, 52. Считая р(ь) и д(г) заданными функциями времени, вычислитпь скоросгпи и ускорения точек В и С. Задание 1. Стержень АВ вращается с угловой скоростью ф н угловым ускорением зб вокруг оси А.

'1'очка В движется по окружности радиуса а. На основании формул (1) и (2) получим, что шв = а ф+ фв (б) шв„= а'р, 3 ев = ар, шв, = а~р, 10 Скорость и ускорение точки С вычислим двумя спосгобами: 1) при помощи метода координат и 2) рассматривая движений точ-. ки С как сложное.

Рнс. 5. Координатный способ вычисления скорости и ускорения точки Смсхгиизма: 1 — грузв, 2 — диск, 3 — стержень АВ, 4 — стержень ВС, 5 — груз С Продифференцировав (7), получим ес = — ав1пуз ф+ бсовд д, ест = асовуф+ бвшд д. (8) Величина скорости ес определяется из соотношения ес езс + есс а~~р~ + Ьздз + 2абубд в1п(д — уз). (9) Дифференцируя соотношения (8), вычислим проекции вектора ускорения точки С на оси системы Я: шся = -а(вш~Р <Р+ сов У фз)+ 6(совд д в;пд дз) (10) юсг = а(сов гР ~Р— в1п~Р фз) + Ь(в1пд д+ сов д дз), 11' АСз = аз+ Ьз+ 2аЬ эта. ис, АСР~ ыс, = АСу иф = АСрз.

йс„ (12) 13 з — и,з + и;9 -- ая ф'.',~„,Ья) .,).:','.'$$,'(фф!'ф~;::~:,'.;.~~:;-'~4= в~';; '. -- -:::-:-:'::::;::- =',:'-:-"",'-':: (11) +2аЬ ~(фд + ~рФ) в1п(д — у) + ~~рФ ' ' ЬЬй~"ФМ(Ф~:-;,',~~~~;;": г г П. Рассмотрим теперь движение точки С какилбФйов', 9$умг:. ление составляющих абсолютной: скорости и абсолготпит6' уяяорвния точки зависит от выбора промежуточной подвижной аиатвмы координат. Введем сначала подвижную систему координат У, жестко связанную со стержнем АВ. Полюс системы Я' совместим с точкой В, а оси Вх и Вд направим соответственно по стержню АВ и перпендикулярно ему (рис.

б). Система Я' совершает плоскопараллельное движение, ее полюс В перемещается относительно системы 5 со скоростью йв и ускорением шв, найденными выше. Кроме того, система У вращается в плоскости рисунка (вместе со стержнем АВ ), имея угловую скорость ф и угловое ускорение ~р . Рис.

б. Скорость и ускорение груза С при плоскопараллельном движении подвижной системы координат Положение стержня ВС в подвижной системе У определяется относительным углом поворота В относительном движении точка С вращается вокруг точки В по окружности радиуса ВС с угловой скоростью 4 и угловым ускорением 4 . Поэтому величины ис,, ее относительной скорости и ю, иф составляющих относительного ускорения вычисляются по формулам ис„= ЬФ, с„—— ЬФ, Е„= Ъ ЬФ. Для определения переносной скорости и переносного ускорения точки С мысленно зафиксируем угол ф. Тогда стержень ВС вместе со стержнем АВ будет вращаться вокруг оси А с угловой скоростью ~р и угловым ускорением ф.

При этом точка С будет двигаться по окружности радиуса АС, где Последнее соотношение получено при помощи теоремы косинусов для треугольника АВС, с учетом того, что' 1АВС = (я/2) + ф. Следовательно, величины ис, переносной скорости и иу иР с. с, составляющих переносного ускорения точки С определяются со- отношениями При вычислении кориолисова ускорения точки С учтем что вектор ы угловой скорости системы У (равный по модулю р) направлен перпендикулярно плоскости рисунка на читателя.

Поэтому вектор юс„ направлен, в соответствии с правилом вычисления векторного произведения, вдоль стержня ВС, а его модуль равен юс, = 2Ь~рф . Найдем величину ис абсолютной скорости точки С. Обозначим через а угол между векторами ис, и ис„, Тогда имеем "с = "с, +ис„+2ис,ис„сова = 2 3 2 — АСзУР + ЬзФз + 2 АС Ь у~ сов а, йцэм нз!треугольника . А ВД:,4Мфдфф~фйу~Ф;;;:",',,.~й-'-" тывая далее выражения для ''сёя'«э' «" 4~, й!ф',--'~,:"'""""""",".,","",';".'4ля тной скорости точки С уже известное:-'Фйф~~~~~$~~.:,(йд, определения абсолютного ускорений т«гики',:-ь«.", афьМФруго составляющие на направление, иаралдддвня«й"уййржню а направление, перпендикулярное ВС, Обвйнвчяд цврвую проекций через шс««, а втоРУю — через ш««з,«йбЦУчдзя шс, = шс. в1п «~ + шс, сов ««+ шс„+ шс., Учи абсолю Для ем все е ВС, ил из этих шс, = ш~ сов«« — шс вш««+ шс„.

Находя далее шсз — шсз, + иф,, придем к результату (1!.). Ш. Введем теперь вместо системы Я~ систему координат У'. Полюс последней по-прежнему совмещен с точкой В, но, в отличие от системы Я', ее оси движутся поступательно и остаются параллельными осям абсолютной системы координат 8 (рис. 7), (13) шс,=эд шс„=ад. и«:, Так как угол между векторами ис„и йс, равен (гг/2) — ф, то 2 2 2 ис — ис. + ис„+ 2 ис.ис, сов (- — «р а~«р~ + Б~д~ + 2 ад«рд в«п ф, что при учете (12) совпадает с (9).

Спроецнруем все составляющие абсолютного ускорения точки С на оси АХ и АУ абсолютной системы 5: шс = — ш~ вшу — шс сов р+ш~ совд — ш" вшд, ускорения точки С равны определенным выше векторам т7л и шв скорости и ускорения полюса В, Положение стержня ВС в системе о'» определяется углом д. В относительном движении точка С вращается вокруг точки В по окружности радиуса ВС с угловой скоростью д и угловым ускорением д. Поэтому для величин ис„относительной скорости н ш~, иф составляющих относительного ускорения точки С имеем выражения 1гт 1-и« бе Рис. 7.

Скорость и ускорение груза С при поступательном' движении подвижной системы координат При таком выборе подвижной системы координат для абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки С справедливы соотношения вида (5). Векторы переносной скорости и переносного шо = шс. сов«р шс. «йп'р+ шс, в«пд+ ш~ совд.

Эти выражения, с учетом (6) и (13), совпадают с найденными ранее проекциями (10). Абсолютное ускорение точки С можно найти по-другому, проецируя все его составляющие на направление, параллельное стержнк1 ВС, и на направление, перпендикулярное стержню. Обозначая эти проекции через шп, и шо,, получим шс« = шс сов(д — ~) + шс в«п(д — 9>) + шс а («р сов (д — ~о) + «рз в«п (д — у)) + эдз, шс = шс в«п(д — 'р) — шс сов(д — 'р) + шс О=Р+Ф, тй« = Р. (14) Фг = — ™пи«г. Фв — -туг« (15) пио, = Г + Ф, + Ф„. а («р ьйп (д — «р) — «р~ сов (о, «р)1 + 5д,- Последующее вычисление иф = и«з~„',+ и«сз;я ирин«едет 'вновь к формуле (11).

1. 2. Динамика относительного движения точки Рассмотрим движение точки М массы гп в инерцивльной системе отсчета Я совершающееся под действием приложенных к ней сил Ь Р, (1 = 1,2,..., Й). Обозначая через Г равнодействующую ~ .Р'; «=« этих сил, запишем уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона В некоторых случаях бывает необходимо изучить движение точки М относительно неинерциальных систем отсчета, например по отношению к некоторому движущемуся объекту.

Пусть точка движется относительно системы Я, которвл, в свою очередь, совершает заданное движение относительно инерцизльной (неподвижной) системы о . По теореме Кориолиса (см. формулу (4)) абсолютное ускорение точки является геометрической суммой относительного, переносного и кориолисова ускорений. Подставляя (4) в равенство (14), перепишем последнее в виде тй«„=- Р— иий„— тй«,, Введем векторы Ф, переносной силы инериии и Ф, нориолисовой силы инерции: Тогда уравнение относительного движения точки примет вид Уравнение (15) движения точки.в неинерциальной системе отсчета записано в форме второго закона Ньютона; при этом к действующим на точку силам формально присоединены переносная и кориолисова силы инерции, Если точка покоится по отношению к подвижной системе о«, то ее относительные скорость в"„и ускорение й«„обращаются в нуль. Следовательно, кориолисова сила инерции Ф, = О.

Уравнение (15) в этом случае принимает вид и является уравнением отпносительного равновесия точки. Пример 1. Груз М веса Р, прикрепленный к концу пружины ОМ, может скользить без трения вдоль стержня ОА длины с, который качается в вертикальной плоскости вокруг неподвижного шарнира О .

Жесткость пружины с, длина недеформированной пружины равна а (рис. 8). Рис. 8. Относительное движение груза М Положение точки М на стержне будем определять расстоянием 01М = в относительно правого конца О1 пружины в недефор; „(й):,:;:::д)~й~Ь~И'4~М~()джей('.~~~1игс" мцр®гнннамсоптояи "" . ~...' '.::" ---:"",:с;-~~у"';":фг(йтнвими итаем за~Я4ЯЯй"'фЯянйЯФ'Я,, вг тйггыю иеринкьяи'считаем д, "'г(гу4гии авненив 'ивнжайнгьйй4кн:: ':й'. ' 'Ф'- дифференциальное' уравне В едем неподвижнуго сист му р '' " ' ".