Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 9

в твое тв(г 2 г'2 2 2 Кинетическую энергию стержня ВС, совершающего плоскопареллельное движение, определяем по формуле (33): — — а 1р + — д + аЬрдвгп(д — 1р) + — — д . 4 ~ 2.2 Ь'., 11п4Ь 2 2 ~ 4 2 12 Здесь 14 = т462/12 — момент инерции однородного стержня ВС относительно оси вращения, проходящей через его центр масс 1 . Скорость точки 1 получается из выражения (9) заменой 6 на 6/2. Итак, кинетическая энергия системы равна Т вЂ” — т1+ — 11 + — +т4+тв а <р + + — ~ — + тв~ Ь д + — (т4 + 2тв) а61рд вгп(д — 1р). 1П4 2 '2 2 3 2 1К Вычисление обобщенных си 1, Обобщенные силы Я, и 1')в системы определены выше при вычисленли работы активных сил системы (см. задание 7): /тз — т Я вЂ” ( — + т4 + тв а сов 71 д — с(о, ЗАМЕЧАНИЕ.

Данная механическая система является консервативной, так как связи являются стационарными, силы тяжести и упругая сила пружины потенциальны и потенциал П не зависит явно от времени: с1рг а П((о, д) = — п11дд р + — + тзд- в!п (о + 2 '2 Ь + 1пвд п,яшар — — сов д + твд (а сйп (о — 6совд) . 2 ь т4 'ь, 2 (82) — ~+тз Ь В+ /тя — — + тз В зги О. ЬгВ + Вычислив частные производные по вь и 0 от функции (81) согласно формуле (59), получим тот же результат (80). К Вычисление производных от кинетической энергии, — тг+ — гь + — +тв+тз а у+ дТ /тв 1 г /тв — — 1 — + тз1 Ь В+ ~ — + тз аЬ вьвш(0 — р), дВ ' ~8 ) ьь2 дт / 4 — — ~ — + тз) аЬ ьрО сов(0 — ьр), дьр ~ 2 дТ /т4 — ( — + тз ~ аЬ уьВ сов(0 — ьр), дО (,2 а д — тг+ 2 Л + — +тв+тз а р+ ( — 'ь-,) ь(ь.ь Ьь — ь,ьь.ььв — ье,р ь1 ~тв (ь ь )'ь'ЬЬ""ьь ььь.ФЙ вЂ” И Р-ьВ1.

РХ. Составление уравнений Лагранжа. Подставляя полученные выражения для производных от кинетической энергии и для обобщенных сил в уравнения (78), будем иметь тг+ ™ — Лг+ ™ — +тв+тз аг р+ ( — 'ь.,) ь(ь' ьр — Ль-ь' Вь — ьВ) = /тз тгугг — ( — + тв+ тв УасозьР— сьР 'ь, 2 ( — ~ + тв1 а (ьр вш(0 — ьр) — ьр~ сов(Π— ьр)1 = ьь 2 Эти уравнения совпадают с уравнениями (63) и (64), полученными выше из общего уравнения динамики. Задавая начальные условия и конкретные значения параметров, можно, проинтегрировав зти уравнения, найти зависимости ьр = у(г), 0 = 0(1), определяющие движение системы, Полученная система (82), однако, весьма сложна. Получить ее решение аналитически в общем случае невозможно.

Решение таких систем проводится численно при помощи компьютера. Аналитическому же исследованию поддаются только простейшие движения системы. В следующем разделе будут рассмотрены положения равновесия системы и ее малые колебания в окрестности устойчивых положений равновесия. Так как рассматриваемая система консервативна, то ее полная энергия сохраняетсю Т+ П = сопзФ, где Т и П имеют вид (79), (8Ц, КЕ Поспгдоватсльноспьь действий при составлении уравнений Лагранжа.

Как видно из пп, 1 — У1, при составлении уравнений Лагранжа рекомендуется выполнять следующие действия: — определить механическую систему, проанализировать связи, перечислить силы, совершающие работу; — выбрать обобщенные координаты, определить число степеней свободы; — записать общий вид уравнений Лагранжа для выбранных координат; — вычислить обобщенные силы, обусловленные активными силами (если связи идеальные); в случае неидеальных связей следует учесть силы трения, отнеся их формально к активным силам и задавая закон изменения сил трения; обобщенные силы выразить как функции времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей; — вычислить кинетическую энергию системы; — произвести необходимое дифференцирование кинетической энергии по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени; — составить уравнения Лагранжа; — получить первые интегралы уравнений движения (если они имеются) .

Ш. 8. Устойчивость равновесия и мальте колебания консервативных систем Ш. 8. 1. Устойчивость равновесия Согласно принципу виртуальных перемещений для равновесия голономной механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы 9, системы, соответствующие выбранным обобщенным координатам в;, были равны нулю: 91=0, Яз=О, ..., Я„=О. (83) В случае консервативной системы условия (83) равносильны системе уравнений дП вЂ” = О. дд„ дП вЂ” =О, дФ дП вЂ” =О, ду1 (84) Это означает, что положения раиновесия являются стационарными точками функции потенциальной энергии.

Решая эти уравнения относительно в„дз, ..., в„, найдем те значения обобщенных координат (85) при которых система находится в равновесии. Решений (85) может оказаться несколько. Какие-то из найденных положений равновесия могут быть устойчивыми, другие — неустойчивыми. Достаточное условие устойчивости положения равновесия дает Теорема Лагранжа - Днрихле.

Если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы имеет строгий локальный минимум, то это положение равновесия устойчиНекоторые условия неустойчивости положения равновесия консервативных систем можно установить на основании следующих теорем А.М. Ляпунова: Теорема 1.

Если потенциальная энергия П консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно усмотреть иэ членов второй степени в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необгодимости рассмотрения членов высших порядков, то данное положение равновесии неустойчиво. Теорема 2.

Если потенциальная энергия П консервативной системы в положении равновесия имеет строгий максимум и это обстоятельство может быть определено исгодя иэ членов наинизшей степени, которые действительно присутствуют в разложении этой функции в ряд в окрестности положения равновесия, то это положение равновесия неустойчиво, Пля системы с одной степенью своводы с потенциальной энергией П(д) условие устойчивости положения равновесия в = ||о (условие минимума функции П ) задается неравенством Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма Е ' о саяе|я| — >о, а условие неустойчивости (условие максимума функции П ) — неравенством с противоположным знаком, При исследовании устойчивости положений равновесия для сис- ТЕМ С и СТЕПЕНЯМИ СВОВОДЪ| удобно разложить потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия (85), вводя отклонения ~| = в| — ф (1= 1,...,и).

Имеем щ ) що о)+~ (дП) ~+ Вео (88) 1 |',92 П + — Е с0.66+..., со = ~( |8=| о Первая сумма в разложении (86) равна нулю в силу равенств (84), и разложение функции П в ряд в окрестности положения ранновесия всегда начинается с квадратичных членов. Бели квадратичная форма о со ~ ~ 18=| является определенно-положительной, тогда положение равновесия (85) будет точкой строгого локального минимума функции. П, следовательно, по теореме Лагранжа — Дирихле рас~матриваемое положение равновесия устойчиво, Пля определения условий, при которых квадратичная форма является определенно-положительной, применяется с вещественными коэффиииентами является определенно-положительной тогда и только тогда, когда все главные миноры Ь|, Ьз, ..., Ь„матрицы ее коэффициентов положительны| Ь > О, |1 > О, ..., |1 > О П1.

8. 2. Малые колебания Вели рассматриваемое положение равновесия устойчиво, то при малых начальных отклонениях от этого положения и малых начальных скоростях движение системы будет происходить в достаточно малой окрестности положения равновесия. Это означает, что если начальные значения величин ~; и ~| малы, то они останутся малыми во все время движения. Поэтому при исследовании движения системы в окрестности устойчивого положения равновесия вместо полных нелинейных уравнений движения можно рассматривать приближенные уравнения, в которых содержатся только линейные по ~| и ~| члены и отброшены все нелинейные члены. Чтобы составить такие линейные уравнения, например, в форме уравнений Лагранжа второго рода, достаточно получить разложения функций кинетической и потенциальной энергии системы в ряд в окрестности положения.

равновесия до членов второго порядка цо $ и ~; включительно. Рассмотрим сначала консегеятивнз |о систему с одной степенью своводы с кинетической энергией У =, (1/2)а(д)дз и потенциальной энергией П = П(в). Пусть д = ||о — положение устойчивого равновесия, Вводя отклонение ~ = в — до, получим следующие разложения Т и П: П(д) П(70) + 1с 12+ 2 аг+ сс = О. (87) Я2) = С2е~" + Сзе~", Ацз = а ~,/к~ — ыз. (91) (88) (89) 2н ~а Г ы 2'с ~+2к~+ю2~ = О, к =сопзс > О, (90) У(оо) = — ~а(о )+ ~ — 1 с+...~ с = -ос +..., 2 ~ (,~19~о /И2П1 а=а(9о)>0, с= ~ — ) >О. Ид функция Лагранжа системы имеет вид (аддитнвнел постоянная отброшена) Ь = — ас — — с(, 2 2 2 а уравнение малых колебаний запишутся в виде Введем величину ы = ~/с/а — частоту малых колебаний и перепишем уравнение (87) Его решение Дг) = С2 зш ы2 + С2 соз оИ описывает гармонические колебания, имеющие период Часто при исследовании движения системы необходимо учитывать силы сопротивления.