Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 3

'4 ем коо дийвж' ' 6 ся сте жнем подвижную сис . Му Й. 06 ОА ось ОУ - *чгерпендг1йулдрЖН "Оа в правим вдоль стержня ОА, ось у - * пе плоскости рисунка. Р ' гв: ' уцругосНа ру М т а г з М деиствуют М " т сила тяжести .; сила . В едем также переносную и акция 1г' стержня. ведем ти пружины н реа ое ско ение точки М выкориолисову силы и лы инерции. Переносное ускоре числяется по формулам гв = (а+ в)~р, гв, (а )гг, гве гве гве ~ е откуда получим г Фв — Фв + Фе| е Фт = пг(а+ в)у, Ф," =- т(а+ в)<р .

реакции стержня В в = в(г), то величина Ф становится известной функцией времени. Предположим, что стержень вращается равномерно по закону р = ыг. Пусть в начальный момент времени груз М покоился, а пружина находилась в ненапряженном состоянии, т. е. в(0) = а, в(0) = О. Тогда закон в(г) движения груза найдем, проинтегрировав уравнение движения — Л + (с — — ы~~ в = — агвг + Р сов(ыг) (и) у д у при указанных начальных условиях. При выполнении условия ш ) (сд/Р) (случай достаточно большой угловой скорости вращения стержня или достаточно "слабой" пружины) решение этого линейного дифференциального уравнения имеет вид во ско ение равно гв, = 2угв, отсюда Ф, = 2тачгв. Составляющие и р е им силы инерции показаны точки, а т М акже соответствующие им силы ин на рис, 8.

Уравнение (15) запишется в виде в ~ + Ф + Ф„где ное авнение на оси подвижной сисСпроецируем это векторное уравнен темы координат: (Р/д)й = Рсозу — св+ (Р/у)(а+ в)рг, 0 = — Рв1п~р+ Ф вЂ” (Р/д)(а+ в) р — 2(Р/д)фв. ь ифференциальное е пол ченной системы есть д фф р Первое уравнение полу ия г за вдоль стержня. роинтег можно найти зависимость в(г), Второе уравнение с 1 ~'су — 2р,„г 21 сд — Рыг с — 2» гс) Ру Рагвг + г сов(ыг) + сд — 2р,~г сд — Рьгг л= су Р (совягг — совиг) + сд — 2риг (17) Равг су + (1 — сов Лгг) сд — Рмг В этом случае движение груза будет происходить в ограниченнои окрестности его первоначального положения.

В этом случае груз с течением времени достаточно далеко уходит от первоначального положения. При выполнении неравенства противоположного знака полу- чим где 1У вЂ” реакция стержня ВС, Фс, = Фс, + Фс, Фс„— - та р, Фс — — та~р, о ° 2 з1 ' з — у+~с — — и )з= — аы . У У У с — ы зо = аь~ У У откуда з(г) = за+ С1 зшЛ1г+СзсозЛ1~, Задание 2. откуда будем иметь тю„= Ф+ ту+ Фс„ 31: Пусть теперь вся система располагается в горизонтальной плоскости, а стержень по-прежнему совершает равномерное вращение по закону у = ьп'. Уравнение относительного движения груза будет иметь вид (16), в котором исключено слагаемое, содержащее силу тяжести Если пружина достаточно жесткая ((сд7Р) > оР ), то существует положение относительного равновесия груза, которое определяем как частное решение з = зо — — сопзз уравнения (16): Р г 80 = сд — Риз Другие движения груза представляют собой колебания в окрестности этого равновесия: где С1 и Сз — произвольные постоянные, а Л1 задается согласно его выражению в (17).

Рассмотрим механическую систему, описанную в задании 1. Полагая массу груза С равной т, написать уравнения его движения относительно подвижной системы но- ординат У'. Фунниию ~р = ~р(г) считать известной. Так как система координат оо движется поступательно, то кориолисова сила инерции груза равна нулю и уравнение его относительного движения принимает вид а компоненты относительного ускорения точки С определены ра- венствами (13). Рис. 9. Относительное движение груза С при, поступательном движении подвижной системы координат Проецируя векторное уравнение на оси, перпендикулярную стержню ВС и параллельную стержню (см.

рис. 9), получим уравнения тю' = — тузшд — Фс зш(д — ~р) + Фс соз(д — ~р), с„ 4 тюс = М вЂ” тдсозд — Фс соз(д — у) — Фс з1п(д — у), 'од = — у зш д — а ((о з1п(д — у) — <рз соз(д — ~р)), тодз = Ф вЂ” ту соя д — та (~рсоз(д — ~р) + фз з1п(д — у)) . Снова, как и в предыдущем примере, первое уравнение является основным и определяет закон относительного движения точки С, второе уравнение служит для определения модуля реакции стержня.

1 йьз = — ~ тать. (21) я=1 М йо = — у тьйгн тычь = Рь + Рь, (е) (1) Й =1,2,,Ж, (22) системы И Р(~) ~ Р(е) д Р(в) аг 23 22 Механической системой или просто системой назййаетвя выдеЛЕННая КаКИМ-ЛИбО ОбраЗОМ СОВОКуПНОСтЬ МатЕрнаПВВЮЬ:у44асх,' Рассмотрим движение механической системы,, соотбяуцйййз точек Рь (Й = 1, 2, °, Л) . Пусть ть — масса точки'.:Рь,; гь, -:- ее радиус-вектор относительно некоторой неподвижной тч йкп„обозначим через Рь и Рь равнодействующие плеща 'ц'-Вйу(реп"(е) "(1) них сил системы, приложенных к точке Рь . Под внешними силами системы понимают силй„:.действующие на точки данной системы со стороны материальных"-'тоцед, не входящих в систему.

Внутренние силы есть силы взаимоде$сжаяя между самими точками Рь, образующими систему. Дифференциальные уравнения движения системы.материальных точек представляют собой совокупность Ф уравнений движения каждой точки системы, записанных в форме второнг закона Ньютона: где гбь — ускорение точки Рь.

В большинстве случаев интегрирование системы (19) .невозможно, особенно если число уравнений велико. На практик)е, однако, часто достаточно знать не движение каждой точки. сйртемы, а изменение со временем некоторых динамических харйкстврвствк, общих для всей системы. В данном разделе вводятся три основные динамическФе Величины механической системы — количество движения,. кииятЮЧеский момент и кинетическая энергия — и формулируютвд' теоремы об изменении этих величин, составляющие три основййц'Морамь( динамики.

П. 1. Теоремы об изменении количества движения системы и о движении центра масс Центром масс С механической системы называется геометрическая точка пространства, положение которой определяется ради- :Ф ''ф ус-вектором .4$ М И го = — ~ тьгтн М = ~ ~ть. (20) ьп ь=1 '%: Скорость и ускорение центра масс можно получить, вычислив, соответственно, первую и вторую производные по времени от левой и правой частей (20): Количеством движения (импульсом) д материальной точки называется произведение массы т точки на ее скорость и.

Количеством движения Я механической системы называется сумма импульсов точек системы Из этого определения и первого равенства (21) следует, что т. е. количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс. Теорема 1 (теорема об изменении количества движения). Производная но времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил Мзбс — ХР(л) (23) Хр = О, Ур = — Жр, Хр = О, Задание 3. Учитывая соотношение (22), теорему об изменез)ВОВ';ВХ)ддйвства движения можно сформулировать иначе.

теорема 2 (теорема о движении центра маке)))э Х(лндр масс системы С деижетсн так, как деигалась Вью",фаФафйльнал точка, масса которой раенллась бы массе систем~~'":Ы~д.действием силы, равной главному вектору всех енеизнйв С~':Фиатами Если главный вектор гз') внешних сил равен дулдл Жо вектор количества движения системы и вектор скорости,;цайтра масс сохраняются: Я = сонэ|, иС = сопэС. Если проекция главного вектора внешних сил на Некоторую неподвижную ось и равна нулю, то проекция вектора кошшества движения системы, а также проекция вектора скоростд центра масс системы на эту ось сохраняется: 9и = сопэб, ис„ = сопэ$. Пусть массы тел 1 — б системы; оииспяной е задании Х /рис. б), равны соответстегнно ты тз, ..., тэ.

Снитиал у(1) и ВЯ заданными уэункцилми времени, определить' 'реакцию шарнира А. К внешним силам, действующим на данную механическую систему, относятся силы тяжести т1 д,..., тэд', пара сил с моментом Мз„р и реакция Х1л шарнира А. 1 Обозначим через К и Х центры масс стержней АВ и ВС При повороте диска 2 (рис. б) на угол р в спиральной пружине возникает восстанавливающий крутящий момент, в области упругой деформации пропорциональный углу поворота ээ: Мзер — — -ср, Еокэффициевт с в данном случае называется коэффиииентаом жеетнаепщ нри кручении и определяется величиной кругящего момента, необходимого для закручивания пружины на 1 радиан.

соответственно. По теореме о движении центра масс будем иметь к-~э Мщс — ~тзэар + ™эщк + тезель + тэиэс~ М = л' . тэ' 2 1=1 Здесь учтено, что центр масс А диска 2 неподвижен, поэтому ээл = 0. В проекциях на неподвижные оси АХ, АУ тзХР + тзХк + теХР + тэХс = Влл, т1 УР+тз Ук+те1Р+те Ус = Х1л„— Мд, Так как груз Х) движется по вертикали и нить по диску не скользит,то Проекции ускорения точки С определяются формулами (10). Вычисление ускорений точек К и Х проводится аналогично тому, как это было сделано для точек В и С.