Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 4

Поэтому проекции ускорений точек К и Х определяются формулами (б) и (10), в которых сделана соответственно замена а на а/2 и Ь на Ь/2. Выполняя подстановку, перепишем (23) в виде — Итз/2) + т4 + тэ! а (эш 1э уз + соз ~р эЬ~) + + ((т4/2) + тэ) Ь (сов В В эшВ Вз) — Х лл (24) — т, В уз + ((тз/2) + те + тэ) а (соэ ~р у) — эш <р ср~) + + ((т4/2) + тэ) Ь (эш В В + соэ В В~) + Мд = Хсл, ЗАмечАние. При выполнении задания предполагалось, что функции у(е) и В(1) известны, поэтому полученные равенства (24) определяют зависисимость реакции шарнира А от времени.

Сами же функции (з(1) и ь(() могут быть найдены в результате решения"диффяреицяаль- иых уравнений движения системы. П. 2. ТоарЕМа Об ИЗМЕНЕНИИ КИНЕтИЧЕСилар(З ЬлНМйита системы Пусть Π— какая-либо точка пространства (данае бУдеМ называть ее центром), неподвижная или совершающая произвольное движение.

Моментам Ка количества движения (кинетическилл моментом) материальной точки относительно центра:О, называется векторное произведение радиус-вектара р этой..тойни'на,ее импульс тб: Ко = г х тб. Главнььм моментом количеств движения (канетичес(вим моменгпом) механической системы относительно центра О''назьгвается векторная величина Ка, равная геометрической 'сумме моментов количеств движения всех точек системы'относительно того же центра: Ф Кр = ~ за х тьбь. ь=з Из определения следует, чта для системы, движущейся цаступательна, модуль вектора кинетического момента равен произведению модуля вектора Я = Мйа количества движения систеыы (прилаженного в центре масс) на плеча, т.е.

кратчайшее.расстояние от центра О до линии действия вектора ч. Аналогична вычисляется момент количества движения материальной точки.' Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОЯ, проекция, Ка. вектора кинетического момента на ась вращения„вычисляется па формуле (ь) — Ко = Мо + Мйа х йо, ~Й И где Ма —— з гь х Рь — главный момент внешниг сил системы - (з) ъ ~ т(е) ь=1 относительна центра О, йа — скорость центра О.

Если точка О неподвижна или является центром масс системы, та второе слагаемое в левой части этого равенства обращается в нуль. В этом случае справедливы следующие теоремы: Теорема 4. Производная по времени ат вектора кинетического момента системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешниг сил системы относительно тога же центра: й ~ К = М(в). (26) Теорема 5. Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно ее центра масс равна главному моменту внешних сил системы относительно центра масс; () Й (27) Можно показать, чта абсолютный кинетический момент Ксл в левой части уравнения (27) может быть заменен на равный ему И относительный кинетический момент Ксз„=- ~ гь х тьйь,, сися=1 темы в ее движении относительно центра масс.

Под движением системы относительно центра масс понимается движение точек где lа — — момент инерции тела относительно аси вращения, ы — угловая скорость вращения. Теорема 3. Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительна подвижно~о центра О определяется выражением 26 27 Сг — — С (ь) г ,(1 г = АЕ.тзос, + АЕ. тзис. ос, = ЬВ. ис, = а~р, Отсюда Задание 4. 5 Сг — "КА =М ). г Аг' Аг = Аг + Аг + Аг + Аг' (1) (2) (3) (з) (з) тза 2 КА = Ъ~з= — ф 3 28 системы относительно кениеовой системы коордицз1В(Ь'::жступательно движущейся системы координат с началом':2)(,цйнтрв масс системы. Если система представляет собой твердое таИО,'драЩающееся вокруг неподвижной оси ОЯ, то из уравнения (26)дочитывая (25), получаем дифференциальное уравнение враи(ения,тФцрдояо тела вокруг неподвижной оси: Из уравнения (26) следует, что если главныймомйнФ гмс' впеш.ъ(г) них сил относительно неподвижного центра О йлй его проекция Мог на некоторую неподвижную ось ОУ равны нулю,' зо вектор кинетического момента Кс или его проекция Кс на зту ось сохраняются: Кс = сопз1 или Кс = сопя(.

Аналогичный следствия получаем из уравнения (27) для случаев Мс' — 0 илн Мс, = О. () В системе, описанной в задании 3; считать стержень ВС невесомым (тв = О),, а В,= В(() — заданной функцией времени,, Составить дифференци Аьное уравнение врач(ательноео движения системы вокруг оси.АЯ, Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси АЯ; Здесь КА — кинетический момент системы, равный сумме;кинетических моментов входящих в систему тел (см, рис, 3) ' Вычислим кинетические моменты КА, КА грузов Ю и С (2) (з) как моменты их количеств движения относительно оси АЛ', Для величины КА имеем (г) КА — — т2исК = тдВ~~р. (2) При вычислении К учтем, что точка С совершает сложное (в) г движение. Выберем в качестве подвижной систему координат У' (см.

задание 1), тогда получим (рис. 10) КА = МАг(тзос) МАг(тзис,) + МАг(теис„) = (з) где АЕ = а+ Ь вш( — ~р), АГ = аз(п( — (о) + Ь, К( ) = тз [а~ф+ Ь В + аЬ ((Ь+ В) в(п( — ~р)~ . Рис. 10. Вычисление кинетического момента системы Диск 2 и стержень АВ вращаются вокруг неподвижной гори- зонтапьной оси АЯ'. Следовательно, (2) тзЛ2, КА = Ъ"2= — — А Аг 2 + пгз <а згп(д — »р) + Ь) Ьд. перепишем его так: И окончательно Пусть, в частности, д = де .— — сопз$. — тзаЬ у~соя(де -' »р) =- (29) (31) 30 Здесь Уг = тгВ~/2 и,7з = тза~/3 — моменты инерции однородного диска и однородного стержня АВ относительно оси врщпения АЯ.

Окончательно находим к, = <(,»- — )»»»- — + ю! -~»»~э: рз)»»~ пгг1 г пгз г г 2/ 3 Главный момент внешних сил относительно оси АЯ .равен тз Мя = глггс — — асов»р — глз (а соз»р + Ь з1п д) у — с»р. 2 Дифференцируя затем величину КА по времени, можно получить требуемое уравнение вида (28); в общем случае приводить его не будем.

Тогда уравнение вращательного движения системы относительно оси АЯ принимает вид тз »»- — » - < ° » +» ьь)]и- 1» 2 Упростим задачу еще более, полагая, что щз ."р О '(стержень ВС и груз С отсутствуют). Уравнение (29) перепйигщетсд в.виде ! огг'1 г глз г1 .. лгз пг»+ — ( В + — а ~ »р = пггуй — — уасоз»р-',с»р. (30) 2,) 3 2' Найдем из этого уравнения зависимость»р(»р), полагая, что р(о) = ь(о) = о.

Перейдем в уравнении (30) к новой независимой переменной»р. Умножим обе части уравнения на»йр и, учитывая, что »1, ~~, 0~о, А, 1»Ь г,г1 1(/ ~~21 г щз г1 г / ™3 — ~~т» + — ~ В + — а ~ Йр = ~т1уЯ вЂ” — уасозр — с»р гЬр. Интегрируя с учетом начальных условий, находим ( г~ г ™3 г~ .г ~~э . 1 г — гп1+ — В + — а»р = тп;уйр — — давшая — — с»р . П. 3. Теорема об изменении кинетической энергии системьх Кинетическая энергия материальной точки равна ' Кинетическая энергия системы материальных точек вычисля- ется по формуле »ч Т = — ~~~ глье~„..

2 ь=г Для твердого тела, совершающего поступательное:,движение, имеет место формула 1 Т = — Мо~~, где М вЂ” масса тела, оп — скорость его центра масс тэ'. Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ьт, то Т = — Моо+ -уды . 2 1 2 2 2 (33) Здесь Уо — момент инерции тела относительно оси, перпенди- кулярной плоскости движения и проходящей через центр масс С тель.

Элементарной работой ттА силы Р нь перемещении атгт точки называют скалярное произведение б'А =. (Г, бг) =. Рдг .. (6, бг). Если система находится в поле тяжести, то элементарная работа всех сил тяжести, приложенных к системе, райна ~~, и'Аь(тьу) = -МддЕтт, у 2 1 (32) где l — момент инерции тела относительно оси вращения, При вычислении кинетической энергии систе2гы'может быть использована Теорема Кенига. Кинетическая энергия систпемы равна сумме кинетической энергии, котпорую бы имела материальная тон; ка, расположенная в иентпре масс сисп1емы и имею2цая массу, равную массе системы, и кинетической энергии двихеения системы относительно центра масс. В случае плоскопараллельного движения твердого тела массы М на основании этой теоремы получим формулу где Уст — аппликата центра масс системы.

Полная работа сил тяжести за конечное время определяется ра- венством ,'" А,(тьу) = -Му(г — гев). (34) Если к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси ОЯ, приложена нара сил с моментом М, то элементарная работа пары сил при повороте тела нь угол вйр равна а'А(М) = Мидер. А(М) = / Мятйр, (35) Теорема 6 (теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме). Изменение кинетической энергии систпемы при переходе ее иэ начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемеи4ении всех внетаних и внутпренних сил, приложенных к точкам системы; Т2 — Т1 — — А1"д + А('), где А1') = ~ ~А(Р~('~), А1П = ~,АЯ"~).

Ь=1 я=1 Теорема Т (теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме). Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внетаних и внутренних сил системы: МТ = а'А1'1 + а'А(П Полная работа пары сил за конечное время при повороте тела на угол р — ~оо вычисляется по формуле Задание 5. д'АОО = ~ И'А (Р~О) . ь=1 где И'АОО = ~ ~Н'А (Г~'~), Тз — Т1 — — АОО + А!'>. постоянна. Если система состоит из абсолютно твердых тел,' соединенных идеальными нитями, и при этом в системе отсутствуют внутренние силы трения, то работа внутренних сил равна'нулю Пусть силы Гь = 1Рь., Рь„, Ггь), прилаженный.к системе материальных точек, зависят только от координат хя, уя,гь этих точек и времени.