Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 8

Приравняем к нулю суммарную работу активных сил и сил инерции на рассматриваемом перемещении: — — + тв дбв1пд — — + тв б~д + + ~ — + тв~ (<р~сов(д — ~о) — фвш(д — ~о)1а6~ дд = О. 2 Сокращая это равенство на ббд, получим второе уравнение сис- темы Здесь д1, ..., д„— обобщенные координаты, дз, ..., 4, (д; = фц/й) — обобщенные скорости, Т вЂ” кинетическая энергия системы, записанная как функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, Я; — обобщенные силы, отвечающие обобщенным координатам. Уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат.

Интегрирование этих уравнений позволяет определить обобщенные координаты как функции времени и 2в произвольных постоянных. Если заданные силы потенциальны, то уравнения Лагранжа можно записать в виде — + тв бд+ /тв — ~ — + тв двшд. 'з, 2 Уравнения (63) и (64) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающих движения рассматриваемой механической системы. П1. 5.

Уравнения Лагранжа второго рода Движение голономной системы с идеальными связями можно опи- сать с помощью уравнений Лагранжа второго рода: И /дТ~ дТ вЂ” ~ —,~ — — =Я и=1,2,...,а. где Ь = Т вЂ” П вЂ” функция Лаграпжа (лагранжиан, кинетический потенциал), равнвл разности кинетической и потенциальной энергии системы. Если часть активных сил системы потенциальна с потенпиалом П, а часть непотенциальна, то уравнения Лагранжа можно записать в смешанном вице: с~ дЪ1 дЬ (67) ~й ддз~ дд; где Ь = Т вЂ” П, а ЯЗ вЂ” часть обобщенной силы, отвечающей непотенциальным силам. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат ды..., д„; при другом выборе обобщенных координат изменятся толысо функции Т и Я; (или П), форма же уравнений (65), (66) и (67) остается неизменной.

Достоинство уравнений Лагранжа заключается в том, что в них не входят реакции идеальных связей. Если по условию задачи эти реакции требуется найти, то, определив с помощью уравнений Лагранжа зависимости д1(г), ..., д„(г), вычислим затем при шенных скоростей, (69) иинаичесним интеграиз начальных условий. 1= 1,2,...,к.

тз.з Тз = — хз 2 (68) помощи соотношений 153) радиус-векторы гь = гя(~); далее для определения реакции Яь, приложенной к точке Рь, воспользуемся уравнением ггь = тегь Ря ( гь, гы Г), или одной из общих теорем механики, или методом кинетостатики.

П1. 6. Первые интегралы уравнений движения Интегралом уравнений двихсения называется такая функция вре- мени, координат и скоростей точек, которая при движении механи- ческой системы сохраняет постоянное значение, определяемое на- чальными условиями: Л(*1 хг,*н, хм хз,..., ху, г) = с,, Интегралы уравнений движения, содержащие скорости точек, называются первыми интегралами. Из уравнений Лагранжа второго рода можно, в частности, получить циклический интеграл, интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии. Ш.

6, 1. Циклический интеграл Обобщенная координата дб называется иинличесной, если она не входит явным образом в функцию Лагранжа системы: дЬ вЂ” = О. двр. Следовательно, уравнение Лагранжа (66) для циклической ко ординаты д принимает вид Это уравнение допускает очевидный первый интеграл: дХ, дд3 — =. с = сопМ или, учитывая, что потенциальная энергия П не зависит от обоб- дТ вЂ” = с = сопзФ, дат Соотношение (68) или (69) называется лом.

Здесь с, — постоянная, определяемая Пример 7, (2) Система состоит из двух одинаковых катков 1 и 2 радиусом В каждый, на которые положена доска 3. Катки могут катиться без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Скольжение доски по каткам также отсутствует. Массы катков т1 — — тз, масса доски равна тз . Катки представляют собой сплошные однородные цилиндры (рис. 27). Рис. 27. Доска, положенная на катки Рассматриваемая система имеет одну степень свободы.

Выберем в качестве обобщенной координату хз, определяющую положение доски. Кинетическая энергия доски Кинетическая энергия каждого катка, согласно формуле (33), равна т1 з 1 г Т, = Тз = — иА+ —,7яыы 2 2 где ея йз Я 2П' ек, йз вА = 2 2' жет быть представлена в виде 7А = 7Р1 2 (73) Т = Тз + Т1 + То, Отсюда где Т„= ~Ь,д,, с=1 Тз = — ~ аб4,~0 2.. а,1=1 1 То = -с. 2 Зт,1 +4шз .з т= 8 йз. дТ Зшз + 4тз, зз = сопзс дйз 4 (70) йз = вз,. Т = Тз — — ~~~ аб4;д. (72) (74) Т + П = сопзс. дгь ~ дгь . гь = +2 — %.

дг ~дд; ' 70 Ь Т1 = — пззв 32 а кинетическая энергия системы Так как дТ(дхз = О, потенциальная энергия сил тяжести системы постоянна> а непотенциальные силы (нормальные реакции и силы трения в точках контактов) работу не совершают, то координата вз — циклическая, а соотношение является циклическим интегралом. Бели в начальный момент йз, = вз„ то интеграл (70) примет вид Ш. 6. 2. Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии Кинетическая энергия системы материальных точек вычисляется по формуле т= ~ (71) я=1 в которой скорости гь точек при помощи формул (53) могут быть выражены в виде функций от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: Из (71) и (72) следует, что кинетическая энергия системы мо- Здесь Тэ — это часть кинетической энергии, квадратичная по обобщенным скоростям, Т1 — часть, линейная по обобщенным скоростям, и То — часть, не содержащая обобщенных скоростей.

Величины ау, 6,, с суть функции обобщенных координат и времени, их явный вид легко получить из (71) и (72), и здесь он не выписывается. Пусть наложенные на систему связи склерономны, тогда обобщенные координаты можно выбрать так, что соотношения (53) не зависят явно от времени: дг' — =О, э=1,...,Ф. дФ В этом случае Т1 = Те = О и кинетическая энергия будет олнород ной формой обобщенных скоростей: Пусть а) все связи, наложенные на систему, — склерономны, б) все действующие на систему силы.— потенциальны, в) потенциал не зависит явно от времени, Система, удовлетворяющая этим трем условиям, называется вонсервагаивноп, Консервативная система обладает интегралом энергии Пример 8.

Рассмотрим систему, приведенную в примере 6. Сила тяжести и упругая сила пружины являются потенциальными силами, причем потенциал (60) не зависит явно от времени. Связи, наложенные на систему, — стационарны. Следовательно, данная механическая система консервативна и имеет место интеграл энергии (77) (76) ' и ее потенциальная энергия свг П=— 2 Предположим, что а) все силы, действующие на систему, потенциальны; б) функция Лагранжа Ь не зависит явно от времени, но в) система не является склерономной. Тогда кинетическая энергия системы выражается в общем виде (73) (но времени явно не содержит). И этом случае имеет место равенство (76) Тг — То+ П = сопзг.

(И 1 сзг П = — ~ — + Р(а+ в)~ сов(ыг) +— 2 Это соотношение представляет собой первый интеграл уравнений Лагранжа, но оно не выражает закона сохранения энергии. Этот интеграл носит название интеграла Якоби или обобщенного интеграла энергии. Интеграл энергии (74) вытекает из интеграла (76), так как для склерономной системы всегда Те = О, а Т = Тг . Системы, обладающие интегралом Якоби, называются обобщенноо- консерв атив ными. Пример 9. Щ Пусть система, описанная в примере 6, расположена в горизонтальной плоскости.

Пусть, кроме того, стержень ОА вращается равномерно, то есть Сэз Т+П = ~~ фз+ Р((а+8)гфг+82 бд 2д ~С6 ' 1 с82 ~ — + Р(а + 8)~ сов р+ — = сопвь. ~ 2 1 2 Здесь интеграл энергии (74) отсутствует, так как на систему на- ложена нестационарная связь Однако кинетическая энергия системы ~агг Т = Т2+ ТО Т2 — 8 ТΠ— 1 + (а+8) ~ ю 2д ' ~ бд 2д не содержат явно времени 2. Поэтому в данном случае имеет место интеграл Якоби Р г бег Р г г свз — 8 — — + — (а+ 8) ы + — = сопвФ. 2д ~ бд 2д ~ 2 ЗАмвчАнив.

Если данная механическая система расположена в вертикальной плоскости и, кроме того, имеет место условие (77), то тогда явно зависит от времени. Следовательно, в этом случае какой-либо ин- теграл энергии отсутствует. АП. 7. Составггение уравнений Лагранжа Схему составления уравнений Лагранжа проиллюстрируем на примере механической системы, изображенной на рис. Ь. Задание 8. Составить дифференциальные нин движения системы, описанно гадания 3, Т(4) 1"14од + 41о4 2 2 (79) (80) Пг 1 ()в = — ( — + тв дбвгпд. (81) 75 1. Определение механической системы, анализ связей, перечисление сил, совершающих работу.

Данная механическая система состоит из груза 1, диска 2, стержня 3, стержня 4, материальной точки 5. На систему наложены идеальные связи: шарниры А и В, перастяжимея нить, отсутствие скольжения между нитью и диском 2. Активные силы, действующие на систему: силы тяжести т1д, тгд, тзд, тпвд, пгвд, пара сил с моментом М, р — — -с(о, 11. Выбор обобщенных координат, определение числа степеней свободы.

Рассматриваемая система является голономной с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать углы 1р и д. Уравнения Лагранжа (65) рассматриваемой системы имеют вид П1, Вычисление кинетической энергии системь1. При вьгчислении кинетической энергии системь1 рассматривается действительное движение системы, вызванное заданнь1ми силами, Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему: Т Т(Ц + Т(г) + Т(з) + Т(4) + Т(в) причем Т(1), Т(2), Т(з) вычислены нами ранее и определяются формулами (37) и (38). Кинетическую энергию груза С вычислим, используя формулы (31) и (9): Т( ) = — = — (а 46 + Ь д + 2аЬрдвгп(д — (о)~ .