Т.В. Руденко, О.В. Холостова - Исследование движений голономных механических систем, страница 10

Пусть, например, на систему действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости С . Тогда вместо уравнения (88) следует рассматривать уравнение вида В случае малой силы трения (к < ы) решение уравнения (90) имеет вид (С2 и Сз — произвольные постоянные) Я2) = е "«(Сгя1пм22+Сзсозю22), о~2 = ~/~2 — кз, а движение системы представляет собой затухающие колебания (рис. 28): приближаясь (при 2 -+ оо ) к состоянию равновесия, сис- тема будет проходить через него бесконечное число раз. Рнс. 28.

Затухазощие колебания в случае малой силы трения В случае болыпой силы трения (к > ы) решение уравнения (90) имеет вид Рнс. 29. Апериодическое лвижение в случае больших значений коэффициента трения Система совершает апериодическое затухающее движение„асимптотнчески приближающееся. к положению равновесия. В зависимости от начальных условий график зависимости (91) имеет один из показанных на рис, 29.видов (взят, случай со > О; при со < 0 характер графиков не изменится).

А+Лд;=О, 1=1,...,п. д; = С; з|п(ы;г + сч), (92) ~; = ~~ „~ц;д;, г = 1,..., и, п П= -Х;Лд2, Л; > О. 2. с=г 84 Вернемся к рассмотрению консигвлтивной мвхлничвской систвмы с и ствпннями своводы. Пусть положение (85) является устойчивым равновесием системы.

В его окрестности разложение потенциальной энергии системы определяется формулой (86), а разложение кинетической энергии имеет вид Здесь а' — первые члены разложений коэффициентов а;.(9) е о ч Й<'6~ 9(у "9)=ау(9 "у)+Е~~ ~ 6+ . в=1 уу о Таким образом, функция Лагранжа рассматриваемой системы принимает вид (адднтивную постоянную — П(91о,...,де) отбросим) авдее 13=1 а уравнения Лагранжа запишутся так: Х~,(а;Д+сЩ) =О, г=1,...,п. Существует линейное преобразование переменных приводящее функции Т и П к суммам квадратов Величины Л; удовлетворяют уравнению частот (или вековому уравнению) Нег( — ао Л + се.) = О.

(93) Координаты о„. называются главными (или нормальнььми). В нормальных координатах уравнения малых колебаний запишутся в виде и не связанных между собой уравнений Решение каждого из этих уравнений представляет собой гармони- ческие колебания (С; 'и ен — произвольные постоянные, опреде- ляемые нз начальных условий) происходящие с частотой ш; = ~/Лз .

Отсюда решение системы (92) имеет вид В системе, описанной в задании 3, считать, что стержень ВС и груз С отсутствуют (тв —— ть = О). Найти положения равновесия системы, исследовать ие устойчивость. Выписать уравнение маями колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия и определить период малых колебаний, При условии т4 —— ть —— 0 получим систему с одной степенью свободы с обобщенной координатой' ~р. В силу (81) и (82) потенциальная энергия системы примет вид .1 з тз П = — т1уя+ с9 + - с1в + уаз1п Р, 2 а уравнение движения перепишется так: ! ~~М г тз 2) ..

тз тг + — ) В + — а ~ ~р = тп,у — — дасоыр — с~о. (94) 2 ) 3 ~ 2 Положения равновесия системы определяются из условия ИП тз — = — тгдВ+ су + — уасозу = О, 2 (95) Несложный анализ показывает, что при с ф О это уравнение имеет хотя бы одно решение, Пусть ~р = его — одно из решений уравнения (95). Условие устойчивости этого положения равновесия записывается в виде неравенства < й П"1 тз — = с — — дазшьго > О И~О 2 (96) совр = сов(тро+ с) = сововсов — ьйп розш Если неравенство (96) выполняется с противоположным знаком, то при ьг = ро функция П имеет максимум, и на основании второй теоремы Ляпунова положение равновесия неустойчиво. Пусть условие устойчивости (96) выполняется.

Рассмотрим малые колебания в окрестности положения ут = ~ро. Уравнение малых колебаний в виде (87) можно получить, используя описанный выше общий алгоритм. С другой стороны, можно воспользоваться уже известным уравнением движения (94) и линеаризовать его в окрестности решения ~р = уе . Положим у = угс+с, считая с малой величиной. Тогда ф — — с, 3 (2с — тазу а зш 'ро) ~+ 3(2тг + тпг)Вг + 2тзаг Обозначим положительный коэффициент при с в этом уравнении через ьтг . Общее решение уравнения имеет вид (89).

Период малых колебаний равен 2т т = — = 2я Ю Рассмотретпь полную систему, описанную в задании 3. Найти положения равновесия систпемы, исследоватпь ие устойчивостпь и получить уравнения малые колебаний в окрестностпи устойчивого полоэсения равновесия. Положения равновесия изучаемой механической системы, со- 1 гласно (84), определяются из уравнений дП /тз —:тгуВ+ суг+ С вЂ” + тп4+ тпз дасозьг = О, ду (,2 (97) дП Гтпв — ~ — +.тз .уЬтйпд = О. дд При с ~ О первое из этих уравнений имеет хотя бы одно решение ут = уто., если же с =- О (пружина отсутствует), то это уравнение сводится к — сову>о — С вшьгз+..., (98) и имеет решения при условии где многоточием обозначены слагаемые выше первой степени от- носительно с.

Уравнение (94) с учетом условия (95) принимает вид с тэй 2 ™3 2 " тз тг+ — )В+ — ~~= — уаз В~- ~ 2) 3 ~ 2 2т1 В соз ьг = (тз+ 2т4+ 2тз) а 2т1 В < 1. (тпз + 2т4+ 2тз) а При выполнении условия (100) ( те с — — + т4+ тз даз1пус > 0 ~, 2 с П (101) 1/т4 2 /( + тз~) 9Ь 42 + 2(, 2 (дд) 1 /т4 + 2~2+™) Ь~+" Второе уравнение (97) имеет решения до — — 0 и до = т, отвечающие нижнему и верхнему положениям стержня ВС (рис. 30). Решим вопрос об устойчивости положений равновесия системы исследуя квадратичную часть разложения функции петенциальной энергии в их окрестности. Положим 61 — — ~р — ро, 6 = д — до .

У~ У 11 С ! ! В В 1 Рис. 30. Положения равновесия: а — ~р .= 1ро, д = 0; б — ~о=~от 9=7Г Вычислим вторые производные от функции П(у, д) по переменным 1р, д: дзП /тз с11 ' с + т4+ тз а981пзР д1оз (, 2 1 дзП дзП /т4 сгз = — — — О, сзз = — =- ~ — + т«Ьдсозд. дддр ' ддз 1, 2 В окрестности решения ~р = уо, до = 0 потенциальны энергия имеет вид (аддитивнея постоянная отброшена) — + "л4 + глз 9а зп1'РО 11 + квадратичная часть разложения функции П является определенно- положительной,,поэтому в рассматриваемом положении равновесия функция П имеет минимум, и, на основании теоремы ЛагранжаЛирихле, это положение равновесия устойчиво. При выполнении неравенства противоположного знака функция П в окрестности'положения равновесия ~р = 1ро, до — — 0 знакопеременна, и на основании первой теоремы Ляпунова это положение равновесия н,устойчиво. Рассмотрим теперь положение равновесия у = до, до = т.

В его окрестности имеем П = — с — — + т4+ тз 9аз1п~о~ ~ При выполнении неравенства (100) функция П в (101) знакопеременна, а при выполнении неравенства противоположного знака является определенно-отрицательной (т.е. имеет максимум в положении равновесия). Таким образом, на основании теорем Ляпунова заключаем, что при верхнем вертикальном положении стержня ВС положение равновесия системы всегда неустойчиво.

Пусть выполняется условие (100) и положение равновесия 1О = ~ро, до — — 0 устойчиво. Исследуем малые колебания в его окрестности. Согласно (79) коэффициенты а; равны а11 — т1 + — В~ + — + т4 + тз а12 = ~ — + тз~ аЬзш(д —,.22), .: ахя = ~ —. + тз) Ь 4 сов1оо = —, д =О Кроме того, в1п ~ро < О. сзз = — + тв у5.

о а С,з — — 03 т4 — ( — + тв аЬ 51п 1со~з + /т4 + ( — +тв д66 = 0 ~, 2 к виду 3- зу -6+-6+--6 = О, 2 2 4В (103) 104и — 100 — и + 15 — = О. д з д В Вз Коээффициенты а11, азз являются постоянными величинами, поо о Этому а11 = а11, азз = азз, а о /т4 агз = агз( = — ~ — + тв адвгп~ро. 'Р=<ро~ 1, 2 о 1тв с11 — с — — + т4 + тб даетрос Уравнения малых колебаний примут вид т1+ В + + т4+ 1115 а с1 + Гтз + с — ~ — +т4+ тв уав1п~ро ~1 = О, (102) — — +.

тв) а551п~ро6+ ( — + тв) 5 6 + 2 ) 1,3 Для упрощения вычислений рассмотрим частную задачу: пусть пружина отсутствует (с = 0) и, кроме того, 5 тз=тз=т4=0, тв=-т1, а=6=2В. 8 В этом случае уравнение (98) для определения равновесного значения угла 4о = гро примет вид а усговие (100) его устойчивости— 4 Таким .образом, положение равновесия 1ро = — агссов — до 5' 0 (рис. 31) является устойчивым, а положение равновесия 1со 4 агссов —, до.— — Π—,неустойчивым. 5' у~ ! 4 Рис. 31. Положение равновесия ~оо = — атосов-, д = 0 5' Уравнения (102) малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия при сделанных предположениях приводятся 3- 5- 5у 51+ чз+ сз '= О.

2 2 4В Запищем уравнение частот (93); Отсюда получим 25 — 1/235 у г 25 + у'235 у 52 Н' г 52 Н А с11 — а11нг (2) г пг = — 1 А(2) с1г — а12нг 1 А(') со†П1 —— - — — — —— 4(1) с12— 1 а11н1 2 21 аггн1 7 3 с12 — — О, аы = —, агг = —. 2 2 3 я сы = — —, 4Й' Решения системы уравнений (103) находим в виде С1 = А1 21п(и1$+ а1)+ А1 зш(нг(+ аг), (1) (г) . сг = Аг 21п(н12+ а1) + Аг яш(нгг+ аг) = (1) (2) = п1А1 егп(н12+ а1) + пгА1 21п(нгг+аз), (1) (г) где А' ', А' ', а1, аг — произвольные постоянные, определяе- (1) (2) мые из начальных условий, а величины п1, пг называются коэффициентами распределения и представляют собой отноп1ение амплитуд колебаний в каждом из главных колебаний: Коэффициенты сб н а9 в этих формулах определяем из уран пений (103): Библиографический список 1.

Задания для курсовых работ по динамике механических сис- тем: Учеб. пособие (' И.А. Галиуллин, В.В. Зайцев, В.К. За- родов и др. Под ред. О.В. Холостовой. — М.: Изд-во МАИ, 2005. — 128 с. 2. Составление уравнений и анализ на ЭВМ движения механн- ческих систем: Учеб. пособие / Н.Н. Безухова, В.К. Зародов, Н.Н. Крылова н др,; Под ред. В.К. Зародова. — М.: Изд-во МАИ, 1992.