гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 8

Нормаль к поверхности  проведена так, чтобы наблюдатель, находясь наконце вектора нормали, видел бы обход контура  , совершающимся в положительномнаправлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контуранаходилась бы «по левую руку»).zДоказательство теоремы Стокса.Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стоксасостоит из трех независимых частей (в силупроизвольности компонент векторного поля). Докажемодну из этих частей, остальные формулы доказываютсяy PPаналогично. Докажем  z dxdz  y dxdy    Pdx Dxчасть формулы Стокса, в которой содержится толькокомпонента P.Предположим,чтоповерхностьописываетсяуравнением z   x, y  . Тогда нормаль к поверхности37представляет собой вектор y x1n  cos  , cos  , cos    ,,222222x    y x    y x    y  111"Отсюда видно, что cos    y cos  .

Вспомним еще, что d cos   dxdz , d cos   dxdy . PP PP P  x, y  P  cos  d yy   z dxdz  y dxdy     z cos   y cos  d     z(на поверхности  z   x, y  , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y сучетом зависимости z от y на поверхности  )P( x, y,  ( x, y))Pdxdy   dxdy =  yyDИспользуем формулу Грина для области D с ее границей  .

Ее можно записать в виде QP   x  y dxdy   Pdx  Qdy . Нам понадобится только та ее часть, которая относится кDфункции PP  y dxdy   Pdx . Продолжаем равенство дальше.D=   P( x, y,  x, y )dx   P( x, y, z )dx .В самом деле, на контуре  z   x, y  , а переменные x, y на том и другом контуре те же,так как контур  - это проекция контура  на плоскость OXY (параллельно оси OZ).Одна из частей формулы Стокса доказана.Линейным интегралом векторного поля a по дуге L называется криволинейныйинтеграл  Pdx  Qdy  Rdz .LЛинейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.Ц  a    Pdx  Qdy  Rdz .Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» формеЦ  a   П rot a . Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор– это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определениеротора, которое не зависит от выбора системы координат.Инвариантное определение ротора.Рассмотрим произвольную точку M в области V.

Проведем через нее поверхность  ,границей которой служит контур  . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиямтеоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стоксаполучим     rota  nd  rota(M )  n M    Pdx  Qdy  Rdz . 38Здесь, как и ранее  - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения,стягивая контур  к точке M, получимrota M   n M   lim  M Pdx  Qdy  RdzЭто и есть инвариантное определение ротора.Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля(энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращениивокруг некоторого направления, определяемого вектором n M  ). Левая часть – это проекцияротора на это направление.Если направление n M  совпадает с направлением ротора и n M  - единичный вектор,то левая часть равна модулю ротора.

Поэтому модуль ротора векторного поля равенмаксимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления ироторавекторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление,вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью   Векторное поле линейной скорости v    r .ijkv   x  y  z  z y  y z i  x z  z x  j   y x  x y k ,xyzirotv xz y  y zjyx z  z xk 2 x i  2 y j  2 z k  2zy x  x yРанее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственнойкривой.

В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) кпункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x,y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогдаследующие четыре утверждения эквивалентны.1)  Pdx  Qdy  Rdz не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависитABтолько от начальной и конечной точек дуги.2) Для любого замкнутого контура   S  Pdx  Qdy  Rdz  03)Q P R Q P R,,x y y z z xx, y, z   S4) Pdx  Qdy  Rdz  dV ( x, y, z ), P дифференциал.VVV.,Q,RxyzV ( x, y, z ) -полный39Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле x2 , y 2 , z 2 x2 x1 , y1 , z1 x1y2z2 Pdx  Qdy  Rdz =  Px, y , z dx   Qx , y, z dy   Rx , y z dz , так как интеграл1121y122z1не зависит от формы дуги (пути интегрирования).Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также поформуле Ньютона – Лейбница x2 , y 2 , z 2  Pdx  Qdy  Rdz = V x , y2 x1 , y1 , z1 2, z 2   V x1 , y1 , z1  , где V x, y, z  - потенциал векторногополя ( a  gradV ).Потенциальное поле и его свойства.Векторное поле a (M ) называется потенциальным, если существует такое скалярноеполе V (M ) (потенциал векторного поля a (M ) ), что a (M ) = gradV (M ) .Замечание.

Если поле a (M ) - потенциально, то a (M )  dr = gradV  dr  dV - полныйдифференциал. Тогда Pdx  Qdy  Rdz  a  dr  dV - полный дифференциал. Поэтомусвойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы ополном дифференциале.Свойства потенциального поля.1. Линейный интеграл потенциального поля a  dr не зависит от формы дуги L =AB ,Lа зависит только от начальной и конечной точек дуги.В самом деле, a  dr =  gradV  dr   dV  V ( B)  V ( A) .LLL2. Циркуляция потенциального поля равна нулюПолагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем  a  dr = V ( A)  V ( A)  0L3.

Потенциальное поле является безвихревым, т.е. rota  0irota  rot ( gradV ) xVxjyVyk  2V  2V     2V  2V     2V  2V  i   j  k  0z  yz zy   zx xz  xy yx VzОператор Гамильтона40      Оператор Гамильтона    i j  k .yz  x     ijk  grad .xyzОператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно иливекторно умножить на векторное поле a M  . ijk P Q R a  diva  0,   a  rota.x y zx y zP Q RЭто дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторнымполями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взятьдивергенцию и ротор.Применим оператор Гамильтона к скалярному полю  Дифференциальные операции второго порядка.В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные ивекторные поля grad , rota, diva .К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.От скалярного поля diva можно взять градиент, получив векторное поле graddiva .От векторных полей grad , rota можно взять ротор и дивергенцию, получивскалярные поля div grad , div rota и векторные поля rot grad , rot rota .Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярныеполя div grad , div rota и векторные поля graddiva , rot grad , rot rota .Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е.

rot grad =0.Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. div rota =0.Доказательство. ijk   R Q    P R    Q P  i  krot a  j  x y z  y z   z x  x y P Q R  2 R  2Q  2 P  2 R  2Q  2 Pdiv rota = 0.xy xz yz yx zx zyТри остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, еслирассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычнымвекторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствахоператора «набла» выпуск 7 учебника.rot grad =          0 , div rota =     a      a  0      Известно соотношение a  b  c  b a  c   c a  b . Перенося это правила на действия соператором «набла», получим rot rota      a     a   a (  )  graddiva   2 a  graddiva  (div grad )a . 41222- оператор Лапласа (скаляр – оператор).x 2 y 2 z 2        222div grad  div i j  k   2  2  2   2 .yz  xyz x(div grad )a   2 Pi   2 Qj   2 Rk - произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор a .Здесь  2 Гармоническое поле.Скалярное поле  x, y, z  называется гармоническим, если 2    2  2  2 0 - уравнение Лапласа.x 2 y 2 z 2Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное ( a  grad ), а 2  2  2 0.x 2 y 2 z 2Теорема.

Для того, чтобы векторное поле a (M ) было гармоническим, необходимо идостаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.Необходимость. Если векторное поле a (M ) - гармоническое, то оно потенциальное,т.е. a  grad , тогда оно соленоидально, так как diva  div grad   2  0 .Достаточность. Если векторное поле a (M ) потенциальное, то a  grad . Так как оноеще и соленоидально, то 0 = diva  div grad   2 .

Следовательно, поле потенциально и егопотенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.потенциал  - гармоническое скалярное поле, т.е.  2 Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойствасоленоидального поля и свойства потенциального поля.42Часть 2. Числовые и функциональные рядыЛекция 10. Числовые ряды и их свойства.Числовой рядan 1n– это сумма бесконечного количества чисел, выбранных поопределенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда a n .Примеры1 1 1 111. 1+     ...

 n1  ... бесконечноубывающая2 4 8 16211прогрессия со знаменателем q  . Ее сумма равна 2,12122. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.геометрическая3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот1 3вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно S 2  1+  ,2 21 1 71 1 1 15S 3 =1+   , S 4  1+    , - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда2 4 42 4 8 8Sn .Рядan 1nназываетсясходящимся,еслисуществуетконечныйпределпоследовательности частичных сумм ряда – он называется суммой рядаlim n S n  S .Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен иливообще не существует.Необходимый признак сходимости ряда.