гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 6

Если m  f x, y, z   M , то mS   fd  MS ,276) Теорема о среднем. Пусть функция f (M )  f ( x, y, z) непрерывна на кусочногладкой ограниченной поверхности  . Тогда на поверхности найдется точка С,1f x, y, z dтакая что f (C ) S Доказательство. Первые четыре свойства доказываются аналогично подобнымсвойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода (записьюсоотношений в интегральных суммах и предельным переходом).

Во втором свойствеиспользуется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни одинэлемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутреннихточек.Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Кошидля функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.Вычисление поверхностного интеграла первого рода.Раньше во второй лекции мы вычисляли площадь поверхности с помощью двойногоинтеграла, то есть сводили интеграл  d к двойному интегралу. Теперь нам надо свестиинтеграл f ( x, y, z)d к двойному интегралу. Повторяя вновь те же выкладки с той лишьразницей, что под интегралом стоит функция f ( x, y, z ) , получим аналогичную формулу дляповерхности, заданной соотношением z   ( x, y) f ( x, y, z)d =  f ( x, y, x, y )1   x'   y' dxdy .22DЕсли поверхность задана уравнением F ( x, y, z )  0 , точно так же получим формулу f ( x, y, z)d =  f ( x, y, z)D1Fx'2Fz'2Fy'2Fz'2dxdy .

Здесь надо учитывать, что точка (x, y, z)лежит на поверхности  .Пример. Найти массу поверхности однородной полусферы x 2  y 2  z 2  R 2 , z>0 спостоянной поверхностной плотностью W.F ( x, y, z)  x 2  y 2  z 2  R 2  0 . Fx'  2 x, Fy'  2 y, Fz'  2 z .Обозначим D - круг – проекцию полусферы на плоскость OXY.m   2WD=2Rx2  y2  z 21dxdy  2WR  dxdy  WR  d d =222z2zRD002RW 2 R 2   2 |0R  2R 2W .2Поверхностный интеграл второго рода.Поверхность  называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует векторнормали к  , - непрерывная вектор – функция на  .28Поверхность  называется односторонней, если при обходе поверхности  по контуру вектор нормали меняет свое направление на противоположное.Поверхность  называется двусторонней, если при обходе поверхности  по контуру вектор нормали не меняет свое направление.Примером односторонней поверхности является петля Мебиуса, примерамидвусторонних поверхностей – плоскость, сфера, гиперболоиды и т.д.Задача о потоке жидкости через поверхность.Поток жидкости через поверхность  .– это количество жидкости, протекающее черезповерхность  в единицу времени.Пусть на элементе поверхности  площадке d в некоторойее точке M проведен вектор a перемещения частицыжидкости через площадку d в единицу времени.Предполагаем, что для всех точек d перемещениеодинаково по величине и направлению.

Поток жидкостиможно вычислить как объем наклонного (по направлениювектора перемещений) параллелепипеда, построенного на d . Этот объем равен dП  h d  prna d  a  n d , где n единичный вектор нормали к поверхности. Тогда поток жидкости равен П =  a  n dznhayxЗдесь мывычисляли дифференциал потока, а затем интегрировали по всейповерхности – это метод дифференциалов при построении интеграла.Можно строить интеграл с помощью метода интегральных сумм, как мы действовалиобычно.- Введем разбиение области на элементы так, чтобы соседние элементы не содержалиобщих внутренних точек (условие А),- на элементах разбиения отметим точку М. Предполагая перемещение частицжидкости постоянным на элементе и равным a (M), вычислим приближенно потокчерез элемент разбиения и просуммируем его по элементам, получая интегральнуюnсумму П i   a M i   n M i  .i 1-Измельчим разбиение при условии max i  i  0 (условие В) и перейдем к пределуполучая поверхностный интеграл второго родаn andlimmax i  i 0  a M i   n M i  .i 1По виду это – поверхностный интеграл первого рода, он и имеет те же свойства, чтоповерхностный интеграл первого рода, но имеет еще и свойство ориентируемости.

Интегралпо внешней стороне поверхности отличается знаком от интеграла по внутренней сторонеповерхности, так как на различных сторонах поверхности нормали в той же точке нормалинаправлены по одной прямой в различные стороны.Теорема существования формулируется так же, как для поверхностного интегралапервого рода с тем же замечанием о независимости интеграла от способа выбора разбиения(лишь бы выполнялись условия А), от выбора точек на элементах разбиения, от способаизмельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).29Запись поверхностного интеграла второго рода.Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярныекомпоненты векторов a M   P( x, y, z )i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z )k , nM   cos  i  cos  j  cos  kaM   nM   P cos   Q cos   R cos   a  nd   ( P cos   Q cos   R cos  ) d   Pdydz   Qdxdz   Rdxdyd cos  dydz , d cos   dxdz , d cos   dxdy .

Знак «+» выбирается, если уголмежду нормалью к поверхности и осью (OX в первом интеграле, OY во втором, OZ втретьем) острый, знак «-» выбирается, если угол тупой. В самом деле, в поверхностныхинтегралах площади элементов поверхности положительны, а знаки «+» или «–»компенсируют знак косинуса угла между нормалью и координатной осью. При переходе отповерхностных интегралов к двойным одна из координат подставляется из уравненияповерхности, чтобы точка (x, y, z) находилась на поверхности  .Пример.

Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра,ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1Поток радиус-вектора через координатные плоскостинулевой, так как на них радиус-вектор точки лежит вzкоординатной плоскости и ортогонален нормали к координатной плоскости, т.е. a  n  0 .yВычислим поток через грань тетраэдра, лежащую вплоскости x + y + z =1.

Он и будет суммарным потоком, так какпоток через остальные грани нулевой. Для этой грани  1 1 1   n ,, , a  r  x, y, z, площадь грани – треугольника1x 3 3 3по теореме Пифагора равна3(проверьте).2Поток равен 1x  y  z d  1  d  1 3  1П   a  n d  233 3 2 1 3 1Поток равен П   a  nd  .23 2Вычислим поток через двойные интегралы проектированием на координатныеплоскости.

Поток радиус-вектора через координатные плоскости нулевой. Тогда П   a  nd   xdydz   ydxdz   zdxdy  3  zdxdy  3  z x, y dxdy =1 1 xD yzDxz1DxyDxyDxy11312= 3 (  (1  x  y)dy)dx  3 ((1  x) 2  (1  x) 2 )dx   x  1 dx  .2202.0 00Получили тот же результат.30Лекция 8 Скалярное и векторное поляСкалярное и векторное поля.Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле  (M),если в этой области задана скалярная функция  (M).Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле a (M),если в этой области задана векторная функция a (M).Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость илисилы взаимодействия частиц – векторные поля.В интегралах первого рода :двойных, криволинейных, поверхностных мы имели делосо скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве.В интегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работавекторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля вповерхностном интеграле.Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.Скалярные поля.Линии уровня плоского поля  (x, y) – кривые, на которых значения функциипостоянны  (x, y) = С.Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 –уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокиеокеанские впадины).Поверхности уровня пространственного поля  (x, y, z) – поверхности, на которыхзначения функции постоянны  (x, y, z) = С.Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере.

Любая линияна поверхности уровня – это линия уровня.Пример. Задано поле x 2  y 2  z 2  C . При С > 0 поверхности уровня – однополостныегиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня –двуполостные гиперболоиды.Линии или поверхности различных уровней не пересекаются.Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля.    , .Градиент поля – вектор grad   , x y z Утверждение. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня.Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 привариациях переменных.