гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 7

Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можнодифференцировать.gggdg ( x, y, z ) dx dy dz  grad g  dr  0 .xyzВектор dr (x, y, z) - это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащейна поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) векторградиента ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку.Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен понормали к поверхности уровня.31Производная скалярного поля по направлению lопределяется какgg M  tl  g ( M ). Известно из теории функций многих переменных (выпуск V| M  lim t 0ltучебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направлениеgl | M  gradg   .l|l |Пример.

Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x2 + y2 + z3 по направлению{1,3,2} в точке (1,0,4)g32  98 1.grad g  2 x, 2 y, 3z 2 ,|1,0, 4   2,0,48 ,,l14 14 14 14 Векторное поле.Векторная линия - линия, в каждой точке которой вектор поля направлен покасательной к ней.Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поляa (M )  P( x, y, z ) i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k и касательной dr  dx i  dy j  dz kdxdydz.P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z )Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля a (M )  y i  x jdx dy,  xdx  ydy , xdx  ydy  0, d ( x 2  y 2 )  0, x 2  y 2  C - линии уровня –y xокружности (С>0).Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.Формула Остроградского – Гаусса.Пусть компоненты векторного поля a (M )  P( x, y, z ) i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)kнепрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязнойзамкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе  .Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса P Q R dv . P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dxdy  x y z V Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поляa (M ) через поверхность  .Доказательство.

1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, Rсостоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P,Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы вкоторую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0)доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулыRdv R( x, y, z)dxdy  zV2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственнуюобласть V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общихвнутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно32проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равенсумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности).Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов пополным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общимграницам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположногонаправления внешних нормалей на общих границах.Rdv для цилиндрическогоИтак, будем доказывать соотношение  R( x, y, z )dxdy  zVтела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY.

Пусть «верхняя» границацилиндрического тела – поверхность  1 описывается уравнением z  z1 ( x, y) , «нижняя»граница – поверхность  2 описывается уравнением z  z 2 ( x, y) . Боковую поверхностьцилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим  3 .Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю.Действительно,  R( x, y, z )dxdy   Rx, y, z  cos  d  0 , так как нормаль на боковой33поверхности ортогональна оси OZ и cos   0 .Заметим также, что на «верхней» поверхности  1 cos   0 , а на «нижней поверхности 2 cos   0 . Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по  2 к двойномуинтегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностногоинтеграла по  1 к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо .zn11V z1 ( x , y ) R Rdxdydz    dz dxdy   R( x, y, z1 ( x, y ) dxdy zzD  z2 ( x , y )D R( x, y, z32( x, y) dxdy =Dn312n22 R( x, y, z)dxdy   R( x, y, z)dxdy +  R( x, y, z)dxdy =1y R( x, y, z)dxdy   R( x, y, z)dxdy =23 R( x, y, z)dxdyТакимобразом,соотношениеR R( x, y, z)dxdy   z dvVDдоказано.xЗамечание.

Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» видеП (a )   div a dv - поток векторного поля через замкнутую поверхность  равенVобъемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью  .P Q RДивергенция векторного поля (расходимость) есть.x y zДивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительносистемы координат.

Покажем это.33Инвариантное определение дивергенции.Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ееокрестность VM – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим  M - ее границу – сферурадиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла   11(поdiva dv  diva ( M ) VM , M  VM , diva M divadv a  n dVVMMVMVMM формуле Остроградского – Гаусса).Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.  a  n ddiva( M )  lim VM MM. Это и есть инвариантное определение дивергенции.VMПоэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотностипотока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощностьисточника (если diva (M ) >0) или стока (если diva (M ) <0) векторного поля в точке M.Если diva (M ) >0, то точка M – источник векторного поля, если diva (M ) <0, то точка M– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этойобласти нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой областиравен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».Пример.

Определить расположение источников и стоков векторного поля2a  x y i  xzy j  xz 2 k . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.diva  2 xy  xz  2 xz  2 xy  xz . Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, всеточки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, нистоков. Точка M – источник, так как diva (M )  4  3  7  0 .Свойства дивергенции.1) Линейность.

div1a1  2 a2   1diva1  2 diva2div1a1  2 a2   div ((1 P1  2 P2 )i  (1Q1  2 Q2 ) j  (1 R1  2 R2 )k  P Q R  P QR (1 P1  2 P2 )  (1Q1   2 Q2 )  (1 R1  2 R2 )  1  1  1  1   2  2  2  2  xyzyz yz  x x1diva1  2 diva2 .2) divC  0 , где C  c x i  c y j  c z k - постоянное векторное поле. cc y c zdivC  x 0xyz 3) div a   diva  a  grad , где  x, y, z  - скалярное поле. ( P)  Q   R div ( a )  div ( Pi   Qj   Rk ) =xyz P Q R        P = diva  a  grad .  QRyz  x y z   x34Соленоидальное поле и его свойства.Векторное поле a M  называется соленоидальным в области V, если в любой точке Mэтой области diva (M )  0.Свойства соленоидального поля.1) Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы потокчерез любую замкнутую поверхность равнялся нулю.Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – изинвариантного определения дивергенции.2) Поток соленоидального поля через любуюизолированный источник или сток, один и тот же.окружающуюРассмотрим две замкнутых поверхности  1 и  2 , окружающиеизолированный источник (сток).

Будем считать векторное полесоленоидальнымвпространственнойобластимеждуповерхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберемна ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону,введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к«верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и«нижние» части. Обозначим на них направления внешнихнормалей к поверхностям.Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежитвыше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей иверхней частью плоскости.

Вторая ограничена нижнимичастями поверхностей и нижней частью плоскости.В той и другой области поле соленоидально. Следовательно, 2в 1вPповерхность, 1н 2нпоток векторного поля через границы этих областей равен нулю.П в   П Р  П 2 в  П  0 ,1вП н   П Р  П 2 н  П1н  0 .Складывая эти выражения, получим П1  П1в  П1н  П 2 в  П 2 н  П 2 .3) Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один итот же.35naS2S1Обозначим Sбок –боковую поверхность векторной трубки. Набоковой поверхности направления нормали и векторного поляортогональны, так как векторная трубка образованавекторными линиями, а вектор поля направлен по касательнойк векторной линии.

Поэтому поток векторного поля черезбоковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0).Учитывая направления нормалей и вектора поля на сеченияхвекторной трубки S1 и S2, а также соленодальность поля,получим П S1  П Sбок  П S2  0, П S1  П S2 .Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться изаканчиваться внутри поля.В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источникаили стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.Лекция 9 Формула Стокса.Ротор векторного поля.Назовем ротором векторного поля a (M )  P( x, y, z ) i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)k вектор ijk   R Q    P R    Q P  i  krot a  j  x y z  y z   z x  x y P Q RСвойства ротора.1) Линейность rot(1a1  2 a2 )  1 rota1  2 rota2ijrot(1a1  2 a2 ) xy1 P1   2 P2 1Q1   2 Q2ijk= 1 rota1  2 rota2 .xyz 2 P2  Q2  2 R2ki=zx1 R1   2 R2 1 P12) rotC  0, C - постоянное векторное поле.i rotC xC1jyC2k0zC3jy1Q1k+z1 R1363) rot( a )   rot a  grad   rot aijk  ( R) ( Q)    ( P) ( R)    ( Q) ( P)  i  krot ( a )   j  x y z  yz   zx xy P Q  R= R Q   P R    Q P  i   k +   j    z x  y z  x y         Q P   Ri   Pk =  rot a  grad   rot a .QR j  z   zx  y x y Теорема Стокса.Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей  .Пусть компоненты векторного поля a (M )  P( x, y, z ) i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)kнепрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второгопорядка включительно в области V.Тогда справедлива формула Стокса R Q  Q P  P R   y  z dydz   z  x dxdz   x  y dxdy   Pdx  Qdy  RdzЗамечание.