гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 11

То жеверно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей в Po:ar 1 ....ar  k Тогда S Pr  S Por  S Por 1  ...  S Por k , т.е. k элементов в последовательностичастичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены(это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковыхэлементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательствоможно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична. Поэтомуряды Po и P сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное верно и для Qo и Q.Теорема.

Если P сходится, Q – сходится, то Am сходится, т.е. ряд A сходитсяабсолютно.Доказательство. Так как P сходится, то Po сходится, так как Q – сходится, то Qo –сходится. Складывая сходящиеся ряды Po и (-Qo) почленно (учитывая, что| pn | pn , | qn | qn ), получим сходящийся ряд. Это – ряд Am.Теорема. Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то Aрасходится.Доказательство. Рассмотрим один из вариантов. Пусть P сходится и Q расходится.Тогда Po сходится. Будем доказывать от противного. Пусть A сходится, тогда, вычитаяиз него сходящийся ряд Po, получим сходящийся ряд Qo. Тогда по доказанной выше теоремеряд Q сходится. Противоречие.Второй вариант P расходится и Q сходится рассматривается аналогично.Теорема.

Пусть ряд A условно сходится, тогда ряды P, Q расходятся.Доказательство. Если P, Q оба сходятся, то по доказанной выше теореме Am сходится,т.е. ряд A сходится абсолютно. Противоречие.Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.(подоказанной выше теореме).

Противоречие.Следовательно, оба ряда P, Q расходятся.Итак, получена следующая схема.54P сх, Q расх или P расх, Q сх  A расх, P сх A аб сол. схQсх P сх P расх.A абсол. сх  A  усл. сх  QсхQрасхЭта схема отражает суть теорем о структуре знакопеременных рядов.1 1 1 1 1 1 1Пример. 1        ...3 2 9 4 27 8 811 1 1P: 1     ... - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.2 4 81 1 11Q:    ... сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая3 9 27 81прогрессия. Следовательно, исходный ряд A абсолютно сходится.1 1 1 1 1 1 1 1        ...2 3 4 5 8 7 16 91 1 11P:   . ..

- сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.2 4 8 161 1 1 1Q:     ... расходящийся ряд (по второму признаку сравнения с3 5 7 9гармоническим рядом). Следовательно, исходный ряд A расходится.Пример.Теорема Римана.Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно такпереставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его суммабудет равна S.Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся (теоремы оструктуре знакопеременного ряда). Пусть для определенности S>0.

Переставляем в началоряда столько положительных членов, чтобы их сумма стала больше S, Теперь переставляемстолько отрицательных членов, чтобы частичная сумма ряда стала бы меньше S. Повторяемэтот процесс. Процесс осуществим для любого S, так как ряды P, Q расходятся (т.е.повторением членов можно набрать любую их сумму). С другой стороны, частичная суммасконструированного ряда сходится именно к S. В сконструированном ряде| S n  S | bn , где bn - тот член ряда, добавление которого меняет знак S n  S . bn n 0 таккак знакопеременный ряд условно сходится.Сам ход доказательства напоминает добавление положительных членов – гирь на однучашку весов, пока весы не покажут вес, больший S.

Последний член – гиря bn . Затемдобавление на другую чашку весов столько отрицательных – членов (вернее гирь, весом,равным модулям этих членов), чтобы весы показали вес, меньший S. Процесс повторяется.Вес гирь, вызывающих переход указателя весов через S, убывает до нуля, так как дляусловно сходящегося ряда выполняется необходимый признак сходимости.

ПоэтомуS n  n S .Знакочередующиеся ряды.55Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов рядачередуются, т.е. рядan 1nимеет вид v1  v2  v3  v4  ... . Предполагаем, что ряд начинаетсяс положительного члена, vk  0, k  1 .К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше длязнакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признаксходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимымпризнаком).Признак Лейбница.Пусть1. рядan 1nимеет вид v1  v2  v3  v4  ...

(знакочередующийся, vk  0, k  1 )2. последовательность v n монотонно убывает3. lim n vn  0Тогда 1) рядan 1nсходится2) | S | v1Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четныминомерамиvn S 2n  v1  v2  v3  v4  ...  0, т.к. v1  v2  0, v3  v4  0... (последовательностьмонотонно убывает по условию теоремы).S 2n  v1  (v2  v3 )  (v4  v5 )  ...  v1 , т.к. v2  v3  0, v4  v5  0...Т.е. последовательность S 2 n  ограничена сверху v1 .S 2( n1)  S 2n  (v1  v2  ...  v2n1  v2n  v2n1  v2n2 )  (v1  ...

 v2n )  v2n1  v2n2  0Т.е. последовательность S 2 n  монотонно возрастает.По теореме Вейерштрасса существует lim n S 2n  S .Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерамиS 2n1 S 2n v2n1 .По условию lim n vn  0 , т.е.

lim n v2n1  0 .По доказанному выше lim n S 2n  S . Следовательно, предел правой части равенствасуществует и равен S . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равенlim n S 2n1  S .Раскроем определение предела   0 N ( ), n  NS n  S   как для четных n, таки для нечетных n.

Следовательно, это справедливо для любых n  N , поэтомуlim n S n  S .0  S 2n  v1 . Переходя к пределу, получимИз доказанного выше неравенства0  S  v1 , т.е. S  v1 .Следствие. | Rn || an1 | . Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенногочлена ряда.56Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийсяряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.То есть | Rn |ak  n 1n a n 1 . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенныйчлен.1 1 1   ...2 3 411a n  (1) n1 , vn  . Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей –nnрасходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.1Rn n 1Функциональные рядыПример.

Ряд 1 Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.Функциональный ряд – это рядuт 1n( x) , члены которого – функции u n (x) ,определенные в некоторой области V.Определим частичную сумму ряда – тоже функцию S n ( x)  u1 ( x)  ...  u n ( x) .Зафиксировав некоторую точку x, мы имеем дело с обычным числовым рядом.Функциональный рядuт 1n( x) называется сходящимся в точке x, если S n (x) сходитсяк S (x) или  0 N  , x  , что n  N S n ( x)  S ( x)  u n1 ( x)  ...   .Это - обычная или поточечная сходимость ряда, так как номер N зависит не только от , как в числовых рядах, но и от точки x.

То есть в каждой точке x ряд сходится со своейскоростью.Критерий Коши поточечной сходимости ряда. Это – критерий Коши дляпоследовательности частичных сумм ряда.Для того чтобы функциональный рядuт 1n( x) сходился в точке x, необходимо идостаточно, чтобы   0 N ( , x), n  N , p  0 S n p ( x)  S n ( x)  u n1 ( x)  ...u n p ( x)   .Все точки, в которых ряд сходится, составляют область сходимости ряда.Примеры. 1) Рядрасходится. V : 0. n! xnсходится только в точке x  0 , во всех остальных точках рядn 1xn2) Ряд сходится во всех точках оси, V  R .n 1 n!(1) n x n3) Ряд сходится в области V  (1,1] .nn 1574) Ряд1 n  cos xрасходится во всех точках оси V  .n 1Функциональный рядuт 1n( x) называется равномерно сходящимся в области V, если  0 N   , что n  N , x  V S n ( x)  S ( x)  u n1 ( x)  ...

  .Здесь номер N зависит только от  , но не от точки x, поэтому номер N выбираетсясразу для всей области V. Ряд сходится с одной и той же скоростью для всех точек областиV. Такая сходимость напоминает сходимость числовых рядов. Действительно, равномерносходящиеся ряды обладают очень полезными свойствами, которые мы обсудим ниже.Критерий Коши равномерной сходимости ряда.Для того чтобы функциональный рядuт 1n( x) равномерно сходился в области V,необходимо и достаточно, чтобы  0 N ( ), x  V , n  N , p  0 S n p ( x)  S n ( x)  u n1 ( x)  ...u n p ( x)   .Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.Пусть члены функционального ряда u n (x) можно мажорировать (ограничить помодулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда,u n ( x)  cn , x  V ,  cn  C .n 1Тогда функциональный рядuт 1n( x) равномерно сходится в области V.Доказательство.

Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерийКоши   0 N ( ) n  N , p  0 cn1  ...  cn p  cn1  ...  cn p   (рядзнакоположителен, ck  0 ).Тогда   0 N ( ), x  V , n  N , p  0 u n1 ( x)  ...u n p ( x)  u n1 ( x)  ... u n p ( x) cn1  ...  cn p   .Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и рядuт 1n( x) сходится в области V равномерно.sin nxsin nx11сходитсяравномерновR,таккак,аряд2222nnт 1 nn 1 nсходящийся числовой ряд.Пример.

РядСвойства равномерно сходящихся функциональных рядов.Теорема о непрерывности суммы ряда.Пусть члены u n (x) функционального рядаx 0 - внутренней точке области V. Пусть рядuт 1uт 1nn( x) - непрерывные функции в точке( x) сходится равномерно в области V.Тогда сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке x0  V .58Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то 0 N ( ), n  N , x  V S n ( x)  S ( x) , в частности S n ( x0 )  S ( x0 ) .333Так как u n (x) - непрерывные функции в точке x 0 , то и S n (x) непрерывна в x 0 каксумма конечного числа непрерывных функций.Зафиксируемn>N.ПонепрерывностиS n (x)3 0  ( )  0, x  x0    S n ( x)  S n ( x0 ) .3Оценим S ( x)  S ( x0 )  S ( x)  S n ( x)  S n ( x)  S n ( x0 )  S n ( x0 )  S ( x0 )  .3 3 3Итак   0  ( )  0, x  x0    S ( x)  S ( x0 )   , то есть сумма функциональногоS ( x)  S n ( x) |  | S n ( x)  S n ( x 0 ) |  | S n ( x 0 )  S ( x 0 ) ряда – непрерывная функция в точке x0  V .Теорема о почленном переходе к пределу.Пусть lim xx0 u n ( x)  cn , рядТогда рядсn 1nuт 1n( x) равномерно сходится к S(x) в V, тогда C  lim x x0 S ( x) (ряд из cn сходится к lim x x0 S ( x) ).(без доказательства).Заметим, что суть теоремы содержится в формуле.  lim x x0   u n ( x)    lim x x0 u n ( x) , что и оправдывает название теоремы. n1 n 1Теорема о почленном интегрировании.Пусть u n (x) непрерывны в V, пусть ряд bифn 1uт 1n( x) равномерно сходится в V.