гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана)

Галкин С.В.Краткий курс математического анализав лекционном изложениидля студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана(третий семестр)Москва 2005.2Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.Лекция 1.Двойной интеграл.Задача об объеме цилиндрического тела.К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции.К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусомоснования R его объем равен V  R 2 h- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосямиa, b равен V  abh .- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания S , равен V  Sh .Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежитобласть D с площадью S , а высота h изменяется от точки к точке так, что конец ееописывает некоторую поверхность  ( h  f (M ( x, y)) ).

Тогда логично разбитьобласть D на области малого размера – организовать разбиение области на области –элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этимэлементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точекэлемента и равна h  f (M ( x, y)) . Вычислим объем этого элементарного цилиндра.Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенноискомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размерыэлементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интегралаДвойной интеграл1 f ( x, y)dS .Dzf (M i )1. Организуем разбиение области D наэлементы – области Di так, чтобы этиэлементы не имели общих внутреннихz  f ( x, y)nточек и D   Di (условие А)i 12.

Отметимнаэлементахразбиения«отмеченные точки» Mi и вычислим вних значения функции f (M i )  f ( xi , yi )3. ПостроиминтегральнуюсуммуynMiDiDx f (M )si 1i, где si - площадь Di4. Переходя к пределу при условииmax i diam(Di )  0(условиеВ),получим двойной интеграл как пределинтегральныхсумм:D1inf ( x, y)dS  lim max i diam( Di )0  f ( M i )sii 1Здесь рассматривается упрощенный вариант построения интеграла, более общий вариант рассмотрен вседьмом выпуске учебника «Математика в техническом университете» под ред. проф. В.С. Зарубина и проф.А.П. Крищенко М. Изд.

МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 (далее просто учебник).3Теорема существования2.Пусть функция f ( x, y) непрерывна в замкнутой односвязной области D3. Тогдадвойной интеграл существует как предел интегральных сумм. f ( x, y)dS  limnmax i diam( Di )0D f (M )sii 1i.Замечание4. Предел этот не зависит от- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие ВСвойства двойного интеграла5.1.

Линейностьа) свойство суперпозиции ( f ( x, y)  f12( x, y)dS .=  f1 ( x, y )dS +  f 2 ( x, y )dSDDDб) свойство однородности  f ( x, y )dS .=   f ( x, y)dSDDДоказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частяхравенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как числослагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе вравенстве получим желаемый результат.2. Аддитивность.Если D  D1  D2 , то f ( x, y)dS =  f ( x, y)dS +  f ( x, y)dSDD1D2Доказательство.

Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементовразбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременнокак элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования(замечание к теореме).

Далее проводится доказательство через интегральные суммы,как в п.1.3. dS  SD- площадь области D.D4.ЕсливобластиDвыполненонеравенствоf ( x, y)  g ( x, y) ,то f ( x, y)dS   g ( x, y)dS (неравенство можно интегрировать).DDДоказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.Заметим, что, в частности, возможно g ( x, y)  05. Теорема об оценке.Если существуют константы m, M , что x, y   D m  f ( x, y)  M , тоmS D   f ( x,y)dS  MS DD2Здесь рассматривается непрерывная функция, более общий вариант см.

в седьмом томе учебникаДалее граница области предполагается кусочно-гладкой4Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам5При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования34Доказательство. Интегрируя неравенство m  f ( x, y)  M (свойство 4), получим mdS   f ( x, y)dS   MdS . По свойству 1 константыDDm, M можно вынести из-подDинтегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.6. Теорема о среднем (значении интеграла).1Существует точка с( xc ,yc )  D , что f (c) f ( x,y )dS .S D DДоказательство.

Так как функция f ( x,y) непрерывна на замкнутом ограниченноммножестве D , то существует ее нижняя грань   inf D f ( x,y) и верхняя грань  sup D f ( x,y) . Выполнено неравенство x,y   D S D   f ( x,y)dS  S D . ДеляD11f ( x,y )dS   . Но числоf ( x,y )dSSD DS D Dзаключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функцияf ( x,y) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D , то в некоторой точкефункциядолжнаприниматьэтозначение.Следовательно,сD1f (c ) f ( x,y )dS .S D DГеометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постояннойвысоты f (c) , объем которого равен объему цилиндрического тела  f ( x,y)dSобе части на S D , получимDВычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем вэтой плоскости декартову систему координат.Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям,пересекает ее не более чем в двух точках.Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границейможно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общихвнутренних точек.

Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов(свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойнойинтеграл по правильной области.Вспомним формулу для вычисления объема телаzf(x,y)по площадям параллельных сеченийS(x)bV   S ( x)dx , где a, b - «крайние» точки областиayaD(x)x(x)D по x., S (x) - площадь сечения тела одной изпараллельных плоскостей (при фиксированномx).

Эта плоскость пересекается с плоскостьюOXY по прямой, параллельной оси OY,соединяющей точку входа в область (x) сточкой выхода (x). Графики функций (x), (x) ( x)bxобразуют границу области D. S (x) = f ( x, y)dy - ( x)площадь криволинейной трапеции..5b   ( x)S (x) в формулу для объема, получим V     f ( x, y )dy dx . Этоa   ( x)повторный интеграл, вернее один из них.

Второй повторный интеграл можно получить,d   ( y)вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии V     f ( x, y )dx dy . По смыслуc   ( y)двойного интеграла (объем цилиндрического тела)b   ( x)d   ( y) f ( x, y )dy dx = f ( x, y )dS =  f ( x, y )dx dy  Va   ( x)Dc   ( y)Подставляя1.Примеры.

Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.1.211 x 21  1 x 2x  y 2  1y1D f ( x, y)dxdy  0   f2 ( x, y)dy dx  0 dx  f2 ( x, y)dy =x  0 1 x  1 xx21 y 211  1 y  0 f ( x, y)dx dy = 1dy 0 f ( x, y)dx1y  x 1y  1 x2. y  x 1 y   x  1y  03.  x  1y  x1  x 1 x 1dx =+f(x,y)dxdyf(x,y)dydxf(x,y)dyD1  x1 0  x 1 y 10  y 11 f ( x, y )dx dy +  f ( x, y )dx dy 0  y11  y 10yx x  y 12 D e dxdy = 0  0 e dy dx ( внутренний интеграл неберется)=11122 1 e ( y 1) 2 dx dy = (1  y )e  y 1 dy   1 e  y 1 | 0  1 (e  1)0  y220 y 12yx1Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.К двойному интегралу f ( x, y)dS .мы пришли от задачи об объеме цилиндрическогоDтела, расположенного над областью D с переменной высотой f ( x, y) .В этом и состоит его геометрический смысл.Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскуюобласть D, плотность которой равна f ( x, y) , т.е.

меняется от точки к точке. Достаточноассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобыпонять, что мы имеем ту же модель.Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что  f ( x, y )dSDравен массе плоской области D, плотность которой равна f ( x, y) .6Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумяпараболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенногов плоскости OXY..1y1 142VD  2  (1  y )dx dy  2 ( y 2  y 4 )dy  2(  ) 3 5 150 0021y12S D  2  dx dy  2 y 2 dy 30 001z111y2xЛекция 2. Приложения двойного интеграла.Теорема.

Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv спомощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функцийx   (u, v), y   (u, v) . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда f ( x, y)dxdy   f ( u, v , u, v ) | I | dudv , где I  u v - якобиан (определитель DxyDuvu vЯкоби).Доказательство (нестрогое).

Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1,Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображенииx   (u, v), y   (u, v) - ячейку P1, P3, P4, P2.Запишем координаты точекP2yvQ1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),Q4Q3P1 ( u, v , u, v ),P2  u  du, v , u  du, v  P1P4P3xQ1Q2uP2 ( u, v    u' du ),  u, v    u' duP3  u, v  dv , u, v  dv  P3 ( u, v    v' dv), ( u, v    v' dv)Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованнымсторонами P1 P2   u' du,  u' du , P1 P3  v' dv,  v' dv . Вычислим площадь этой ячейки какплощадь параллелограмма.ijk u' du  u' du u'  u'''S  P1 P2  P1 P3 |  u du  u du 0 | 'k | '| dudv | I | dudv . v dv  v' dv v  v''' v dv  v dv 07Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy,получим  f ( x, y)dxdy   f ( u, v , u, v ) | I | dudv .DxyDuСледствие.