гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 10

Рядсходится, то по п.1 доказательства и рядbn 1nрасходится.111расходится, так как , а рядln n nn 2 ln n1n(гармонический)n 2расходится.Второй признак сравнения.an C  0 . Тогда ряды  a n и  bn сходятся или расходятсяbnn 1n 1«одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то идругой расходится.aДоказательство. Раскроем определение предела.   0 N  , n  N n  C   .bnПустьlim nС  an C  ,bnЕсли рядbn (C   )  a n  bn (C   ) . a n сходится, то по 1 признаку сравнения рядn 1( C    0, так как  мало) , рядbn 1Если рядn bn сходится, то рядn 1 b (C   )n 1an 1 b (C   )n 1nсходитсясходится (свойство сходящихся рядов).тогда по 1 признаку сравнения рядnnсходится.сходится (свойство сходящихся рядов),48Пусть ряд a n расходится. Если рядbn 1an 1nn 1сходится (противоречие).Пусть ряд bn расходится.

Если рядan 1bn 1nсходится, то по предыдущему рядnn 1nсходится, то по предыдущему рядсходится (противоречие).n 2  4n  2расходится по второму признаку сравнения (рядn3  n  5сравнения – гармонический ряд).1 sin 2 n  111nРядсходится.

sin 2 ~ 2 n   , arctgn - ограничена. Рядnarctgnnnn21сравнения  2 - сходящийся ряд Дирихле.n 2 nПример. Ряд с a n Признак Даламбера.Конечная форма признака Даламбера.a n 1 q  1 , тогда рядana n 1 q  1 , тогда рядanПусть n  NПусть n  NДоказательство. Пусть n  Nan 1nсходится.nрасходится.an 1a n 1 q  1.anТогда an1  qan  q 2 an1  q 3 an2  ...  q n a1 .S n  a1  a 2  ...

 an  a1  a1q  ...  a1q n1  a1 (1  q  q 2  ...  q n1 ) an 1na1,1 qирядсходится. Можно было, не оценивая частичную сумму ряда, заключить, что рядсходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрическойпрогрессией.a n 1 q  1 , Тогда a2  qa1  a1 , a3  qa2  q 2 a1  a1 ...an  q n1a1  a1 .Пусть n  NanПоэтому a n не стремится к нулю при n   , необходимый признак сходимости ряда невыполнен, рядan 1nрасходится.Предельная форма признака Даламбера.49a n 1a q  1 , тогда ряд  a n сходится.

Пусть lim n n 1  q  1 , тогда рядanann 1aa n расходится. Если lim n n 1  q  1 , то признак не позволяет сделать вывод оann 1сходимости или расходимости ряда.Пусть lim nДоказательство. Пусть lim nПри малом an 1n0  q  aa n 1 q  1 . Тогда   0 N  , что n  N n 1  q   .anana n1 q    1 . По конечной форме признака Даламбера рядanсходится.Пусть lim n 1 q  aa n 1 q  1 . Тогда   0 N  , что n  N n 1  q   .

При маломanana n 1, то есть n  Nanan1  an . Поэтому a n не стремится к нулю при n   ,необходимый признак сходимости ряда не выполнен, рядan 1nрасходится.Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержитпроизведение некоторых чисел или факториал.Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формулеnnСтирлинга n!~   2 n при n   и применять второй признак сравнения.en!Пример.  n .n 1 na(n  1)!n nnn11lim n n 1  lim nlim lim n  1 . Ряд сходится поn n 1nnane(n  1) n!(n  1) 11   nпризнаку Даламбера.Пример.a n 1 e n 1 n  1!n nen  1n nee n n!.Рассмотрим 1 , такn 1 nnnnan(n  1) e n! n  1n  1n 1 n 11   nn 1как последовательность 1   , монотонно возрастая, стремится к e при n   , то nan  N n 1  1 . Следовательно, n  N an1  an .

Поэтому a n не стремится к нулюanпри n   , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, рядan 1nрасходится.50a n 1ane 1 . Поэтому признак Даламбера вn 1lim n 1   nпредельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак вконечной форме позволяет установить расходимость ряда.Заметим,чтоlim nРадикальный признак Коши.Конечная форма радикального признака Коши.Пусть n  NПусть n  Nnnaan  q  1 , тогда рядan  q  1 , тогда рядn 1an 1Доказательство. Пусть n  Nnnсходится.расходится.nan  q  1 . Тогда an  q n , q  1 , ряд  a n сходитсяn 1по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Пустьn  Nnan  q  1 .

Тогдаa n  q n  1 , рядan 1nрасходится, так какнеобходимый признак сходимости ряда не выполнен.Предельная форма радикального признака Коши.Пусть lim nПусть lim nnnan  q  1 , тогда рядan  q  1 , тогда рядanсходится.anрасходится.n 1n 1Доказательство. Пусть lim nnnan  q  1 , тогда   0 N , n  Nan  q    1 при малом  . Рядan 1признака Коши.Пусть lim nnnan 1nan  q   .сходится по конечной форме радикальногоan  q  1 , тогда   0 N , n  Nмалом  . Тогда a n  q n  1 , рядnnan  q   .nan  q    1 прирасходится, так как необходимый признак сходимостиряда не выполнен.Пример.n2 nn 1n 1 3lim n n a n  lim n2n 3n 2  1 , ряд сходится по радикальному признаку Коши в33предельной форме.Замечание.

У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Нипризнак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость51гармонического ряда. Проверьте это. Гармонический ряд расходится, но расходится такслабо, что попадает в «зону нечувствительности» указанных признаков. Интегральныйпризнак Коши имеет меньшую «зону нечувствительности» и позволяет установитьрасходимость гармонического ряда.Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихсязнакоположительных рядах.aПустьn 1n- сходящийся знакоположительный ряд. Тогда его члены можнопереставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.Доказательство.

Проведем доказательство по индукции.Пусть меняются местами два члена ряда ak и am , m  k . Тогда в исходном иполученном перестановкой членов ряде частичные суммы, начиная с S m будут совпадать.Следовательно, ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, , будет сходиться и иметьту же сумму.Пусть при перестановке местами r членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму.Пусть переставляются r  1 членов ряда. Эта перестановка сводится к перестановке rчленов ряда, а затем к перестановке еще какого-либо члена с каким-либо другим(перестановке двух членов ряда).По индуктивному предположению при перестановке местами r членов ряда рядсходится и имеет ту же сумму.

Ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будетсходиться и иметь ту же сумму. Следовательно, и при перестановке r  1 членов ряда рядбудет сходиться и иметь ту же сумму.Лекция 12. Знакопеременные ряды.Рядan 1называется знакопеременным, если среди членов ряда содержитсяnбесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительныхчленов.Рядan 1| an 1nnназывается абсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда| сходится.Теорема.

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.Доказательство. Так как ряд| an 1сходится. Рядan 1признакуnn| сходится, то ряд2 | an 1n|    an  anтожеn 1 | a n | - знакоположительный, так как an   a n и сходится по первомусравнениярядовпосравнениюсознакоположительнымрядом52n 1n 1 2 | an |    an  an  , так как an  an . Вычитая из сходящегося рядасходящийся ряд| an 1nan 1a| , получаем сходящийся ряд (свойство сходящихся рядов)n 1n | an |n.Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.Пусть рядan 1nабсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получаяабсолютно сходящийся ряд с той же суммой.Доказательство. Обозначим s - сумму ряда a n , S – сумму рядаn 1Рассмотрим рядan 1n| an 1n|. | a n | . Он знакоположительный, так как an   a n .

Он сходитсяпо первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядомn 1n 1 2 | an |    an  an  , так как an  an . Его сумма равна s + S.Пусть ряд bn получен перестановкой членов изn 1Тогда знакоположительный рядan 1n. | bn | получен перестановкой членов изn 1| an 1n| .

Потеореме Дирихле он сходится и имеет ту же сумму S.bЗнакоположительный рядn 1an 1nn | bn |получен перестановкой членов из ряда | a n | . Следовательно, по теореме Дирихле, он сходится и имеет ту же сумму S + s.Вычитая из сходящегося ряда bn  | bn | сходящийся рядn 1bn 1n| bn 1n| , мы получим ряд. По свойствам сходящихся рядов он сходится и имеет сумму, равную (S + s) – S = s.Следовательно, ряд bn , полученный при перестановке членов рядаn 1имеет ту же сумму, что и рядan 1n, сходится иan 1Рядn. a n называется условно сходящимся, если ряд из модулей членов рядаn 1расходится, а сам рядan 1nсходится.Теоремы о структуре знакопеременных рядов.| an 1n|53Обозначимpn  0 -положительныезнакопеременного ряда.

A – рядan 1nчлены,, Am – рядqn -| an 1nотрицательные| , P – рядpn 1nчлены, Po – ряд A, вкотором все отрицательные члены заменены нулями на тех же местах. Q – рядqn 1n, Qo –ряд A, в котором все положительные члены заменены нулями на тех же местах.ПримерAp1  p2  q1  q2  q3  q4  p3  q5  q6  p4  p5  q7  ...Am | p1 |  | p2 |  | q1 |  | q2 |  | q3 |  | q4 |  | p3 |  | q5 |  | q6 |  | p4 |  | p5 |  | q7 | ...Pop1  p2  0  0  0  0  p3  0  0 p4  p5  0  ...Pp1  p2 p3 p4  p5   ...Qo0  0  q1 q2  q3  q4  0  q5  q6 0  0  q7  ...Qq1 q2  q3  q4  q5  q6 q7  ...Теорема Ряды P, Po, ряды Q, Qo сходятся или расходятся одновременно.Доказательство. Так как ряд знакопеременный, то два последовательныхположительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов.