гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 12

Тогда ряд  u n ( x)dx сходится к  S ( x)dx, г де S ( x)   u n ( x), a, b  V , a  b ,n 1 aтоестьфункциональный ряд можно почленно интегрировать.Заметим, что суть теоремы содержится в формулеДоказательство. Так как рядuт 1nb  ba n 1n 1 a  u n ( x)dx    u n ( x)dx.( x) равномерно сходится в V, то его сумма S(x) bS  S ( x)dxнепрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) иa59 bТак как u n (x) непрерывны, то  u n ( x)dx  u n . Составим рядbun 1 aa S ( x)dx. Обозначим частичную сумму S n bчто он сходится кaТак как рядuт 1nk 1 a( x)dx , покажем,bu k ( x)dx   S n ( x)dz.a( x) равномерно сходится в V, то n  N S n ( x)  S ( x)   , x  V .Оценимbb S  S n   S ( x)dx   S n ( x)dx a bnab S ( x)  Snbbaa( x) dx   S ( x)  S n ( x) dx    dx   b  a  .aТеорема о почленном дифференцировании.Пусть u n ( x), u n ( x) непрерывны в V.

Пусть рядu.равномерно сходится в V. Тогда рядт 1причем (  u n ( x) )  =т 1uт 1nn u n ( x) сходится в V, а рядт 1uт 1n( x)( x) можно почленно дифференцировать,( x) .Доказательство. Так как рядuт 1n( x)сходится равномерно, то его суммаS x    u n x  - непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы ряда). Ее можноn 1интегрировать, применяя теорему о почленном интегрировании.xx xS(x)dxu(x)dxudx n u n ( x)  u n (a)  S ( x)  S (a)  naan 1n 1 an 1 Дифференцируя, получим S x   S  , то есть S ( x)   u n ( x)  S ( x)    u n ( x)  .n 1 n 1Лекция 14.

Степенные ряды.Степенным рядом называется ряд видаan 0n( x  x0 ) n  a0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...  a n ( x  xo ) n  ...Степенной ряд заведомо сходится при x  x0 , x0 - центр сходимости ряда.Теорема Абеля.1) Пусть степенной ряд сходится в точке x1  x0 . Тогда он абсолютно сходится винтервалеx  x0  x1  x0 , симметричном относительно x 0 .602) Пусть степенной ряд расходится в точке x1  x0 . Тогда он расходится в областиx  x0  x1  x0 .Доказательство.1) Пусть степеннойan 0nрядсходитсявточкеx1  x0 ,тогдачисловойряд( x1  x0 ) n сходится.

Тогда по необходимому признаку сходимости рядаan ( x1  x0 ) n n 0 . Тогда   0 N ( )  0, n  N an ( x1  x0 ) n   .Рассмотрим произвольное, но фиксированное x :x  x0  x1  x0 .x  x0( x  x0 ) nОценим a n ( x  x0 )  a n( x1  x0 ) n  a n ( x1  x0 ) nn( x1  x0 )x1  x0nnгде qx    q n ( x) ,x  x0 1 в области x  x0  x1  x0 , n  N .x1  x0первому признаку сравнения числовых знакоположительныхПоaт 0nnx  x0nрядоврядсходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающейгеометрическойпрогрессией qn, 0  q  1.Следовательно,вобластиn 0x  x0  x1  x0 степенной ряд абсолютно сходится.2)Пусть степенной ряд расходится в точке x1  x0 .

Рассмотрим x : x  x0  x1  x0 .Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точкеx1 . Противоречие.Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы,меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда вобласти V не гарантируется.Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.Рассмотрим монотонно убывающую последовательность | xk  x0 |, такую, что в точкеx k степенной ряд a xn 0n x0  расходится.

Если выбрать xk  x0 , то степенной ряд будетnkсходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизунулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числоваяпоследовательность имеет предел. То есть R  lim k  xk  x0 .Такое число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно,степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале x  x0  Rсходимости степенного ряда.61Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного рядаan 0x  x0 .

Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признакnnДаламбера или радикальный признак Коши.Применяя признак Даламбера, имеемlim na n 1 x  x0a n x  x0n 1 x  x0 lim nnПоэтому R  lim na n 1an1 1 . Отсюда x  x0 lim na n 1.anan.a n 1Применяя радикальный признак Коши, имеем11x  x0 lim n n a n  1, x  x0 , R.lim n n a nlim n n a nТак определяется радиус сходимости степенного ряда.Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точкахx  x0  R, x  x0  R. Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычнымчисловым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.Пример.(1) n ( x  3) n.n 5nn 1| (1) n | | ( x  3) n |  x  3Составим ряд из модулей , применим радикальныйnn 5nn 1n 1 n 5nx3 1, x  3  5 .nРадиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8).

Исследуем сходимость ряда награнице, подставляя точки x= -2, в исходный ряд.. 1n  5n   1 - гармонический ряд, он расходится.В точке x = -2 имеем ряд n 5nт 1n 1 nпризнак Коши lim nnВ точке x = 8 имеем ряд 1n 5nт 1n 5n(1) n- сходящийся (по признаку Лейбница)nn 1знакочередующийся ряд.Область сходимости исходного ряда (-2, 8].Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.Доказательство.R2 Пустьx  x0  R1  R .ВыберемR2 : R1  R2  R ,например1R1  R  . На интервале x1  x0  R2 и в точке x1 степенной ряд сходится262абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точнотакже,каквдоказательстветеоремыАбеляоценимnx  x0( x  x0 ) na n ( x  x0 ) n  a n( x1  x0 ) n  a n ( x1  x0 ) n  qn ,nn( x1  x0 )x1  x0где q R1R 1 в области x  x0  R1  R2  x1  x0 n  N ( 1 не зависит от x ).R2R2Тогда в области x  x0  R1 степенной ряд будет сходиться равномерно по признакуВейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии).Следствие.

Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывностисуммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда егорадиус сходимости не меняется.Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это –знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости попризнаку Даламбера.n 1a n 1 x  x0a n 11.lim n x  x0 lim1 R na n 1ana n x  x0lim nanПродифференцируем почленно степенной ряд na x  x nnn 10, перейдем к ряду измодулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.n  1 an1 x  x0 n1a n 11lim n x  x0 lim1 R .na n 1ann a n x  x0lim nanТаким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенногоряда не меняется.

Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился быпри почленном дифференцировании.Лекция 15. Ряд Тейлора.Ряд Тейлора.Рядом Тейлора называется степенной ряд видаn 0что функция f x  является бесконечно дифференцируемой).f n  x0 x  x0 n (предполагается,n!Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при x0  0 , то есть рядТеорема.

Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.n 0f n  0 nx .n!63Доказательство. Пусть f x    a n x  x0  и степенной ряд сходится в интервалеnn 0x  x0  R . Подставим в разложение x  x0 , получим f x0   a0 .Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можемего дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, таккак радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можнодифференцировать почленно и т.д.

Вычислим коэффициенты в степенных рядах,полученных почленным дифференцированием. f x0  = a1 ,f x0 n2,f x    nn  1a n x  x0  , f x0   2 1 a2 , a 2 2!n2f x0 n 3,f x    nn  1n  2a n x  x0  , f x0   3 2 1 a3 , a3 3!n 3f ( n ) x0 Продолжая этот процесс, получим a n . Это – коэффициенты ряда Тейлора.n!Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.Следствие.

Разложение функции в степенной ряд единственно.Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции встепенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной рядединственно.Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляяf ( n ) x0 коэффициенты разложения по формуле a n , где x0  0 .n!ex  1 x x2xnxn ...