гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 13
Описание файла
PDF-файл из архива "Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 13 страницы из PDF
... 2!n!n 0 n !sin x x x3x 2 n1x 2 n1nn ... 1 ... 13!(2n 1) !(2n 1) !n 0cos x 1 2n2nx2n xn x ... 1 ... 12!( 2n ) !( 2n ) !n 0shx x chx 1 x3x 2 n1x 2 n 1 ... ... 3!(2n 1) !n 0 ( 2n 1) !x2x 2nx 2n ... ... 2!( 2n) !n 0 ( 2n) !1n 1 x x 2 ... 1 x n , x 1.1 xn 0ln 1 x x формулу)nnx2n 1 xn 1 x ... 1... 1, (1 x 1) (интегрируя предыдущую2nnn 1641 x 1 x 1 x 2 ... 1... n 1 x n ... 1 1... n 1 x n ...2!n!n 1n!x 1, R \ N .Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли эторазложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой онпостроен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился кнулю при n .Доказательство.
Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестраf x0 f ( n ) ( x0 )f ( x) f ( x0 ) f x0 ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ... ( x x0 ) n Rn2!n!Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .f x0 f ( n ) ( x0 )S n f ( x0 ) f x0 ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ... ( x x0 ) n .2!n!Если ряд Тейлора сходится к f (x) , то lim n ( f ( x) S n ) 0 .
Но по формуле Тейлораf ( x) S n Rn . Следовательно, lim n Rn 0 .Достаточность. Если lim n Rn 0 , то lim n ( f ( x) S n ) 0 , а S n - частичная суммаряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции f (x) .Теорема. Пусть все производные функции f (x) ограничены в совокупности однойконстантой. ( f n ( x) L, n) Тогда ряд Тейлора сходится к функции f (x) .Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлораn 1f n ( )x x0n 1x x0Ln 0 , так как показательная функция растет(n 1)!(n 1)!медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функцииf (x) .В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклоренафункций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены всовокупности единицей на всей оси.В разложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограниченыконстантой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент,следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.Рассмотрим разложение в ряд функции 1 x .
Предположим, что ряд сходится кфункцииS (x) . Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливостьсоотношения 1 x S ( x) S ( x)(выведите его в качестве упражнения). Решая этодифференциальное уравнение, получим S ( x) (1 x) .Применение степенных рядов.1. Вычисление значений функцийПример. Вычислить arctg 0.3 с точностью 0.01 .65xdxx3 x5 x7(0.3) 3 (0.3) 5arctg x x ...arctg 0.3 0.3 ...2357350 1 xПо следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося рядаоценивается модулем первого отброшенного члена.(0.3) n1Rn 0,01 . Из этого неравенства найдем n, n=2. arctg 0.3 0,3 .n 1Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантныйряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечноубывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по суммепрогрессии.2.
Вычисление интегралов.0.3Пример. Вычислить1 1 x dx с точностью 0,010.11 1 x x 2 x 3 ...1 x0.30.31x2 x3dxx... 1 0.3 (0.3) 2 (0.3) 3 ... 1 0.1 (0.1) 2 (0.1) 3 ...|0.11 x0.123R1nn 3,0.3 (0.3) n1 , R2n (0.1) n1 , (0.3) n1 0.1n 1 0.010.34 0.14 0.0082 0.011 1 x dx (1 0.3 (0.3)2 (0.3) 3 ) (1 0.1 (0.1) 2 (0.1) 3 ) 0.1460.13. Решение дифференциальных уравнений.Пример.
y y 2 x,y0 11 способ. Представим y (x) в виде степенного ряда с неопределеннымикоэффициентами до x n (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую иправую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается системаалгебраических уравнений и определяются коэффициенты.y( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 a5 x 5 .Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому вразложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциальногоуравнения.Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0.В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальноеусловие задано в нуле.y ( x) a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x 3 5a5 x 4 .Подставляем разложения в правую и левую части уравнения y y 2 x .a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x 3 5a5 x 4 = .
(a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 a5 x 5 ) x .66a02 a12 x 2 a22 x 4 2a0 a1 x 2a0 a2 x 2 2a0 a3 x 3 2a0 a4 x 4 2a1a2 x 3 2a1a3 x 4 x.Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут1a1 a 02 1x2a 2 2a 0 a1 1x23a3 a12 2a 0 a 2x34a 4 2a 0 a3 2a1 a 25a5 a 22 2a 0 a 4 2a1 a3127Отсюда a0 1 a1 1, a2 , a3 , a 4 23122x27y ( x) 1 x x3 x42 312x42 способ. Представим y (x) в виде ряда Тейлора.y (0) 2 y (0) 3 y 1V (0) 4y( x) y(0) y (0) x x x x ...2!3!4!y(0) 1y ( x) y 2 ( x) x, y (0) y 2 (0) 0 1y ( x) 2 yy 1, y (0) 2 1 12y ( x) 2 y 2 yy , y (0) 4y1V ( x) 4 y y 2 y y 2 yy , y1V (0) 4 2 8 14127y ( x) 1 x x 2 x 3 x 4 .2312СодержаниеЧасть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поляЛекция 1Двойной интеграл..Лекция 2.Приложения двойного интегралаЛекция 3.Тройной интегралЛекция 4.Приложения тройного интеграла13Лекция 5.Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства15Лекция 6.Формула Грина20Лекция 7Поверхностный интеграл.26Лекция 8Скалярное и векторное поля2...6103067Лекция 9Формула Стокса35Часть 2 Числовые и функциональные ряды.Лекция 10.Числовые ряды и их свойства41Лекция 11.Знакоположительные ряды44Лекция 12.Знакопеременные ряды51Лекция 13.Функциональные ряды55Лекция 14.Степенные ряды59Лекция 15.Ряд Тейлора62.