гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 5

Пусть точки A, B соединены двумя дугами L1 и L2. Тогда из них можносоставить контур  : L1   L2 , интеграл вдоль которого по п.2 равен нулю.4)P( x, y)dx  Q( x, y)dy  dV ( x, y) 0   P( x, y)dx  Q( x, y)dy = P( x, y)dx  Q( x, y)dy =  P( x, y)dx  Q( x, y)dy -L1  L2L1 P( x, y)dx  Q( x, y)dy . Поэтому  P( x, y)dx  Q( x, y)dy =  P( x, y)dx  Q( x, y)dy .L2L1L2( x, y )1)  4) .

Докажем, что V ( x, y )  P( x, y)dx  Q( x, y)dy- потенциал, то есть, что( x0 , y0 )VV P( x, y), Q( x, y) . Докажем первое соотношение, второе доказываетсяxyаналогично.( x  x , y )( x, y )VV ( x  x)  V ( x)1  lim x0 lim x0PdxQdyPdx  Qdy  =xxx   x0 , y0 ( x0 , y0 )Заметим, что такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формыдуги. Поэтому мы можем в первом интеграле провести дугу через точку (x, y), чтобы впервом и втором интеграле сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точкус точкой (x, y). В первом интеграле выберем в качестве дуги, соединяющей точку (x, y) с23точкой (x+x) отрезок прямой, параллельный оси OX.

На этом отрезке y не изменяется,поэтому dy=0Тогда, продолжая равенство, получим( x  x , y )x  x111= lim x0P(x,y)dxlimP( x, y)dx  lim x0P( x   x, y)x =x 0x ( x , y )x xx(здесь мы перешли от криволинейного интеграла к определенному, так как дугаинтегрирования – отрезок, параллельный оси OX и применили теорему о среднем дляопределенного интеграла). Теперь используем непрерывность функции P(x, y) попеременной x.= lim x0 P( x   x, y)  P( x, y) .

Первое соотношение доказано.Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга,соединяющая точки (x0, y0), и (x, y+y) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку,параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+y).Формула Ньютона – Лейбница.Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражениеP( x, y)dx  Q( x, y)dy  dV ( x, y) - полный дифференциал, а функция V ( x, y) - потенциал.Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница( x2 , y 2 ) P( x, y)dx  Q( x, y)dy  V ( x , y22)  V ( x1 , y1 ) , где V ( x, y) - потенциал.( x1 , y1 )Доказательство.

В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно( x, y )записать в виде V ( x, y )  P( x, y)dx  Q( x, y)dy .Так как интеграл не зависит от пути( x0 , y0 )интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x1, y1), (x2, y2) можно провести через точку( x2 , y 2 )(x0, y0). Поэтому P( x, y)dx  Q( x, y)dy =( x1 , y1 )=( x2 , y 2 )( x1 , y1 )( x0 , y 0 )( x0 , y0 )( x0 , y0 )( x2 , y 2 )( x1 , y1 )( x0 , y 0 ) P( x, y)dx  Q( x, y)dy + P( x, y)dx  Q( x, y)dy -  P( x, y)dx  Q( x, y)dy = V ( x , y22 P( x, y)dx  Q( x, y)dy)  V ( x1 , y1 ) .Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x,y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогдаследующие четыре утверждения эквивалентны.1)  Pdx  Qdy  Rdz не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависитABтолько от начальной и конечной точек дуги.2) Для любого замкнутого контура   S  Pdx  Qdy  Rdz  03)Q P R Q P R,,x y y z z xx, y, z   S244) Pdx  Qdy  Rdz  dV ( x, y, z ), P VVV.,Q,RxyzV ( x, y, z ) -полныйдифференциал.Доказательство.Доказательствоаналогичнодвумерномуслучаю,схемадоказательства та же: 4)  3)  2)  1)  4) .

Докажите ее самостоятельно.4)  3) проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерномслучае.3)  2) проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).2)  1) доказательство полностью аналогично двумерному случаю.1)  4) доказательство аналогично двумерному случаю.Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае идоказывается так же.Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумяспособами.1) Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков,параллельных OX и OY.

На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y неизменяется на этом отрезке. На отрезке, параллельном OY, dx=0, так как x не( x2 , y 2 )изменяетсянаэтомотрезке.Тогда P( x, y)dx  Q( x, y)dy =( x1 , y1 )( x2 , y1 )( x2 , y 2 ) P( x, y )dx +   Q( x1( x1 , y1 )2, y )dy( x 2 , y1 )2) Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решениидифференциальных уравнений в полных дифференциалах и применить формулуНьютона-Лейбница.( 3, 6 )Пример. Вычислить интеграл ydx  xdy .(1, 2 )1)2)( 3, 6 )36(1, 2 )12 ydx  xdy =  2dx   3dy  4  12  16V y  V  xy  g ( y)  C1xV x  V  xy  h( x)  C 2 .yСравнивая две записи потенциала, получим V  xy  C .( 3, 6 ) ydx  xdy = V (3,6)  V (1,2)  18  C  (2  C)  16 .(1, 2 )Заметим, что аналогично вычисляется криволинейный интеграл от полногодифференциала по пространственной кривой.25Формула Грина для многосвязной области.Пусть кусочно-гладкие контуры  1 ,.... n .

лежат внутри контура  и вне друг друга.Пусть P( x, y), Q( x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные попеременным x, y в области между контурами и на самих этих контурах. Тогдаn Q P dxdyP(x,y)dxQ(x,y)dyP( x, y)dx  Q( x, y)dy   x y k 1  kD Соединим контуры линиями AB, CD, EK.По формуле Грина для односвязной областикриволинейные интегралы по контуруAbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBAравны двойным интегралам для верхнейDверх и нижней Dнижн областей.Представим эти интегралы как суммуинтегралов по составляющим контурыдугам и сложим эти интегралы, сокращаяинтегралы по одним и тем же дугам вразных направленияхm1pAB2qDCKErsn Pdx  Qdy  ABpCDqEKmAAB Pdx  Qdy  AnKEsDCrBABpCBACrBCDDqEDCEsDEKKmAKEAnK QP   x  y dxdy=Dверх= Q P dxdyxyDнижнСкладывая интегралы, получимBpCrBDqEsD   f z dz   f z dz   f z dz =.1KmAnK2 QP   x  y dxdyDОтсюда имеем QP  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy =   x  y dxdy .12Теорема доказана дляDслучая n = 2.

Для n > 2 доказательство аналогично.Следствие 1. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал и n=1.Тогда  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy . Поэтому, если в какой-либо точке нарушается1непрерывность функций, P, Q или их частных производных, то интеграл может быть взят полюбому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку (мыполучим один и тот же результат).Следствие 2. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку,точку, то в условиях теоремы Pdx  Qdy  W , а контурL n раз охватывает эту Pdx  Qdy  nW . Докажите это самостоятельно.26Лекция 7. Поверхностные интегралы.Задача о массе поверхности.Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точнотак же, как задача о массе кривой привела нас к криволинейному интегралу первого рода.Пусть в каждой точке кусочно-гладкой поверхности  задана поверхностная плотностьf(x, y, z).1.

Введем разбиение  на элементарные области i – элементы разбиения так, чтобыони не имели общих внутренних точек ( условие А).2. Отметим точки Mi на элементах разбиения i. Вычисляем f (Mi) = f (xi, yi, zi) исчитаем плотность постоянной и равной f (Mi) на всем элементе разбиенияi..Приближенно вычислим массу ячейки разбиения как f (Mi) i . Приближенновычислим массу поверхности , просуммировав массы ячеек (составиминтегральную сумму)n f (M )ii 1i. В интегральной сумме  i - это площадьповерхности элементарной ячейки.

Здесь, как и ранее, традиционно употребляетсяодно и то же обозначение для самой элементарной ячейки и для ее площади.3. Измельчаем разбиение и переходим к пределу в интегральной сумме при условииmax i diam i  0 (условие B). Получаем поверхностный интеграл первого рода,который равен массе поверхности (если только f(Mi)>0 на поверхности).nm   f ( M ) d = lim max i diam i 0  f ( M i ) i .i 1Теорема существования. Пусть функция f (M )  f ( x, y, z) непрерывна накусочно-гладкой ограниченной поверхности  . Тогда поверхностный интеграл первого родасуществует как предел интегральных сумм.nf ( M ) d = lim max i diam i 0  f ( M i ) i .i 1Замечание.

Интеграл (как предел интегральных сумм) не зависит:1) от выбора разбиения поверхности (лишь бы выполнялось условие А),2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения,3) от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).Свойства поверхностного интеграла первого рода.(они аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренныхранее интегралов первого рода).1) Линейность. ( f  g )d    fd    gd2) Аддитивность fd   fd  fd 1  23) d  S12- площадь поверхности.4) Если f ( x, y, z)  g ( x, y, z) , то fd   gd(если f  0 , то fd  0 ),5) Теорема об оценке.