гыг (Краткий курс математического анализа в лекционном изложении для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана), страница 4

Используя свойство 3, получим искомый результат.6. Теорема о среднем (значении интеграла).1f ( x, y, z )dlL LДоказательство. Так как функция f ( x,y, z ) непрерывна на замкнутом ограниченноммножестве L , то существует ее нижняя грань   inf L f ( x,y, z) и верхняя граньСуществует точка с( xc ,yc , z c )  L , что f (c)   sup L f ( x,y, z) . Выполнено неравенство x,y, z   L  L   f ( x, y, z )dl  ML . Деля обеL11f ( x, y, z )dl  M . Но числоf ( x, y, z )dl заключено междуLLL Lнижней и верхней гранью функции.

Так как функция f ( x,y, z ) непрерывна на замкнутомограниченном множестве L, то в некоторой точке с  L функция должна принимать это1значение. Следовательно, f (c)   f ( x, y, z )dl .LLВычисление криволинейного интеграла первого рода.части на L, получимПараметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t0 соответствует точке A, а t1соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится копределенному интегралу ( dl  xt   yt   zt  dt - известная из 1 семестра формула длявычисления дифференциала длины дуги):22t1 f ( x, y, z)dl   f xt , yt , zt  xt 2L2 yt   zt  dt22t0Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовойлинии: x  a cos  , y  a sin  , z   .2M   k a 2 sin 2   a 2 cos 2   1 d  2k a 2  1 .018Криволинейный интеграл 2 рода.Задача о работе силы.zКакую работу производит сила F(M) приперемещении точки M по дуге AB?Если бы дуга AB была отрезком прямой, а силабыла бы постоянной по величине и направлениюпри перемещении точки M по дуге AB, то работуможно было бы вычислить по формулеA  ( F , AB) | F || AB | cos  , где  - угол междувекторами.

В общем случае эту формулу можноиспользовать для построения интегральной суммы,предполагая силу постоянной на элементе дугиli достаточно малой длины. Вместо длины малогоэлемента дуги можно взять длину стягивающей ееF(Mi)MiliByriAхорды ri , так как эти величины – эквивалентныебесконечно малые величиныdiamli  0 (первый семестр).приусловииx1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги li так, чтобыnэти элементы не имели общих внутренних точек и L   li (условие А)i 12. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значенияфункции F M i n3. Построим интегральную сумму  F M i , ri , где r i вектор, направленный по хорде,i 1стягивающей -дугу li .4.

Переходя к пределу при условии max i diam(li )  0 (условие В), получимкриволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы): F, dr   limAB F M , r . Часто обозначают F M   aM nmax i diamli 0ii 1iТеорема существования.Пусть вектор - функция a M   P( x, y, z )i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)k непрерывна накусочно-гладкой дуге L12. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует какпредел интегральных сумм.na,drlimmax i diamli 0  a M i , ri . AB12i 1Это требование может быть ослаблено, более общий вариант см.

в седьмом томе учебника19Замечание. Предел этот не зависит от- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие ВСвойства криволинейного интеграла 2 рода.1. Линейность а) свойство суперпозиции  ((a1  a 2 ), dr )   (a1 , dr )   (a2 , dr )L  Lб) свойство однородности   a , dr    a, dr .LLLДоказательство.

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частяхравенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойствоскалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств.Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получимжелаемый результат.2. Аддитивность.Если L  L1  L2 , то a, dr =  a , dr  +  a , dr .LL1L2Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементовразбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременнокак элементы L1, так и элементы L2.

Это можно сделать по теореме существования(замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы,как в п.1.3. Ориентируемость. a, dr = -  a, dr LLДоказательство. Интеграл по дуге –L, т..е. в отрицательном направлении обхода дугиесть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо ri стоит (  ri ). Вынося«минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя кпределу, получим требуемый результат.Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого родаотсутствует.

Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойстваинтегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть вкриволинейном интеграле первого рода.Вычисление криволинейного интеграла второго рода..Пусть a M   P( x, y, z )i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)k . Запишем dr  dxi  dyj  dzk .Тогда криволинейный интеграл второго рода можно записать в виде  (a, dr )   P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz .LL20 x(t )A  x(t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 ) Параметризуем дугу L = AB: L   y (t ), z (t ) B  x(t1 ), y (t1 ), z (t1 ) x(t ), y(t ), z(t ) непрерывны, так как дуга гладкая.

Подставим эти выражения вкриволинейный интеграл, он превратится в определенный интеграл по параметру.  (a, dr )   P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz = .LLt1 P( x(t ), y(t ), z(t )) x(t )  Q( x(t ), y(t ), z(t )) y(t )  R( x(t ), y(t ), z(t )) z(t )dtt0 x  cos t Пример. Вычислить  (a , dr ) , где a  ( x, y,1), L   y  sin t - один виток винтовойL z  ltлинии, 0  е  2 .2  (a, dr ) =  cos t ( sin t )  sin t cos t  l dt  2l .0LПример. Вычислить интегралx2dx  yxdy по трем различным дугам, соединяющимABточки A(0,0,), B(1,1,) L1 : y  x, L2 - ломаная, соединяющая точки A, C(1,0), B, L3 : y  x 2 .1) L1 : y  x, dy  dxx12dx  yxdy   2 x 2 dx L102,32) L2  AC  CB, AC : y  0, dy  0,0  x  1, CB : x  1, dx  0, 0  y  1x2L23)xL3dx  yxdy AC1  x dx   ydy 2CB1210dx  yxdy   ( x 2  x 3 (2 x))dx 0Пример.

Показать, чтоL01 1 5  .3 2 61 2 11  .3 5 15y21dx  yxdy  по всем указанным выше дугам.22Лекция 6. Формула Грина.Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкойграницей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частныепроизводные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина Q P L P( x, y)dx  Q( x, y)dy  G  x  y dxdy .Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, еслилюбая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более,21чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединениеnконечного числа правильных областей G   Dk .k 1Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Гринаравен сумме двойных интегралов по правильным областям.

Криволинейный интеграл влевой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, таккак криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны познаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются присуммировании.Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, P то формулаГрина сводится двумформуламL P( x, y)dx  G   y dxdy и Q  Q( x, y)dy    x dxdy ,Lкаждую из которых надо доказать.

Докажем первую формулу,Gвторая доказывается аналогично.Yy=(x)b   ( x)b P  Pdy dx    P( x, y ) | ((xx)) dxdxdy      yy  a   ( x) a L2Dbbaa=   P( x, ( x))dx   P( x,  ( x))dx LD= P( x, y)dx   P( x, y)dx = L2L1 P( x, y)dx   P( x, y)dx   P( x, y)dx =  P( x, y)dxL1L2L1L1  L2Ly=(x)XabВычисление площади области по формуле Грина.По свойству 3 двойного интеграла площадь области D можно вычислить по формулеQ PS D   dxdy . Поэтому достаточно выбрать P, Q так, чтобы 1 , чтобы сxyDпомощью криволинейного интеграла по формуле Грина можно было бы вычислять площадьобласти.Например, можно выбрать Q=x, P=0. Тогда S   xdy . Можно выбрать Q=0, P=y, тогдаLS    ydx .ОченьполезнабываетсимметричнаяформулаLQxy1, P   , S   xdy  ydx .222LПример.

Вычислить площадь эллипса с полуосями a, b x  a cos t , y  b sin t при2211S   xdy  ydx 2L22210 a cos tb cos t  b sin ta ( sin t )dt  2 0 abdt  ab .Полный дифференциал и его вычисление.Теорема(ополномдифференциале).ДлятогочтобывыражениеP( x, y)dx  Q( x, y)dy  dV ( x, y) - было полным дифференциалом некоторой функцииV ( x, y) - потенциала, необходимо и достаточно, чтобы в условиях формулы Грина быловыполнено одно из следующих четырех условий (эквивалентных условий полногодифференциала)1)  P( x, y)dx  Q( x, y)dy зависит только от начальной A и конечной B точек дугиAB2)AB  G и не зависит от формы дуги (не зависит от пути интегрирования), P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 для любого кусочно-гладкого контура   G,3)Q P, x, y   G ,x yVVdx dy .xyДоказательство.

Схема доказательства теоремы 4)  3)  2)  1)  4) . По этойцепочке можно последовательно добраться от любого пункта к любому другому.4)  3) Дополнительно предположим, что существуют и непрерывны вторыесмешанные производные функции V. Тогда они равны.Q   V   2V 2V  V  P   .x x  y  xy yx y  x  y3)  2) . Это следует из формулы Грина.2)  1) .