Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 60

Такое соответствие определяет тензор типа (р — 1,а — 1). Для доказательства выясним, как преобразуется указанная система чисел при изменении базиса. Для случая, описанного формулой (6), мы имеем д/$2...3Р /112...$Р ~ 22 йе ~1 1ц — 1 1ц 'ш1. ° .™Р ~3 = а ь — — т,„т,...т е о' ...о'. оь а~ Но так как т" „ст ' = о„',„, это выражение равно г2 гр 11 1ц 1 ои...и~р о ' т,„,...т" о.~,...о.

а, При суммировании по индексам 1а и т1 равны нулю все слагаемые, за исключением тех, для которых 1~ = т1. Обозначив 1а —— тп1 — — й, мы можем написать ~!гя" ~е га ~ ~ ~д ~ Ьша...тпр = т , ... т Р о ... о а та"' тр з1"' з,, 1 ~1..л~ .1ь' Это и есть доказываемый закон преобразования. Определение. Тензор, получаемый из тензора А по формулам (6), называется его сверткой по первому верхнему и последнему нижнему индексам. Аналогично определяется свертка по любому верхнему и любому нижнему индексам. Подчеркнем, что для двух верхних (или двух нижних) индексов свертка не определена.

Свертка тензора типа (1,1) по единственной паре индексов есть инвариант — уже упоминавшийся след линейного преобразования (см. с. 185). Сверткой двух тензоров называется свертка их произведения по верхнему индексу одного из сомножителей и нижнему индексу другого. Например, образ вектора х с компонентами ~' при линейном преобразовании с матрицей а~ есть свертка соответствующих тензоров: ця = а~~'.

Значение линейной функции 1 со строкой коэффициентов о~ на векторе х с координатами ~' есть свертка у(х) = у~~~. Гл. дХ. Основы тензорной алгебры 268 7. Транспонирование. Транспонированием з-мерной матрицы по каким-либо двум индексам называется такая перестановка ее элементов, при которой транспонируется каждый слой, получаемый фиксированием всех индексов, кроме двух выбранных. Например, при ддй транспонировании матрицы а,з по двум первым верхним индексам она переходит в матрицу,д,~, связанную с ней равенством дгдй дддс (7) Вообще, под транспонированием матрицы по множеству индексов понимается результат ее последовательных транспонирований по различным парам индексов из этого множества.

По множеству из к индексов может быть осуществлено Ы транспонирований. Транспонирование иногда называют перестановкой индексов, хотяд например, записи о~ и а~,. определяют одну и ту же матрицу: в обоих случаях все индексы независимо друг от друга принимают значения от 1 до и. П р и м е р 11. Пусть и = 2. Рассмотрим трехмерную матрицу а, 1. Значениям 1 и 2 последнего индекса соответствуют два слоя. Выпи- шем их рядом: С1111 С1121 С1112 С1122 сд211 Сд221 сд212 ~-~222 Транспонирование по двум первым индексам переводит эту матрицу в Д д, —— а 1д,, или, в развернутом виде, Ап А21 А12 А22 с1111 с1211 с1п2 с1212 Ап А21 А12 А22 с1121 а221 с1122 с1222 Если при более сложном транспонировании у;.ь = аь;з, то с1211 дд212 сд111 с1112 7111 7121 7112 7122 дд221 дд222 сд121 0122 ' 1211 '7221 1212 7222 Предложение 6.

Пусть каждому базису сопоставлена (р+ д)- мерная матрица, полученная из матрицы тензора А типа (р, д7) транспонированиемд причем переставляются только верхние (или только нижние) индексы. Этим определен тензор В типа (р, у). Нам достаточно доказать это для транспонирований по двум индексам, так как любое транспонирование — результат последовательного выполнения таких транспонирований. Кроме того, для любой пары верхних или нижних индексов доказательство одинаково. Число и расположение индексов, пе участвующих в транспонировании, роли не играет. Поэтому мы проведем доказательство для транспонирования по первой паре верхних индексов, записанного в формуле (7).

Транспонируем матрицу новых компонент тензора А: „д уИ дЗдь тд' д Ь 1д 1дгдйд З д Ь 1д ~1дЗд Ьд 1д Йд 1 1д дд гд ддд 1 д дд 91. Тензорь~ в линейном пространстве 269 Это отличается от обычной записи закона преобразования компонент тензора типа (3, 1) только порядком сомножителей. О п р е д е л е н и е. Тензор В, построенный в предложении 6, называется результатом транспонирования тензора А. Тензоры, являющиеся произведениями двух данных тензоров в разном порядке, получаются один из другого транспонированием. 8. Симметрирование и альтернирование.

Рассмотрим тензор А, контрвариантная валентность которого не меньше заданного числа в > 2. Выберем какие-нибудь в верхних индексов. Эти индексы можно переставить 8! способами, и потому существуют а! тензоров, получающихся из А транспонированием по этим индексам. Сложим все эти тензоры и разделим результат на число в!. Полученный тензор называется результатом симметрирования А по выбранным индексам. Его компоненты обозначаются заключением в круглые скобки этой группы индексов у компонент тензора А. Аналогично определяется симметрирование по нижним индексам. Пример 12. Симметрирование тензора типа (3,0) по первому и третьему индексам: (х~~~Й) ( у'и + цт) 2 Обратите внимание, что второй индекс, не участвующий в симмет- рировании, выделен прямыми чертами.

Пример 13. Симметрирование тензора типа (1, 3) по всем нижним индексам: ,3~ ь0 —— — Я~~ + ~3~ ь + Я~ + Я ~ + Д~~ + ~'~д). (8) Снова рассмотрим тензор А типа (р, О), где р > в > 2. Выберем группу из в верхних индексов и пронумеруем выбранные индексы числами 1, ..., в. Тогда каждому тензору, получаемому из А транспонированием по этим индексам, будет сопоставлена некоторая перестановка г1, ..., з, номеров 1, ..., в.

Обозначим через Х(з~, ..., г,) число нарушений порядка в пей (см. и. 6 ~ 3 гл. У). Напомним, что перестановка называется четной, если число нарушений порядка в ней четное, и нечетной в противном случае. Транспонируя А по выбранным индексам, мы, как и выше, получим 8! тензоров. Сложим все эти тензоры, предварительно умножив каждый из них на ( — 1)~~"'" "~, где г1, ...,г, — перестановка, ему соответствующая.

Сумму разделим на число в!. Так построенный тепзор называется результатом алыпернирования тензора А по выбранным индексам. Его компоненты обозначаются заключением в квадратные скобки тех индексов, по которым производится альтернирование. Пример 14. Альтернирование тензора типа (3,0) по первому и третьему индексам: ~г~~~й~ ( г~й И~Ь 2 Гл. »Х. Основы тензорной алгебры 270 Пример 15. Альтернирование тензора типа (1, 3) по всем нижним индексам: ~~$ — (Д$ ] ~31. ] Д7 .,[~$ . ~$ . Д~ ) (9) Пример 16. В ~4 гл.

'Л мы отмечали, что детерминант матрицы линейного преобразования является инвариантом. Выразим этот инвариант при помощи тензорных операций. Пусть а' элементы матрицы А преобразования А в некотором базисе е. Тогда и-кратное произведение А на самого себя А З ... З А имеет компоненты а". а" ....о'". Альтернируем это произведение по всем нижним индек- »1»2»~ сам, а затем свернем по всем индексам. Мы получим инвариант О~1 О~2 о~~ [г1 ге'" г„]' Докажем, что это и есть интересующий нас детерминант. Здесь и индексов суммирования, каждый из которых принимает п значений.

Следовательно, правая часть распадается на п" слагае»иых. Каждое из этих слагаемых представляет собой сумму и! членов, возникающих при альтернировании. Если в наборе значений индексов суммирования, определяющих какое-то слагаемое, есть два одинаковых, то такое слагаемое равно нулю. Действительно, для каждого члена в нем, взятого со знаком плюс, найдется не отличающийся член, взятый со знаком минус.

Пусть все значения индексов суммирования, определяющие слагаемое, различны. Тогда, переставляя сомножители в каждом члене такого слагаемого, упорядочим верхние индексы и этим приведем его к виду а~ ... а"„], причем " (й„...,й.) Всего слагаемых такого типа и]. Следовательно, »»']с~[1 "' ~п] ' Отсюда по формуле полного разложения детерминанта Ь = с[еФА. Если разбор этого примера вызвал затруднение, выпишите подробно всю сумму при и = 2. 9.

Замечание. Пусть имеется какое-то соотношение между тензорами, написанное при помощи введенных нами тензорных операций. Если выбран базис, это соотношение порождает такие же соотношения между компонентами рассматриваемых тензоров. Тензорные операции инвариантны в том смысле, что соотношения между компонентами выглядят одинаково, каков бы ни был базис. Скажем, соотношение А = х З д+ г З г, где т, д и г — векторы, равносильно равенству а'» = ('ц» + ~'~» между компонентами, причем безразлично, в каком базисе, так как во всех базисах оно выглядит одинаково. В силу этого обстоятельства часто, говоря о тензорах, имеют в виду их компоненты или, наоборот, говоря о компонентах, имеют ~1. Тензоры в линейном пространстве 271 в виду тензоры. Говорят, например, "тензор а;.~" вместо "тензор, компоненты которого в таком-то базисе равны а, ь".

Это не может вызвать недоразумений и сильно упрощает речь. В дальнейшем мы будем пользоваться подобными сокращениями. 10. Симметричные и антисимметричные тензоры. О и р е д е л е н и е. Тензор называется симметричным по паре индексов, если он не меняется при транспонировании по этой паре. Результат его альтернирования по этой паре равен нулевому тензору. Тензор симметричен по группе индексов, если он симметричен по любой паре индексов из этой группы. В этом случае он не меняется при любом транспонировании по индексам этой группы.