Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 56

Аффинные пространства 5" и 5"' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображе° иа б:,Р' — ~,х' и такой ичоморфилм Е: .х' — т.хит что длл любых двух точак вылолиаио б(А)б(В) = Е(АВ). Могут быть изоморфны только аффинные пространства одной размерности. Для двух пространств разных размерностей не найдется изоморфизма Г. Если для изоморфизма 1 известен образ 1(А) какой-то одной точки А и задан изоморфизм Г, то отображение 1 однозначно определено.

Действительно, образ любой точки В может быть найден по формуле бр(В) = Рф(А), Г(АВ)). С другой стороны, как бы мы ни задали образ А" точки А и изоморфизм векторных пространств Г, этим путем мы получим изоморфизм 1: ~е-+ 5". Действительно, если В и С произвольные точки, тоА*1(В) = Е(АВ) и А*~(С) = Е(АС). Поэтому У~В)ЦС) =А"б(С) — А У(В) = Е(АС) — Е(АВ) = Е(ВС~. Отсюда вытекает П р е д л о ж е н и е 1. Любые два аффинных пространства одной размерности изоморфны. Изоморфизм однозначно определяется заданием образа одной точки и изоморфизма соответствующих пространств векторов.

Исследуем аффинные преобразования — изоморфизмы пространства .У на то же пространство. Для этого предположим сначала, что изоморфизм Г тождественное преобразование. Зададимся образом А' некоторой точки А и рассмотрим преобразование 1, определяемое равенством 1(В) = Р(А*, АВ) для любой точки В. Если обозначить 1(В) = В', то предыдущее равенство означает, что А*В* = АВ, а это эквивалентно равенству ВВ" = АА*. Итак, образ каждой точки получается из нее сдвигом на один и тот же вектор АА'. Такое преобразование естественно назвать параллельным переносом. Если мы предположим, что 1(А) = А для некоторой точки А, а Г— невырожденное линейное преобразование, то преобразование аффинного пространства будет задано формулой 1(В) = Р(А, Г(АВ)). Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между невырожденными линейными преобразованиями У и аффинными ~ 1. Плоскости 247 преобразованиями, оставляющими неподвижной точку А.

Нетрудно доказать, что произвольное аффинное преобразование есть произведение параллельного переноса и преобразования, имеющего неподвижную точку. Определение. Аффинное пространство называется точечным евклидовым пространством, если его пространство векторов евклидово. В этом случае расстоянием между точками А и В называется длина вектора АВ. Трехмерное точечное евклидово пространство совпадает с пространством, изучаемым в элементарной геометрии, если в последнем фиксировать единицу измерения длин. Декартовой системой координат в аффинном пространстве называется совокупность точки О и базиса е пространства У.

Если в .У' задана система координат О, е, то каждой точке А из,У взаимно однозначно сопоставляется упорядоченный набор из п чисел, а именно координаты вектора ОА в базисе е. Эти числа называются декартовыми координатами точки, а столбец из них — ее координатным столбцом. Эти определения фактически повторяют определения из гл. 1, и потому основные утверждения и формулы оттуда справедливы и для любых аффинных пространств.

В частности: координатный столбец вектора АВ равен разности координатных столбцов точек В и А; координатный столбец точки Р(А, х) равен сумме координатных столбцов точки А и вектора х. Формулы замены координат точки при изменении системы координат выводятся и выглядят так же, как и соответствующие формулы из ~3 гл.1.

2. Плоскости в аффинном пространстве. Пусть в аффинном пространстве .У заданы точка Ао и й-мерное (й > О) подпространство У в его пространстве векторов У. Множество,У всех точек вида Р(Ао, т), где х е У', называется И-мерной плоскостью в Ж Точка Ао, разумеется, лежит в плоскости. Мы назовем ее начальной точкой, а подпространство У' направляющим подпространством. Любая точка плоскости А = Р(Ао,х) может быть принята за ее начальную точку. Действительно, любая точка В = Р(Ао, у) предста- вима в виде В = Р(А,д — х), так как АВ = Ао — АоА.

Наоборот, Р(А, г) = Р(Ао, г + х). Не представляет труда доказать, что к-мерная плоскость является Й-мерным аффинным пространством. Предложение 2. Если в,У выбрана декартова система координат, то И-мерная плоскость может быть задана системой линейных уравнений ранга п — й. Обратно, множество точек, координаты которых удовлетворяют совместной системе ранга п — й, является к-мерной плоскостью. Гл. Ъ'111. Аффинные пространства 248 Д о к а з а т ел ь с т во. Если ~о -- координатный столбец начальной точки, то по определению столбец с = и + со является координатным столбцом точки плоскости тогда и только тогда, когда т~ — координатный столбец вектора из направляющего подпространства. По предложению 4 8 2 гл.

У1 в этом случае т1 должен удовлетворять однородной системе ранга и — й вида Гц = О. Следовательно, столбец с удовлетворяет системе и~ =,3, где,З = Г(о. Вторая часть предложения следует из теоремы 3 86 гл. У. Общее решение системы линейных уравнений дает параметрические уравнения (и — г)-мерной плоскости, в которых фундаментальная система решений — базис в направляющем подпространстве, а частное решение неоднородной системы начальная точка. (и — 1)-мерная плоскость называется гиперплоскосгпью. Она задается одним линейным уравнением а1(~ + ...

+ а„~ =,о. Одномерная плоскость называется прямой линией. Она может быть задана параметрическими уравнениями вида ~ = ~о + И~. Упражнения 1. В некоторой декартовой системе координат четырехмерного аффинного пространства плоскость задана системой уравнений +( +~~+~ =1, 2~ +Зс +4~' + 5~ — — 1. Напишите ее параметрические уравнения (найдите начальную точку и базис в направляющем подпространстве). 2.

а) Что может представлять собой пересечение двух плоскостей? б) В и-мерном аффинном пространстве оцените размерность плоскости, получаемой как пересечение плоскостей размерностей Й1 и Й . 3. Докажите, что в аффинном пространстве любые две прямые лежат в некоторой трехмерной плоскости. 3 2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка В этом параграфе мы возвращаемся к геометрии трехмерного точечного пространства, которой были посвящены первые главы книги.

Настоящий параграф может изучаться независимо от 8 1. Он содержит применение результатов, полученных для квадратичных форм евклидова пространства, к исследованию произвольной линии или поверхности второго порядка. 1. Закон преобразования коэффициентов. Мы начинаем с рассуждений, одинаково пригодных для линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка, и потому не будем фиксировать размерность и — она равна 2 или 3 в зависимости от того, какой случай иметь в виду.

(В действительности читатель сможет заметить, что многое здесь справедливо для любых размерностей.) ~2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 251 Поверхность, определяемая уравнением (1), не изменится, если умножить левую часть уравнения на какой-либо отличный от нуля множитель. При этом ранги большой и малой квадратичных форм не изменятся, а сигнатуры могут изменить только знак (если множитель отрицательный). Отсюда следует Теорема 1. Четыре числа ранги и модули сигнатур большой и малой квадратичных форм — являются инвариантами поверхности второго порядка.

Обозначим ранг и модуль сигнатуры малой квадратичной формы соответственно через г и о., а ранг и модуль сигнатуры большой квадратичной формы через В и Х. 2. Линии второго порядка на плоскости. В теореме 1 ~ 1 гл. 111 мы показали, что любое уравнение второго порядка на плоскости за счет выбора декартовой прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из девяти канонических видов. В соответствии с этим имеется девять классов уравнений второго порядка. Составляя матрицы большой и малой квадратичных форм для канонических уравнений, мы можем непосредственно усмотреть значения г, о., В и г'., соответствующие каждому классу. Единственное затруднение возникает в случае параболы.

Матрица большой квадратичной формы для ее канонического уравнения имеет вид о — р о — о о 0 0 1 Чтобы найти В и Х, выберем матрицу перехода 1 — 1 0 1 1 О О 0 1 Мы получим — 2р 0 0 О 2рО 0 0 1 и обнаружим, что В = 3 и Х = 1. Матрица Я не имеет вида (6), но В и г' .не меняются при произвольной замене базиса. Выпишем канонические виды уравнений второго порядка на плоскости вместе со значениями рангов и модулей сигнатур в табл.

1. Из теоремы 1 видно, что уравнениям одного класса соответствует один и тот же набор инвариантов, а из табл. 1, что наборы инвариантов, соответствующие уравнениям разных классов, различны. Таким образом, имеет место Теорема 2. Аффинный класс уравнения второго порядка с двумя переменными однозначно определяется числами г, В, о и Х. Гл. ИЛ. Аффинные пространства 252 Таблица 1 Каноническое уравнение Название (~ ) /а + (~ ) /Ь = 1 Эллипс (~~) /а +(~) /Ь = — 1 Мнимый эллипс 3 3 Пара мнимых пересекаю- щихся прямых 2(~1)2 + Ь2(~2)2 2 2 (~) /а — (~) /Ь =1 Гипербола Пара пересекающихся прямых ал((;~) — Ь (~2) = О 2 О (~ ) = 2рЕ'~ Парабола 3 1 (~) =а Пара параллельных прямых 2 О Пара мнимых параллель- ных прямых (~) = — а ((2)' = О Две совпавшие прямые 1 1 3.