Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 58

Ъ'111. Аффинные пространства 258 Из теоремы 1 и табл. 2 следует Теорема 3. Аффинный класс уравнения второго порядка с тремя переменными однозначно определяется числями г, Л, о. и Х. Упражнения 1. Приведите к каноническому виду уравнение 2(~ ) — 3(~з) — 2~/3~'~~ — 4('~з + 4~/3~ ~~ + 50~~ = 80. 2. Не приводя уравнение к каноническому виду, определите класс поверхности второго порядка (~) +4(~ +6~~ — (~) +2(~ +4(~) +2~ =О.

3. При каких значениях параметра а поверхность с уравнением (~') + (~ ) + (~') + 2а~~'~' + ~~(' + ~'(") + 4а = 0 является эллипсоидом? ГЛАВА 1Х ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ ~ 1. Тензоры в линейном пространстве 1. Вводные замечания. В предыдущих главах мы рассматривали в линейных или евклидовых пространствах различного рода объекты: линейные преобразования, билинейные функции и т. д. Изучение каждого объекта основывалось на определении, которое формулировалось без участия базиса.

Например, линейное преобразование определялось как такое отображение пространства в то же пространство, которое удовлетворяет определенным условиям ((1) ~ 3 гл. У1). Таким образом, изученные нами объекты существуют и в принципе могут быть изучены без введения базиса. Для обозначения таких объектов мы будем пользоваться термином геометрический объект. Хотя геометрический объект и существует независимо от базиса, бывает удобно, выбрав некоторый базис, задать объект относительно этого базиса при помощи упорядоченной системы чисел — компонент объекта.

Например, выбор базиса устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и квадратными матрицами. Элементы матрицы линейного преобразования можно считать компонентами линейного преобразования в рассматриваемом базисе. Неизменность объекта при замене базиса приводит к изменению компонент.

Во всех встречавшихся случаях мы могли вычислить компоненты объекта в одном базисе через его компоненты в другом базисе и через элементы матрицы перехода от первого базиса ко второму. Такая зависимость называется законом преобразования компонент геометрического объекта В этой главе мы рассмотрим важный класс геометрических объектов, называемых тензорами. Закон преобразования их компонент таков, что новые компоненты являются линейныли однородныли иногочленами от старых компонент, а коэффициенты этих многочленов являются произведениями элементов матрицы перехода и элементов обратной к ней матрицы. Для того чтобы точно описать этот закон и тем самым дать определение тензора, необходимо ввести некоторые обозначения. 2.

Обозначения. Напомним, что матрицу размеров т х п можно определить как функцию, сопоставляющую некоторое число каждой Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры 260 паре (г, Я, где г Е (1, ..., ш1, а т' Е (1, ..., и ~1. Обобщим это определение. Поскольку нам будут нужны только матрицы, аналогичные квадратным матрицам, все индексы будут принадлежать одному и тому же множеству (1, ..., п). Определение. з-мерной матрицей порядка п (или з-мерным массивом) называется функция, определенная на множестве всевозможных наборов чисел (г1, ..., г,), где все числа принимают значения из множества (1, ...,.п1.

Для того чтобы разъяснить термин пв-мерная матрица", рассмотрим трехмерную матрицу с элементами ст, л. При любом фиксированном значении индекса Й = Йб элементы вида о, ь, составляют квадратную матрицу порядка и. Таким образом, вся совокупность элементов трехмерной матрицы распадается в упорядоченный набор из и квадратных матриц: ()о;зч!), ..., ))а,з„)). Можно представить себе эти матрицы расположенными одна под другой в виде слоев, так что образуется куб, разделенный на п~ ячеек, содержащих по одному числу. Аналогично, четырехмерная матрица может рассматриваться как упорядоченный набор трехмерных матриц и т. д. Строку и столбец удобно считать одномерными матрицами: их элементы нумеруются одним индексом.

В рассматриваемых нами матрицах не все индексы будут равноправны: будут выделены два сорта индексов. Принято индексы одного сорта писать вверху, а другого -- внизу. В принципе мы могли бы, скажем, обозначать один сорт индексов латинскими буквами., а другой — греческими, но принятое обозначение жестко связано со всей системой обозначений. За расположением индексов приходится строго следить. Если порядок индексов не установлен иначе, мы будем считать, что нижние индексы следуют за верхними так, как если бы они были написаны правее верхних. Многомерные матрицы полностью выписывать сложно. Действует следующее соглашение: буквенный индекс рассматривают как переменную величину, принимающую значения 1, ..., и, и если написано выражение, содержащее буквенный индекс1, не являющийся индексом суммирования, то предполагается, что написаны и таких выражений, соответствующих каждому значению этого индекса.

Когда имеется несколько индексов, сказанное относится к каждому из них. Таким образом, например, ст""" обозначает всю совокупность элементов в-мерной матрицы, а запись а'„= ф означает, что равны стоящие на одинаковых местах элементы двух трехмерных матриц, т. е. матрицы равны. Вводится следующее новое обозначение суммирования. Пусть написан одночлен., состоящий из букв с индексами, причем какой-то ин- *) У нас в качестве буквенных индексов, как правило, будут применяться буквы г, З, й, 1, возможно, снабженные своими индексами. Буква п всегда обозначает фиксированное число — размерность пространства. ~1. Тенюры в линейном пространстве 261 декс встречается дважды: один раз вверху, а другой раз внизу.

Это обозначает сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса так, как если бы перед ним стоял знак ~ ~'„ а индекс был индексом суммирования, принимающим значения от 1 до и. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Раньше мы постоянно сталкивались с подобными суммами, но писали знак суммирования. Теперь мы этого делать не будем. Например, формулы н 1 (х) г~ ~рв~ ~ ди „г~ /~аз о/до~ г=1 ~,3 будем писать в виде 1(х) = 'рай ~ 1и =,~у'а~~~'~ . 3. Определение и примеры.

Мы рассматриваем и-мерное вещественное линейное пространство Ж О п р е д е л е н и е. В пространстве У задан тензор типа (р, д), если каждому базису сопоставлена (р+ ц)-мерная матрица порядка и. При этом, каковы бы ни были базисы е и е', соответствующие им матрицы а '"'." и а' '"'." должны быть связаны следующими соотно- 21" зя з1 "зд шениями: (1) где о.~. — элементы матрицы перехода от е к е', а т' — элементы ее обратной матрицы. Элементы матрицы, соответствующей некоторому базису, называются компонентами тензора в этом базисе. Число р+ у называется валентностью тензора, а д и р соответственно ковариантной и контр- вариантной валентностью. Подчеркнем, что, несмотря на сложность суммы в правой части формулы (1), в каждое слагаемое входит единственная компонента тспзора.

Это означает, что новые компоненты являются линейными однородныли многочленами относительно старых компонент. Сложность формулы (1) связана с выражением коэффициентов этих мно- гочленов через элементы матрицы перехода. Два тензора равны, если они одного типа и имеют одинаковые компоненты в некотором базисе. Тогда из закона преобразования вытекает, что равны их компоненты в любом базисе.

Для любой (р+ д)-мерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (р, ц), который в базисе е имеет эту матрицу компонент. Его компоненты в остальных базисах могут быть найдены с помощью формулы (1). П р и мер 1. Вектор является тензором типа (1, 0). Действительно, если задан вектор, то казкдому базису соответствует одномерная матрица — столбец. При этом компоненты, соответствующие разным Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры 262 базисам, связаны формулой ( = Я' или ~' = Я =тД . Это закон преобразования компонент тснзора типа (1, 0). П р и м е р 2. Линейная функция на пространстве У является тензором типа (О, 1). Действительно, если задана линейная функция, то каждому базису соответствует одномерная матрица строка коэффициентов этой функции. При изменении базиса коэффициенты линейной функции преобразуются по формуле ~р' = ~рЯ, т.

е. ь г ог Ф~' цензоры типа (О, 1) векторы сопряженного пространства У'* называют ковекторами. П р и мер 3. Линейное преобразование пространства У является тензором типа (1, 1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой А' = 5 'АЯ: !' г 1 Й а =т~о О~. Пример 4. Билинейная функция на пространстве У' тензор типа (О, 2).

Если дана такая функция, то каждому базису сопоставля- ется ее матрица, и матрицы билинейной функции в разных базисах связаны формулой В' = Я~ВЯ: 2 р~и = ты, П р и м е р 6. Число, не зависящее от выбора базиса, — инвариант можно считать тензором типа (О, 0). Пример 7. Важным тензором типа (1,1) является так называемый символ Кронекера, компоненты которого в некотором базисе составляют единичную матрицу: (О, гф,у, '(1, г=у. (2) Формула (2) — — принятое обозначение, и мы будем им ниже пользоваться. Если интерпретировать символ Кронекера как линейное преобразование, то это будет тождественное преобразование Е, и потому Следует заметить, что симметричная билинейная функция и соответствующая квадратичная форма — один и тот же тензор, поскольку их матрицы в любом базисе совпадают.