Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 59

П р и мер 5. Пусть В матрица билинейной функции ранга и в базисе е. Сопоставим этому базису матрицу В 1. Сделав это для всех базисов, мы получим тензор типа (2, 0). Действительно, из В' = ЯтВЯ следует В' 1 = Я вЂ” ' — 1(Ят) — 1 = Я вЂ” ~ — 1(5 — 1)т или ~1. Тензоры в линейном пространстве в любом другом базисе этот тензор имеет те же компоненты, составляющие единичную матрицу. Для примера проверим это, используя тензорную символику. Согласно закону преобразования (3) Если о~ определяется формулой (2), то из ~~ слагаемых в праной части (3) равны нулю все, кроме тех., для которых й = 1. Поэтому д" .= т~с~, а т' о~ — — элементы произведения Я 15. Значит, д" = д'.

П р и м е р 8. Рассмотрим обобщение билинейной функции функцию Г(х1, ...,.сд) от а векторов, линейную по каждому из них, если остальные фиксированы. Такие функции называются а-линейными или полилинейными, если число аргументов не уточняется. Разложим каждый из векторов по некоторому базису е. Тогда в силу полилинейности Г(х1, ...,х~) = Г®'е;,, ....,~" е;,) = — "° ~д ~(ез1 ~ "° ~ его) — ~1 "° 1ц с~г1..лд ~ где коэффициспты о;,, = Г(е,,, ...,е, ) играют ту жс роль, что и элементы матрицы билинейной функции.

Докажем, что при замене базиса они преобразуются как компоненты тензора типа (О, а). Для этого рассмотрим базис е', = о.,"е~ и снова воспользуемся полилинейностью: или о', , =- ст,.'...о,:'о~, ь, как и требовалось. г1...г~ г1 ''' гд 1 ч~ Пример 9. Таким же способом можно построить пример тензора любого типа (р,ц). При этом полилинейная функция должна зависеть от а векторов и р ковекторов.

Значение такой функции на векторах т1, ..., х~ и ковекторах 1, ..., Р можно вычислить, разложив векторы по базису е, а ковекторы — по его биортогональному базису р в пространстве .У*, Напомним, что базис р', ..., р" называется биортогональным базису е1, ..., е„, если р'(е~) = д~. Если х, = ~,. *е~, а Р = дз р~', то аналогично предыдущему получаем й; где г, с„ а, "' " = Г(е~„, ..., е~,, р ', ..., р "). Вспомним, что базис р преобразуется матрицей (Я ')~, когда базис е преобразуется матрицей 5.

В тензорных обозначениях это записывается как р'~ = т~зр и проверяется так: р (ег) = '~р (оное~) = тр<~гА — ~г. 264 Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры Теперь подставим в сг' ""' " = Г(е',,...,е',,р' ',...,р' ") выражения новых базисных векторов через старые (для обоих базисов е и р) и, как и в примере 8, получим закон преобразования коэффициентов, который будет совпадать с законом преобразования (1). Этот пример показывает, что для любой р+ о-мерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (р, д), который в базисе е имеет такую матрицу компонент.

4. Линейные операции. Линейные операции определены для тензоров одного и того же типа. Именно, определим для пространственных матриц одной размерности сложение и умножение на число поэлементно: суммой матриц а.'"' " и ~3 "'." назовем матрицу з1" зя 31" зя (4) а произведением матрицы а ' "' " на число Л матрицу 3 "'"=Ло Предложение 1. Пусть А и  — — тензоры типа (р,о).

Сопоставим каждому базису сумму их матриц в этом базисе. Этим будет определен тензор типа (р, о). Сопоставим каждому базису произведение матрицы тензора А на число Л. Этим будет определен тензор того же типа (р, о). Обе части предложения доказываются одинаково и по существу вытекают из того, что правая часть формулы (1) — линейный однородный многочлен относительно старых компонент тензора. Приведем доказательство для первой части. При замене базиса а '.

"'." = т '...т 'о..'... сг.'о. гзд...г г г ~ 1 Й1...г'. ~1"..7', Д1 " ь„з1",, ц.л 7 ,~:, л.... '„ц 1, ь,...й„ ~3:,"'. = т, ...т, сг....сг. ~3, Складывая почленно эти равенства, мы получаем й,...й, й,...й, т. е. тензорный закон преобразования для а,'"', ' + Д,'"; '. Тензоры, определенные в предложении 1, мы назовем, соответственно суммой тензоров А и В и произведением А на число Л.

Свойства линейных операций описываются следующим предложением. Предложение 2. По отношению к операциям сложения и умножения на число множество всех тензоров одного и того же типа (р, о) является линейным пространством размерности тР+~. Предоставим читателю проверить все аксиомы в определении линейного пространства и займемся размерностью. Выберем в У какой- нибудь базис и рассмотрим тензоры, у которых одна из компонент в данном базисе равна 1, а остальные компоненты равны нулю.

Существует ровно пг'+~ таких тензоров, так как тензор типа (р, д) имеет пя+ч ~1. Тензоры в линейном пространстве 265 компонент. Каждый тензор данного типа раскладывается, и притом однозначно, по выбранным нами тензорам (коэффициенты разложения равны компонентам данного тензора). Таким образом, размерность пространства тензоров типа (р.,у) равна пр+ч, и предложение доказано. Более того, мы построили базис в пространстве тензоров типа (р,д), естественным образом связанный с базисом в пространстве У.

Напомним, что как раз таким способом мы построили базис в сопряженном пространстве У вЂ” пространстве тензоров типа (0,1) — и назвали его биортогональным исходному базису в У. Теперь для пространства У' мы имеем бесконечную последовательность линейных пространств, связанных с ним так же, как У: как только выбран базис в У, во всех этих пространствах также появляются базисы. 5. Умножение тензоров. Пусть А тензор типа (р,д), а В тензор типа (г, з).

Произвольному базису е мы можем сопоставить (р+ у+ г+ з)-мерную матрицу, составленную из произведений каждой компоненты А на каждую компоненту В. Эти произведения упорядочим, записав сначала индексы, относящиеся к А, а затем индексы, относящиеся к В, так, как показывает формула г1...грь1...Й,.

г1...зр,зь1„,ь„ (5) ~з1...здь..л з1 зу~ 11 .з Предложение 3. Если каждому базису мы сопоставим числа ф"'~", определяемые формулой (5), то этим будет определен тензор типа (р+ т,ц+ з). Доказательство мы проведем для случая тензоров типов (1,1) и (0,1). В общем случае доказательство отличается только более громоздкой записью.

Выразим компоненты тензоров А и В в базисе е' через их компоненты в базисе е: Отсюда гх г' эг г ~ Ь йа в 1 й й 7 з'гп = о з'/-'т = тйаз'ото~1 Рь = тйоз'от Йь> т. е. величины ~,„преобразуются при замене базиса как компоненты й тензора типа (1, 2). О п р е д е л е н и е 1. Тензор, построенный в предложении 3, называется произведением тензора А на тензор В и обозначается А З В. Пример 10.

Рассмотрим две линейные функции 1 и и на У и сопоставим каждой паре векторов х и д число 1(х)п(у). Пусть в некотором базисе значения функций записываются как 1(х) = д,~' и Ь(у) =,иьин~, где (' и ц~ компоненты векторов х и д. Тогда ~з(х> у) = ~(х)" (у) = (Р~~ )(ЮЧ ) = (~РгРдК Ч поскольку при перемножении многочленов каждый член одного сомножителя умножается на каждый член другого. Итак, построенная 266 Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры нами функция Ь вЂ” — произведение двух линейных функций — — билинейная функция, т.

е. тензор типа (0,2). Он является тензорным произведением тензоров, соответствующих 1 и и. Мы можем написать Ь = 1 З 'и, или, в компонентах, 4ь = р;р~. Тензорное произведение не коммутативно. Это хорошо видно на предыдущем примере. Пусть Ь = 'и З1. Тогда Ь (х,д) = п(х)1(д) = = Ь(у,х), т.

е. это будет другая билинейная функция, если только функция Ь не симметричная. Посмотрим на то же самое с точки зрения компонент. Конечно, у,рь = р~д,. Это значит, что Щ = Д',: матрицы билинейных функций отличаются на транспонирование, В* = = В~. Они совпадают, если р;иь — р,,рь — — 0 для всех г,к. Равенство нулю всех этих детерминаптов равносильно пропорциональности коэффициентов линейных функций $ и и. И в общем случае множество чисел, являющихся компонентами произведения тензоров, не зависит от порядка сомножителей, но упорядочиваются эти числа по-разному в зависимости от порядка сомножителей. Предоставим читателю самостоятельно убедиться, что умножение тензоров ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению.

Легко заметить также, что произведение тензора на число совпадает с произведением на тензор типа (О, 0), имеющий это число в качестве компоненты. Предложение 4. Любой тензор типа (р,а) раскладывается в линейную комбинацию произведений, в каждое из которых входит р векторов и о ковекторов. Для доказательства покажем, что произведениями требуемого вида являются тонзоры, из которых в предложении 2 был построен базис в пространстве тензоров типа (р, д). Мы сделаем это для тензоров типа (2, 1), поскольку в общем случае рассуждение аналогично. Пусть тензор Я таков, что в базисе е его компонента О~з = 1, а остальные компоненты равны нулю.

Рассмотрим векторы базиса е2, ез и ковектор р1, входящий в биортогональный базис. Векторы е2 и ез имеют компоненты (О, 1, О,, О) и (О, О, 1, О, ..., О), а компоненты ковектора (1, О, ..., 0). Поэтому произведение Я = ее З ез З р имеет только одну компоненту 01, равную 1, а все остальные его композз ненты равны нулю. Точно так же утверждение доказывается и для остальных тензоров, составляющих базис в пространстве тензоров рассматриваемого типа.

6. Свертывание. Рассмотрим множество элементов з-мерной матрицы, для которых все индексы, кроме некоторых двух, имеют фиксированные значения. Это множество образует двумерный слой— квадратную матрицу. Таким образом, вся матрица распадается на двумерные слои, соответствующие выбранной паре индексов. Всего таких слоев столько, сколько комбинаций значений могут принимать остальные в — 2 индексов, т. е.

и' ~1. Текзорь~ в линейном пространстве Пусть А — — тензор типа (р, о), причем р > О и о ) О, т. е. тензор имеет как верхние, так и нижние индексы. Выберем какой-нибудь верхний (например, первый) индекс и какой-нибудь нижний (например, последний) и рассмотрим слои, соответствующие такой паре индексов. Напомним, что следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. Следы всех слоев образуют (р+ а — 2)- мерную матрицу, имеющую р — 1 верхних и д — 1 нижних индексов: Используя тензорное обозначение суммирования, мы можем написать З2...гр Йг2...гр = а. ~ 21" 2д — ~ 21".Эц-1ь П р е д л о ж е н и е 5. Сопоставим каждому базису систему чисел, получаемую из компонент тензора типа (р, д) вычислением следа каждого слоя, соответствующего одному верхнему и одному нижнему индексам.