Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 63

2. Относительные инварианты. Любой п-вектор в каждом базисе вполне характеризуется одним числом его существенной компонентой о1" ". Попробуем найти закон преобразования этого числа при замене базиса без участия других компонент и-вектора. Мы получим (1 "п 1 и 11..Л '~~ ' С 11Л'(11,...,1„) 1 п 1...п 11 '" 1„ ) 11" 1„ (11,...л„) или, согласно формуле полного разложения, а "" = (с1еСЯ )а "'" = (с1еСЯ) а "'"'. (6) Мы видим, что соответствие, относящее каждому базису существенную компоненту п-вектора, определяет геометрический объект с одной компонентой и законом преобразования (6). Этот объект не тензор, так как тензор с одной компонентой должен иметь тип (0,0) и, следовательно, быть инвариантом.

Другой пример объекта такого рода дает детерминант матрицы из компонент тензора типа (0,2). Эта матрица В при замене базиса преобразуется, как известно, в матрицу В' = ЯгВЯ, и с1еС В' = (11еС Я) с1еС В Определение. В линейном пространстве задан относительный инвариант веса г, если каждому базису сопоставлено число так., что числа, соответствующие базисам е и е' = еЯ, связаны равенством о = (с(еСЯ)'а. (7) Инвариант, или, как говорят, чтобы подчеркнуть отличие от относительного инварианта, абсолютный инвариант, является отно- сительным инвариантом веса О. Аналогично формуле (6) можно показать, что существенная компонента п-формы является относительным инвариантом веса 1.

Отметим следующие свойства алгебраических операций с относительными инвариантами. П р е д л о ж е н и е 2. Если а и о - - относительные инварианты одного и того же веса г, то их сумма относительный инвариант веса г. Если а и о относительные инварианты весов г и ть, то их произведение — относительный инвариант веса т, + ть. 280 Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры Если а — относительный инвариант веса г, то его р-я степень относительный инвариант веса рт.

Все три утверждения легко доказываются непосредственной проверкой закона преобразования, и мы предоставим читателю написать доказательство. Подчеркнем, что сумма относительных инвариантов разных весов не является относительным инвариантом. Относительный инвариант называют также плотностью. Объект, получаемый умножением тензора на относительный инвариант, называется тензорной плотностью.

Напишите закон преобразования компонент такого объекта. 3. Внешние формы. о-формы чаще всего представляют интерес как полилинейные функции от о векторов (пример 8 81). Для такой функции антисимметрия означает, что ее значение меняет знак, если поменять местами какие-нибудь два ее аргумента. Например, функция, сопоставляющая трем векторам трехмерного евклидова пространства их смешанное произведение, является З-формой. Значение о-формы ы с компонентами со;...

на векторах х1, ..., х~ с компонентами ~'", ...,~ч' равно со(~1 ~ ° "~ ~д) — ~~'г1...г„~1 °" ~ч Учтем, что равны нулю те слагаемые, в которых хотя бы два индекса суммирования имеют одинаковые значения., а остальные слагаемые сгруппируем. Пусть числа г1, ..., зч расположены в порядке возрастания, а гь,, ...,з~, — — их псрсстацовка. Тогда группу из о! слагаемых, в которых индексы суммирования (в каком бы то ни было порядке) равны г1, ..., гч, можно записать как сумму по перестановкам (г~1,...,0, ) Поэтому ~'~(~1~" ~ ~д) — Ч ~~' 'ог1..л () °" ~~ — ~' ~'~г~ ..л с (8) г1«...г~ г1 «...г,, где с""' = д!("'...(ч'. В сумму (8) входят только существенные компоненты внешней формы — те, у которых индексы расположены в порядке возрастания.

Итак, мы имеем Предложение 3. Значение о-формы на векторах т1, ...,х является линейным однородным многочленом от компонент простого о-вектора, ими определяемого. Для фиксированного о линейная комбинация д-форм также является о-формой. Поэтому при каждом о множество о-форм линейное пространство. Аналогично, линейным пространством является множество всех о-векторов. Из формулы (8) следует, что эти два пространства сопряжены одно другому. ~8. Поливекторы.

Внешние формы 281 Построим базис пространства о-форм. Для этого рассмотрим базис е пространства У и его биортогональный базис р', ..., р" в пространстве У*. 1-форма р' имеет компоненты б',. Компоненты произведения а различных 1-форм р" З ... З р' (г1 « ... юд) равны д" ...б" .. Одна из них, та, для которой йс = гр при всех 1 = 1, ..., д, равна 1, а остальные равны нулю. Альтернируем это произведение. Полученный при этом тензор имеет компоненты д'„' ...Б'„'„т. е.

1/ц!, если индексы Й1, ..., Йд четй1"' й~~ ная перестановка чисел г1, ..., гд, ( — 1/д!) если перестановка нечетная, и О, если набор нижних индексов не совпадает с набором верхних. Введем обобщенный символ Кронекера т. е. +1, Й1,..., Йд — четная перестановка г1,...,юд, д""'„' = — 1, Й1,..., Йч — нечетная перестановка г1,....,гд, (9) О в остальных случаях.

Обобщенный символ Кронекера антисимметричен также и по верхним индексам. Действительно, как легко видеть, д""". = д! б~~" ... б,".~. Обозначим через е""' о-форму с компонентами о '"'„' . Предложение 4. Система а-форм е""' для всевозможных наборов г1 « ... гд является базисом в пространстве д-форм. Доказательство. Пусть ш..., компоненты о-формыш. Рассмотрим линейную комбинацию х~ <...<з~ Найдем компоненту д.. з. для произвольного набора з1 « ... зд.

~г1...г~ в '~ " ' = Е '1 " л ' ... ', = '1 " А з1«...г~ так как в сумме только одно ненулевое слагаемое. Итак, В = ш и произвольная форма ш раскладывается по системе е""". Линейная независимость этой системы форм следует из того, что одна и только одна из существенных компонент такой формы равна 1, а остальные равны нулю. Следствие.

Размерность пространства ц-форм и-мерного линейного пространства, равна числу сочетаний С„'". 4. Внешнее умножение. Как для поливекторов, так и для внешних форм определена операция внешнего умножения. В обоих случаях операция определяется одинаково и имеет одни и те же свойства. Обычно она употребляется для внешних форм. 282 Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры Определение. Пусть даны внешние формы со и О степеней р и д.

Обозначим через [со, О] внешнюю форму степени р+ а, равную тензорному произведению ы и О, альтернированному по всем индексам. Внешним произведением форм 1о и О называется (р+ д)-форма со Л О = ' '[1о, О]. р~ч[ П р и м е р 2. Если а11 и со2 линейные формы с компонентами 1о1 и 1о~~, то 1о~ Л со2 имеет компоненты 1 2 1 2 ~ ~1,1 ~'~1 1'~1 1О1~1 ' Это билинейная функция с кососимметричной матрицей. Тензорное умножение дистрибутивно по отношению к сложению, а результат альтернирования суммы равен сумме альтернированных слагаемых.

Поэтому внешнее умножение дистрибутивно по отношению к сложению: для любых форм О1, О2 одной степени и любой фор- МЫ 1О (О1 + О') Л = О' Л + О2 Л Легко видеть, что умножение внешнего произведения на число равносильно умножению на это число любого из сомножителей. Рассмотрим три внешние формы 1о1, 1 2 и соз степеней р, с1 и т и произведение (1о~ Л а1~) Л а13.

Компоненты [[ы~,со~],соз] равны 1 2 3 1 2 3 1О[[г~...гр1ая ...3 ~1ОКъ...Й ) 1О[1~ ..Лр1д..4цСОЙ~...Й„~ > (10) так как в силу предложения 7 8 1 внутреннее альтернирование дает (р+ ц)! одинаковых членов. Понять, что здесь происходит, проще всего на таком примере. Пусть ~Р и 1о суть 1-формы, а 1о — 2-форма. Тогда компоненты формы ~~~Р, 1Я, со] равны 1 1 'Р РРАХ и) ~РИФ~ 1о1';1) ~РУ Фг 1ои) ° Так как второе слагаемое антисимметрично по всем индексам, оно отличается знаком от первого, и внутреннее альтернирование может быть пропущено: 'Р[[АЯ'"'и~ = 'Р[Ф~1оыр Точно так же внутреннее альтернирование можно пропустить и при вычислении компонент [со~, [со~, 1о3]]. Вместе с (10) это дает и 1 2] 3] ~ 1 [ 2 3]] Сравним множители, которые надо добавить, чтобы получить внешние произведения.

Они одинаковы: (р+ о+ т)! (р+ д)! (р+ д+ т). '(д+ т).' (р + Ч)' т' Ф Ч' И + т)' Ф Ч' т.' Из сказанного следует ассоциативность внешнего умножения со Л (со Л со ) = (со Л 1о ) Л со . ~ о'. Поливекторьс. Внешние формы 283 Это позволяет нам говорить о внешнем произведении любого числа внешних форм без упоминания о расстановке скобок. В частности, базис в пространстве д-форм, построенный в предложении 4, состоит из внешних произведений едд"'" = рдд Л ... Л р".

Заметим в качестве еще одного примера, что простой р-вектор, образованный векторами х1, ...,хр, есть их внешнее произведение. Исследуем перестановочность внешнего умножения. Пусть 0— р-форма, а со -- д-форма, и каждая из них разложена по соответствующему базису. Вычисляя 0 Л со, мы воспользуемся дистрибутивностью и получим сумму 0;,;„со,, ~, р" Л ... Л р'" Л р~д Л ... Л р". сд«...ср дд«...дд При вычислении со Л 0 возникнет аналогичная сумма: со,,0сд„,с„р~' Л ...

Л рд' Л р" Л ... Л р'". (12) сд«...ср дд«...дд Числовые коэффициенты, разумеется, перестановочны, и вопрос сводится к возможности переставить базисные 1-формы во внешнем произведении р" Л ... Л р' Л р~' Л ... Л р~~. Рассмотрим компоненту этого произведения с произвольным набором индексов Йс, ..., Й„+д. Она равна ~сд...ср дд...,д~ ьд... ь„„, Сравним эту компоненту с соответствующей компонентой другого произведения сд ...д„й ...ср ьд... ь„,, Мы должны переставить каждый из р индексов с через ц индексов с.

Так как обобщенный символ Кронекера антисимметричен по верхним индексам, это вызовет умножение компоненты на ( — 1)"ч. Все слагаемые в (11) и (12) отличаются на этот множитель, и потому 0Л = ( — Ц" Л0. Отсюда следует Предложение 5. При внешнем умножении внешние формы коммутативны, если хотя бы одна из них четного порядка, и антикоммутативны, если оба порядка нечетные. Упражнения 1. Функция от двух векторов в трехмерном евклидовом векторном пространстве сопоставляет любым двум векторам х и у смешанное произведение (а, х, у), где а — фиксированный вектор. Докажите, что эта функция 2-форма.