Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 61

Не представляет труда убедиться, что результат симметрирования тензора по некоторой группе индексов является тензором, симметричным по этим индексам. Если, например, переставить любые два нижних индекса в формуле (8), то в ее правой части изменится только порядок слагаемых. Определение. Тензор называется антисимметричным по паре индексов, если он умножается на ( — 1) при транспонировании по этой паре индексов, или, иначе говоря, результат его симметрирования по ней равен нулевому тензору.

Если тензор антисимметричен по паре индексов, то равны нулю те его компоненты, у которых совпадают значения этих индексов. Это видно из того, что каждый слой, соответствующий этим индексам, —— антисимметричная квадратная матрица. Тензор антисимметричен по группе индексов, если он антисимметричен по любой паре индексов из этой группы. Результат альтернирования тензора по нескольким индексам антисимметричен по этим индексам.

Причину этого легко понять, если переставить какие-нибудь два нижних индекса в формуле (9): ее правая часть изменит только знак. Предложение 7. Антисимметричный по группе из з индексов тензор не меняется при транспонировании по ней, если соответствующая перестановка индексов четная, и умножается на ( — 1), если не- четная. Д о к а за т ел ь ст во. Транспонирование, соответствующее перестановке индексов г1, ..., г„сводится к последовательной перестановке пар индексов. Поскольку каждая из них меняет знак всех компонент тензора, достаточно доказать, что данное транспонирование осуществимо за Х(г1, ..., г,,) перестановок пар индексов. Последнее утверждение равносильно тому, что числа 1, ..., з можно расположить в порядке г1, ..., г„переставляя Х(г1, ..., г,) раз соседние числа. Докажем сначала, что числа г1, ..., г, можно указанным способом расположить в порядке возрастания.

Для этого отыщем в перестановке г1, ..., г, число 1 и переставим его на первое место, меняя Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры местами последовательно со всеми числами, стоящими левее. Все они больше 1, и мы переставим единицу столько раз, сколько нарушений порядка она образует. Затем отыщем число 2 и точно так же переставим его на второе место. При этом его придется переставить со всеми числами, которые стоят левее него, кроме 1, а со всеми ними оно образует нарушение порядка. Проделаем далее то же самое со всеми числами 3, ..., з — 1.

Число з окажется на последнем месте, переставлять его не надо, но и нарушений порядка в перестановку оно не вносит. В результате будет сделано Х(г1, ...,г,) попарных перестановок чисел, и числа окажутся расположенными в порядке возрастания. Теперь исходя из 1, ..., з мы можем проделать те же перестановки чисел в обратном порядке и получить г1, ...,г,. На это потребуется также Х(г1, ..., г,,) перестановок соседних чисел. П р е д ложе н и е 8. Если тензор симметричен по группе из з индексов, то результат его альтернированин по этой группе индексов нулевой тензор. Если тензор антисимметричен по группе индексов, то результат его симметрирования по ней — нулевой тензор. Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую. Все а! тензоров, которые можно получить транспонированием, одинаковы.

При альтернировании мы складываем их со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок. При этом все слагаемые уничтожатся, так как из з! перестановок ровно половина четных, а половина нечетных. Действительно, меняя местами два первых числа в перестановке., мы изменяем ее четность (вводится или ликвидируется ровно одно нарушение порядка). Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между четными и нечетными перестановками. 3 а м е ч а н и е.

Если индексов больше двух, равенства нулю результата альтернирования (симметрирования) по этим индексам еще недостаточно для того, чтобы тензор был симметричным (антисимметричным) по ним. Упражнения 1. Пусть Я вЂ” линейное пространство билинейных функций, определенных на линейном пространстве .2', а А --- линейное преобразование пространства Я. Докажите, что А тензор типа (2, 2) в пространстве У'.

2. а) Сколько компонент имеет трехвалентный тензор в четырехмерном пространстве? б) Сколько слагаемых содержит выражение какой-либо его компоненты в новом базисе через компоненты в старом базисе? 3. Тензор типа (О, и) в и-мерном линейном пространстве в базисе е имеет компоненты г;,,,;„= О, если среди значений с1,....,с есть одинаковые., и ~2.

Тензоры в евклидовом ироспгранетве в противном случае. Найдите компоненты этого тензора в базисе е' = еЯ. 4. Линейная функция Г задана в базисе е строкой у, а вектор а столбцом с~. Найдите матрицу тензора а З Г. Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 5. Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из тензора типа (2,2)? 6. Докажите, что тензор из упр. 3 антисимметричен по любому подмножеству множества индексов. 7. Докажите, что для любого тензора типа (1, 1) выполнено равенство н йг г Й а а, = аг агр ~ 2.

Тензоры в евклидовом пространстве 1. Метрический тензор. Все., сказанное о тензорах в линейном пространстве, разумеется, справедливо и в случае евклидова пространства. Однако в евклидовом пространстве тензоры обладают многими свойствами, которых они не имеют в линейном. О п р е д е л е н и е. Сопоставим каждому базису евклидова пространства матрицу Грама этого базиса. Определяемый этим тензор д,. типа (0,2) называется метрическим тензором пространства. Как мы видели в примере 5 ~ 1, справедливо П р е д л о ж е н и е 1.

Сопоставим каждому базису евклидова пространства, матрицу, обратную матригге Грама этого базиса. Это соответствие определяет тензор д'з типа (2,0). О п р е д е л е н и е. Тензор, построенный в предложении 1, называется контрвариантным метрическим тензором. Поскольку (Г 1) = (Г ) 1 = Г 1, контрвариантный метрический тензор симметричен: д о — д.г Напишем равенство ГГ 1 = Г в тензорных обозначениях: гь ь дгзд = ог. 2.

Поднятие и опускание индексов. Наличие метрического тензора позволяет ввести в евклидовом пространстве еще две операции над тензорами поднятие и опускание индексов. При опускании индекса тензору типа (р, д), р ) 1, сопоставляется тензор типа (р — 1, д+ 1), получаемый свертыванием данного тензора с метрическим тензором по тому индексу, который мы хотим опустить. При этом порядок индексов сохраняется в следующем смысле. Мы отказываемся от соглашения, согласно которому нижние индексы следуют за верхними.

Для того чтобы отметить порядок индексов, над каждым нижним индексом и под каждым верхним индексом ставится точка. Например, при опускании первого индекса у тензора а з,', мы получаем тензор дгга ' = а,' г,. 4. 18 Д.В. Беклемишев Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры В действительности эти точки расставляются не всегда, а тогда, когда возможны недоразумения или неоднозначность в интерпретации формул.

Часто можно обойтись без них. При поднятии индекса данный тензор сворачивается с контрвариантным метрическим тензором по тому индексу, который следует поднять. Результат будет тензором типа (р + 1, д — 1). Например, поднятие первого индекса у а,'~„' дает а о' = дна,'~„', а поднятие третьего зь и приводит к а,'о = д~~а,'.~,'. П р и мер 1.

В ~ 3 гл. УП был введен вектор, присоединенный к линейной функции на евклидовом пространстве. Строка коэффициентов ~р линейной функции и координатный столбец вектора с~ связаны формулой у = сх~Г. Переходя от матричной записи к тензорной., мы получаем д = а~д~,.

Итак, линейная функция получается из вектора опусканием индекса. Наоборот, вектор получается из функции поднятием индекса: а~ = д'~р;. П р и м е р 2. К билинейной функции Ь на евклидовом пространстве присоединено линейное преобразование А, матрица которого связана с матрицей билинейной функции равенством А = Г 1В. В тензорных обозначениях это может быть переписано как з зй с~, =д А~.

Мы видим, что тензор А получен из тензора Ь поднятием первого индекса. Мы можем сказать также, что Ь получается из А опусканием индекса, но здесь уже необходимо подчеркнуть, что при опускании верхний индекс становится первым нижним индексом: й. дг~ = ди~-~,,:. То, что здесь это существенно, показывает П р и м е р 3. В ~ 2 гл.

УП мы определили линейное преобразование А', сопряженное данному преобразованию А. В произвольном базисе их матрицы связаны равенством, которое можно переписать в виде ГА* = (ГА) ~. Обозначим через я' и о*' элементы А и А* и напишем это равенство в тензорных обозначейиях: д,ьО: = фыр, ' после опускания индексов один тензор получается из другого транс- понированием. Свертывая обе части этого равенства по индексу ~ с тензором д'~, мы получим д~~а",~ = д~~гд,ьа~: или с~г ог .1.

Л вЂ” чтобы получить один тензор из другого., надо поднять нижний индекс и опустить верхний. 3. Евклидовы тензоры. При изучении евклидова пространства часто можно ограничиться только ортонормированными базисами. При этом все формулы, связанные со скалярным произведением, ~2. Тензоры в евклидовом ироетринетве 275 значительно упрощаются, так как метрический тензор имеет единичную матрицу: (1) /1., г=1, 6 /~: Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному является ортогональной, .т.

е. удовлетворяет соотношению Я ~ = Я~, а ее элементы связаны равенствами о~ —— т;. (2) Пусть мы ограничились ортонормированными базисами. Тогда в силу (2) закон преобразования компонент тензора имеет вид (3) ь„...,й, 18" Здесь нарушились правила тензорной символики: индексы г1, ..., зр в левой части равенства верхние, а в правой нижние. Кроме того, пришлось написать знак 2 ', так как индексы суммирования Й1, ..., Йр оказались все сверху. Это признаки того, что равенство не является инвариантным (оно верно только в ортонормированных базисах). Формула (3) показывает, что, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы уничтожаем различие между верхними и нижними индексами: и тем, и другим в законе преобразования соответствуют одинаковые множители Заметим еще, что в силу (1) в ортонормированном базисе совпадают компоненты тензоров, отличающихся друг от друга на поднятие или опускание индекса.