Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 62

Мы отмечали это в гл. 'Л1 для векторов, присоединенных к линейным функциям, .и для преобразований, присоединенных к билинейным функциям. Это легко проверяется и в любом случае. Мы имеем, например, а, ~ = д ~о;,.~, = а,',.~„', так как в сумме по 1 отлично от нуля только то слагаемое, где 1 = ~, а в нем дя = 1. Из сказанного следует, что, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы можем отождествить все тензоры, которые отличаются друг от друга поднятием или опусканием индекса.

Точнее говоря, все тензоры, имеющие в ортонормированных базисах одинаковые компоненты, мы объединяем в один класс и рассматриваем этот класс как некоторый новый объект евклидов тензор. О и р е д е л е н и е. В евклидовом пространстве размерности п задан евклидов тензор валентности в, если каждому ортонормированному базису сопоставлена в-мерная матрица порядка о. При этом каковы бы ни были ортонормированные базисы е и е', элементы а,„ и а'„~ соответствующих матриц связаны соотношением й~...й, а~, ь — — о~', ...

о~,' а,,„л,. (4) Все индексы у евклидовых тензоров равноправны, и мы пишем их внизу. По повторяющимся индексам, как всегда, производится суммирование. Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры Числовые величины, не меняющиеся при переходе от одного ортонормированного базиса к другому, в гл. 'Л11 были названы ортогональньпли (или евклидовыми) инвариантами. Теперь мы видим, что это — евклидовы тензоры валентности О. Компоненты евклидова тензора в неортонормированных базисах не определены. Однако для каждого евклидова тензора валентности а можно определить эти компоненты так, чтобы получился тензор любого типа (р,ц), где р+ д = в.

Для этого их нужно найти, исходя из компонент евклидова тензора в ортонормированном базисе, при помощи закона преобразования компонент тензора типа (р,д). Таким образом, каждый евклидов тензор порождается любым тензором из некоторого класса тензоров. Ясно., что все тензоры этого класса отличаются друг от друга поднятием или опусканием индексов.

Рассмотрим вектор евклидова пространства и присоединенную к нему линейную функцию. В ортонормированном базисе их компоненты совпадают, а в неортонормированном различаются. В этом случае компоненты линейной функции называются новариантными координатами евклидова вектора, определяемого рассматриваемым вектором. Это координаты вектора в биортогональном базисе. Важным примером евклидова тензора является так называемый дискрилинантный тенэор, определяемый для некоторого ортонорми- рованного базиса равенством 1)х(г~...г„) (где Х число нарушений порядка в соответствующей перестановке), если все индексы различны, и е,,;,„= О в противном случае.

Как мы видели в упр. 3 ~ 1, компоненты такого тензора преобразуются по формуле ~',, = ы,,;„Йе15, что в случае ортогональной матрицы перехода дает я'... = ~с;„; — компоненты дискриминантного тензора одинаковы во всех ортонормированных базисах одной ориентации с исходным и отличаются только знаком в базисах противоположной ориентации. Для псортонормированпых базисов дискриминантный тензор доопределяется как тензор типа (О,и).

Для евклидовых тензоров определены все тензорные операции, введенные для тензоров в ~ 1. Определения, а также формулировки и доказательства свойств этих операций были бы почти дословным повторением сказанного, и мы не приводим их. Заметим только, что для евклидовых тензоров свертывание возможно по любой паре паре индексов, и транспонировать, симметрировать и альтернировать можно по любому множеству индексов. Например., если, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы отождествим квадратичную форму с присоединенным к ней линейным преобразованием, то полученный новый объект — евклидов тензор валентности 2 — будет иметь инвариантную свертку (как линейное преобразование) и инвариантно будет удовлетворять условию симметрии а; = а„(как квадратич- у8.

Полиеектораь Внешние формы ная форма). Инвариантность здесь подразумевается, конечно, только относительно замены одного ортонормированного базиса другим ортонормированным. Упражнения 1. В базисе е метрический тензор задан матрицей Г, а тепзор а;,, матрицей А: 1 1 1 2 Найдите матрицы В, С и О тепзоров о:, о' и о' 2. Можно заметить, что в упр. 1 детерминанты матриц А, В, С и О совпадают, и следы В и С одинаковы. Объясните это.

3. упростите выражение (о™а' у'ь + 6~а,';*у~в)уь, + а; )у' у;.-. ~ 3. Поливекторы. Внешние формы 1. р-векторы. Этот параграф посвящен изучению двух специальных классов тензоров, важных для приложений. О п р е д е л е н и е. Антисимметричный по всем индексам тензор типа (р, 0) называется р-вектором или поливентором, если р не уточняется.

2-векторы принято называть бивекторами. Антисимметричный по всем индексам тензор типа (О, д) называется д-формой или внешней формой, если о не уточняется. Число а называется порядком или степенью внешней формы. Тензоры типов (1, 0) и (О, 1) по определению считают 1-вектором и 1-формой. Внешние формы пространства У можно рассматривать как поливекторы в сопряженном пространстве У . Поэтому свойства этих двух классов тензоров одинаковы.

В начале мы будем говорить в основном о поливекторах. Заметим, прежде всего, что при р > и существует только нулевой р-вектор. Действительно, из р индексов, принимающих значения 1, ..., и, в каждой компоненте хотя бы два должны иметь одинаковые значения. Как отмечалось в ~ 1, из антисимметрии следует, что каждая компонента такого тензора равна нулю. При р = и могут быть отличны от нуля только те компоненты, у которых значения индексов составляют перестановку чисел 1, ...., и (иначе снова окажутся два равных индекса). Все такие компоненты по предложению 7 2 1 выражаются через одну из них по формуле й...г„( 1)х(й,...,г„) 1...п (1) р-вектор а""' называется простым или разложимым, если он представим как произведение р! на альтернированное произведение векторов, т.

е. найдутся такие векторы х1,...,хр с координата- Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры МИ ~1гг, ...,~„", ЧтО гг ...гр ) ~[гг ргр] (2) Пример 1. Пусть ~' и 1)' два вектора в трехмерном пространстве. Они определяют простой бивектор с компонентами 23 ~2 3 ~3 2 31 ~3 1 ~1 3 12 ~1 2 ~2 1.

(3) сгз~, а~з и а~~ отличаются знаком от этих, а сг~~ = сг~~ = азз = О. Выражения [3) напоминают о векторном произведении. И действительно, если пространство евклидово, рассмотрим свертку с дискриминантным тензором е, ~~~гц 1. Выпишем первую компоненту это[' й] го ковектора в правом ортонормированном базисе. Если г = 1, то в сумме только два ненулевых слагаемых 1 = 2, й = 3 и 2 = 3, й = 2. е111г4 'г1 = ~1234 71 + в132~ Ц = сг [2 з] [з 2] 2з Аналогично подсчитываются и остальные компоненты. Поднятие индекса у этого ковектора дает вектор гг ~[Ь который и является векторным произведением. Зто видно из выражения его компонент в ортонормированном базисе.

Предложение 1. Каждый и-вектор является простым. Действительно, пусть дан произвольный и-вектор с1'" "'". Возьмем какой-нибудь ненулевой простой и-вектор,У'"'" = и]~1'...~„" и обозначим отношение а1""/ф"" через Л. Из формулы (1) следует, что для всех компонент а"" '" = Л~У'"'" . Положив 1)' = ЛЯ, мы имеем а""'" = и! ц[" Я'...~„'", как и требовалось. Рассмотрим ]о векторов х1, ..., хр и составим матрицу из их координатных столбцов: ~1 ~1 ~2 ~2 ~гг...г ~~~~ ~( 1)ггг(ь„„,й )~ггг ~гор (й, ...йр) Сравнивая это выражение с (2), мы находим те компоненты простого р-вектора, у которых значения всех индексов попарно различны и расположены в порядке возрастания [существенные компоненты): гг ...гр ~ ~[гг ргр] Сг гг...гр (5) р Остальные компоненты вычисляются по уже найденным из свойства антисимметрии. Вычислим минор этой матрицы, расположенный в строках с номерами 11 < г2 « ...

1р, по формуле полного разложения 93. Полиеекторы. Внешние формы 279 В частности, для и-вектора имеем о'" "= с1еС ~~Ц~~ (пример 16 ~1). Вспомним формулу (21) 9 1 гл. УП. Из нее видно, что если пространство евклидово, а базис положительный ортонормированный, то компонента ак "" равна объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах, составляющих данный п-вектор. Из формулы (5) следует, что простой р-вектор является нулевым тогда и только тогда, когда составляющие его векторы линейно зависимы, т. е. ранг матрицы (4) меньше р.